三年全国各地中考数学真题分类汇编 等腰三角形.docVIP

2012年全国各地中考数学真题分类汇编 等腰三角形一.选择题1.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为 a16 b18 c20 d16或20 【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长. 【答案】c 【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小. 2（2012江西）等腰三角形的顶角为80，则它的底角是（）a20 b 50 c 60 d 80考点：等腰三角形的性质。分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数解答：解：等腰三角形的一个顶角为80底角=（18080）2=50故选b点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单3（2012中考）把等腰abc沿底边bc翻折，得到dbc，那么四边形abdc（）解答：解：等腰abc沿底边bc翻折，得到dbc，四边形abdc是菱形，菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形abdc既是中心对称图形，又是轴对称图形故选c点评：本题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形abdc是菱形是解题的关键4.（2012荆州）如图，abc是等边三角形，p是abc的平分线bd上一点，peab于点e，线段bp的垂直平分线交bc于点f，垂足为点q若bf2，则pe的长为( )a2 b2 c d3第9题图adefpqcb【解析】题目中已知了abc是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有30角的直角三角形，要想到30角的直角边等于斜边的一半。abc是等边三角形，bd是abc的平分线，所以abd=cbd=abc=30。在直角qbf中，bf2，cbd=30,所以bq=.fq是bp的垂直平分线,所以bp=2bq=2在直角pbe中, bp=2,abd =30,所以pe= bp=.【答案】c【点评】题目中已知了abc是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。本题中，有含有30角的直角三角形，要想到30的角所对的直角边等于斜边的一半。5（2012铜仁）如图，在abc中，abc和acb的平分线交于点e，过点e作mnbc交ab于m，交ac于n，若bm+cn=9，则线段mn的长为（）a6b7c8d9考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。解答：解：abc、acb的平分线相交于点e，mbe=ebc，ecn=ecb，mnbc，ebc=meb，nec=ecb，mbe=meb，nec=ecn，bm=me，en=cn，mn=me+en，即mn=bm+cnbm+cn=9mn=9，故选d6（2012资阳）如图，abc是等腰三角形，点d是底边bc上异于bc中点的一个点，ade=dac，de=ac运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）a一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形b有一组对边平行的四边形是梯形c一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形d对角线相等的四边形是矩形考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定；梯形；命题与定理。分析：已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出b=e，ab=de，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可解答：解：a一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；b有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；c一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，abc是等腰三角形，ab=ac，b=c，de=ac，ad=ad，ade=dac，即，adedac，e=c，b=e，ab=de，但是四边形abde不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此c符合题意，故此选项正确；d对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；故选：c点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键7（2012攀枝花）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）a20或16 b 20 c 16 d以上答案均不对考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系。分析：根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解解答：解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选b点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键8（2012广安）已知等腰abc中，adbc于点d，且ad=bc，则abc底角的度数为（）a45b75c45或75d60考点：等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。分析：首先根据题意画出图形，注意分别从bac是顶角与bac是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案解答：解：如图1：ab=ac，adbc，bd=cd=bc，adb=90，ad=bc，ad=bd，b=45，即此时abc底角的度数为45；如图2，ac=bc，adbc，adc=90，ad=bc，ad=ac，c=30，cab=b=75，即此时abc底角的度数为75；综上，abc底角的度数为45或75故选c点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键9.（2012孝感）如图，在abc中，ab=ac，a =36，bd平分abc交ac于点d，若ac=2，则ad的长是（ ）a b c d【解析】根据三角形特点，先求出角的度数，从而得到三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例即可求得在abc中，ab=ac，a=36，abc=acb=72bd平abc，abd=cbd=36，bd=ad=bc，bdc=72abcbcd故：abbc=bccd设ad=x，则bc=x，cd=2-x， 2x= x(2-x)解得x=或x=ac（舍去）【答案】c【点评】题考查了相似三角形的证明和性质，本题中求证三角形相似是解题的关键10（2012潜江）如图，abc为等边三角形，点e在ba的延长线上，点d在bc边上，且ed=ec若abc的边长为4，ae=2，则bd的长为（）a2b3cd+1考点：平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析：延长bc至f点，使得cf=bd，证得ebdefc后即可证得b=f，然后证得acef，利用平行线分线段成比例定理证得cf=ea后即可求得bd的长解答：解：延长bc至f点，使得cf=bd，ed=ecedb=ecfebdefcb=fabc是等边三角形，b=acbacb=facefae=cf=2bd=ae=cf=2故选a点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线11.（2012孝感）如图，在菱形abcd中，a=60，e，f分别是ab，ad的中点，de，bf相交于点g，连接bd，cg，有下列结论：bgd=120 ；bg+dg=cg；bdfcgb；其中正确的结论有（ ）a1个 b2个 c3个 d4个 【解析】根据题意，abd是等边三角形，由此可推得bg=dg=ebg，gcb=30 ，gbc=90 ；因为直角三角形中30角所对的边等于斜边的一半，所以bg=gc；显然cgbd，bdf和cgb不可能全等；故，正确【答案】c【点评】考查菱形的性质和轴对称及等边三角形等知识的综合应用根据a=60得到等边三角形abd是解本题的关键二.填空题12. （2012广元） 已知等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是 【答案】50，50或80，20。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】分情况讨论：（1）若等腰三角形的顶角为80时，另外两个内角=（18080）2=50；（2）若等腰三角形的底角为80时，顶角为1808080=20。等腰三角形的一个内角为80，则另两个角的度数是50，50或80，20。13.（2012绥化）等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：当3是底边长时，周长为5+5+3=13；当5是底边长时，周长为3+3+5=11【答案】 11或13【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案难度中等14.（2012哈尔滨）一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 【解析】本题考查等腰三角的性质、三角形三边关系. 因为等腰三角两腰相等，所以其三边可能是5、5、6或6、6、5，经检验两种可能都能组成三角形，所以这个三角形周长是16或17.【答案】16或17【点评】本题易忽略检验能否组成三角形，注意分类讨论思想的运用.15.（2012遵义）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为解析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为4cm；（2）当等腰三角形的腰为8cm；两种情况讨论，从而得到其周长解：（1）当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形（2）当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20cm故这个等腰三角形的周长是20cm故答案为：20cm答案：20cm点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行答案，这点非常重要，也是解题的关键16.（2012随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_。解析：当边长为6的边为腰时，则底时，则另两边分别为5、5，根据三角形三边关系可知，三边也可以构成三角形。所以两种情况均成立。答案：6和4或5和5点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的边角关系。在题中没有明确所给边为底边还是腰时，要分类讨论，分别求解。且对于求出的边长要根据三角形边角关系进行验证，以防止三边不能构成三角形。17.（2012黄冈）如图，在abc 中，ab=ac，a=36，ab的垂直平分线交ac点e，垂足为点d，连接be，则ebc 的度数为_.【解析】在abc 中，ab=ac，a=36得：abc=c=72. 由ab的垂直平分线交ac得ae=be，abe=a=36，ebc=72-36=36.【答案】36【点评】本题主要考查等腰三角形和线段中垂线的性质.难度中等.18（2012宁波）如图，aebd，c是bd上的点，且ab=bc，acd=110，则eab=40度考点：等腰三角形的性质；平行线的性质。分析：首先利用acd=110求得acb与bac的度数，然后利用三角形内角和定理求得b的度数，然后利用平行线的性质求得结论即可解答：解：ab=bc，acb=bacacd=110acb=bac=70b=40，aebd，eab=40，故答案为40点评：本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，题目相对比较简单，属于基础题19.（2012淮安）如图，abc中，ab=ac，adbc，垂足为点d，若bac=70，则bad= 【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），可得bad=bac=35【答案】35【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用三线合一是正确解答本题的关键20.（2012滨州）如图，在abc中，ab=ad=dc，bad=20，则c= 【解析】ab=ad，bad=20，b=80，adc是abd的外角，adc=b+bad=80+20=100，ad=dc，c=40【答案】40【点评】本题考查三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，ab=ad，又已知bad的大小，可求出b、的大小又已知ad=dc，由三角形内角和定理可得c的大小21. （2012吉林）如图，是上的三点，则 度答案 .考点 等腰三角形的性质；圆：圆内同弧所对的圆周角与圆心角的关系（圆周角定理）.解析 利用等腰三角形两底角相等，圆内同弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求解.解：如图，在中，.又是对的圆周角，是对的圆心角 22.（2012莱芜）在abc中，ab=ac=5，bc=6，若点p在边ac上移动，则bp 的最小值是 . 【解析】过点a作adbc于点d，因为ab=ac=5，bc=6，所以bd=3，所以ad=4，根据垂线段最短，当bpac时，bp 有最小值.根据得到，, bp=【答案】【点评】本题考察了勾股定理、等腰三角形三线合一的性质、等面积法。考察了学生解决等腰三角形解决等腰三角形问题常加的辅助线。本题综合性强，难度中等。三.解答题23.（2012肇庆）如图5，已知acbc，bdad，ac 与bd 交于o，ac=bd 求证：（1）bc=ad； （2）oab是等腰三角形 abcdo图5【解析】通过观察不难发现acb bda从而得出bc=ad，及c ab =d ba，进而推出oab是等腰三角形【答案】证明：（1）acbc，bdad d =c=90 （1分）abcdo在rtacb和 rtbda 中，ab= ba ，ac=bd， acb bda（hl） （4分） bc=ad （5分） （2）由acb bda得 c ab =d ba （6分） oab是等腰三角形 （7分）【点评】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，考察了学生简单的推理能力。难度较小。24.（2012益阳）如图，已知aebc，ae平分dac.求证：ab=ac 第15题图【解析】 由ae平分dac.得到1=2 又由两直线平行，内错角相等同位角相等，得到1=b，2=c.所以有：b=c 在中等角对等边，即得到ab=ac【答案】证明：ae平分dac， 1=2. aebc，1=b，2=c. b=c， ab=ac【点评】此题考查了角平分线的性质、平行线的性质和在三角形中等角对等边的应用，考查了学生综合运用知识来解决问题的能力，设问方式较常规，为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平，难度不大。25（2012济南）（2）如图2，在abc中，ab=ac，a=40，bd是abc的平分线，求bdc的度数【考点】等腰三角形的性质【专题】证明题【分析】（2）首先根据ab=ac，利用等角对等边和已知的a的度数求出abc和c的度数，再根据已知的bd是abc的平分线，利用角平分线的定义求出dbc的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出bdc的度数【解答】（2）解：ab=ac，a=40，abc=c=（180-40）=70，又bd是abc的平分线，dbc=abc=35，bdc=180-dbc-c=75【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键.26（2012广东）如图，在abc中，ab=ac，abc=72（1）用直尺和圆规作abc的平分线bd交ac于点d（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出abc的平分线bd后，求bdc的度数考点：作图基本作图；等腰三角形的性质。解答：解：（1）一点b为圆心，以任意长长为半径画弧，分别交ab、bc于点e、f；分别以点e、f为圆心，以大于ef为半径画圆，两圆相较于点g，连接bg角ac于点d即可（2）在abc中，ab=ac，abc=72，a=1802abc=180144=36，ad是abc的平分线，abd=abc=72=36，bdc是abd的外角，bdc=a+abd=36+36=7227（2012湘潭）如图，abc是边长为3的等边三角形，将abc沿直线bc向右平移，使b点与c点重合，得到dce，连接bd，交ac于f（1）猜想ac与bd的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段bd的长考点：等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质。专题：探究型。分析：（1）由平移的性质可知be=2bc=6，de=ac=3，故可得出bdde，由e=acb=60可知acde，故可得出结论；（2）在rtbde中利用勾股定理即可得出bd的长解答：解：（1）acbddce由abc平移而成，be=2bc=6，de=ac=3，e=acb=60，de=be，bdde，e=acb=60，acde，bdac；（2）在rtbed中，be=6，de=3，bd=3点评：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键2011年全国各地中考数学真题分类汇编第23章 等腰三角形一、选择题http:/ /1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边abc中，de为中位线，则四边形bced的面积为（ ）（a）（b）（c）（d）（第7题）【答案】b2. （2011四川南充市，10，3分）如图，abc和cde均为等腰直角三角形，点b,c,d在一条直线上，点m是ae的中点，下列结论：tanaec=;sabc+scdesace ;bmdm;bm=dm.正确结论的个数是（ ）（a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个【答案】d3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，abc和ade都是等腰直角三角形，bac=dae=90， 四边形acde是平行四边形，连结ce交ad于点f，连结bd交 ce于点g，连结be. 下列结论中： ce=bd； adc是等腰直角三角形； adb=aeb； cdae=efcg；一定正确的结论有abcdefga1个 b2个 c3个 d4个【答案】d4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，abc中，以b为圆心，长为半径画弧，分别交、于d、e两点，并连接、若a=30，则bde的度数为何？a 45 b 525 c 675 d 75【答案】5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形abc、def，且d、a分别为abc、def的重心固定d点，将def逆时针旋转，使得a落在上，如图(十七)所示求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？a2：1 b 3：2 c 4：3 d 5：4【答案】6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是 a15cm b16cm c17cm d16cm或17cm【答案】d7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在中，点为的中点，垂足为点，则等于（） a b c d 【答案】c8. 二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_.【答案】cm2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰rtabc中，c=90，ac1，过点c作直线lab，f是l上的一点，且abaf，则点f到直线bc的距离为 【答案】4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边abc中，点d,e分别在边ab,bc上，把bde沿直线de翻折，使点b落在点b处，db,eb分别交边ac于点f，g，若adf=80 ，则egc的度数为 【答案】805. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在abc中，ab=ac，则abc的外角bcd （第14题）【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在abc中，ab=ac，b=50，则a=_。【答案】80。提示：a=180-250=80。7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形abc中，d、e分别为ab、bc边上的两个动点，且总使ad=be，ae与cd交于点f，agcd于点g，则 第15题d【答案】8. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在abc中，ab=ac，bac的角平分线交bc边于点d，ab=5，bc=6，则ad=_.【答案】49. （2011四川乐山16，3分）如图，已知aob=，在射线oa、ob上分别取点oa=ob，连结ab，在ba、bb上分别取点a、b，使b b= b a，连结a b按此规律上去，记a b b=，则= ； = 。【答案】 10（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在abc中，ab=ac，b=50，则a=_。【答案】80。11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰rtabc的直角边长为1，以rtabc的斜边ac为直角边，画第二个等腰rtacd，再以rtacd的斜边ad为直角边，画第三个等腰rtade，依此类推直到第五个等腰rtafg，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_（第15题图） 【答案】12. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知abc是等边三角形，点b、c、d、e在同一直线上，且cgcd，dfde，则e 度【答案】15 三、解答题1. （2011广东东莞，21，9分）如图（1），abc与efd为等腰直角三角形，ac与de重合，ab=ef=9，bacdef90，固定abc，将efd绕点a 顺时针旋转，当df边与ab边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设de、df（或它们的延长线）分别交bc（或它的延长线）于g、h点，如图（2）.（1）问：始终与agc相似的三角形有 及 ；（2）设cgx，bhy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，agh是等腰三角形？【解】（1）hga及hab； （2）由（1）可知agchab，即，所以，（3）当cg时，gac=hhac，acchagac，aggh又ahag，ahgh此时，agh不可能是等腰三角形；当cg=时，g为bc的中点，h与c重合，agh是等腰三角形；此时，gc=，即x=当cg时，由（1）可知agchga所以，若agh必是等腰三角形，只可能存在ag=ah若ag=ah，则ac=cg，此时x=9综上，当x=9或时，agh是等腰三角形2. （2011山东德州19,8分）如图 ab=ac，cdab于d，beac于e，be与cd相交于点o（1）求证ad=ae；(2) 连接oa，bc，试判断直线oa，bc的关系并说明理由abcedo【答案】abecdo（1）证明：在acd与abe中，a=a，adc=aeb=90，ab=ac， acdabe 3分 ad=ae 4分(2) 互相垂直 5分在rtado与aeo中，oa=oa，ad=ae， adoaeo 6分 dao=eao即oa是bac的平分线 7分 又ab=ac， oabc 8分3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点d为等腰直角abc内一点，cadcbd15，e为ad延长线上的一点，且ceca（1）求证：de平分bdc；（2）若点m在de上，且dc=dm，求证： me=bd 【答案】（1）在等腰直角abc中，cad=cbd=15o，bad=abd=45o-15o=30o，bd=ad，bdcadc， dca=dcb=45o由bdm=abd+bad=30o+30o=60o，edc=dac+dca=15o+45o=60o，bdm=edc，de平分bdc； （2）如图，连接mc，dc=dm，且mdc=60，mdc是等边三角形，即cm=cd 又emc=180-dmc=180-60=120，adc=180-mdc=180-60=120，emc=adc 又ce=ca，dac=cem=15，adcemc，me=ad=db 4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形abc中，abc=90，d为ac边上中点，过d点作dedf，交ab于e，交bc于f，若ae=4，fc=3，求ef长第18题图baedfc【答案】连结bd，证bedcfd和aedbfd，求得ef=55. （2011浙江衢州，23,10分）是一张等腰直角三角形纸板，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由. （第23题）（第23题图1）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为；按照甲种剪法，在余下的中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为(如图2)，则 ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为(如图3)；继续操作下去则第10次剪取时， . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得.如图乙，设，则由题意，得又甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点d、e、f分别为的中点，解法2：如图甲，由题意得如图乙，设甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)(3)(3)解法1：探索规律可知：剩余三角形的面积和为：解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为第二次剪取后剩余三角形面积和为第三次剪取后剩余三角形面积和为第十次剪取后剩余三角形面积和为6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”,“”,“”或“=”）.理由如下：如图2，过点作，交于点.（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，求的长（请你直接写出结果）. 【答案】（1）= .（2）=.方法一：如图，等边三角形中，是等边三角形，又.方法二：在等边三角形中，而由是正三角形可得 (3)1或3.7. （2011浙江台州，23,12分）如图1，过abc的顶点a分别做对边bc上的高ad和中线ae，点d是垂足，点e是bc中点，规定。特别的，当点d重合时，规定。另外。对、作类似的规定。（1）如图2，已知在rtabc中，a=30，求、；（2）在每个小正方形边长为1的44方格纸上，画一个abc，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打，假命题打） 若abc中，则abc为锐角三角形；（ ） 若abc中，则abc为直角三角形；（ ） 若abc中，则abc为钝角三角形；（ ）【答案】解:（1）如图，作cdab，垂足为d，作中线ce、af。 =1 rtabc中，cab=30， ae=ce=be ,ceb=60， ceb是正三角形， cdab ae=2de =； =1，=； （2）如图所示： （3）；。8. （2011浙江义乌，23，10分）如图1，在等边abc中，点d是边ac的中点，点p是线段dc上的动点(点p与点c不重合)，连结bp. 将abp绕点p按顺时针方向旋转角（0180），得到a1b1p,连结aa1，射线aa1分别交射线pb、射线b1b于点e、f. （1） 如图1，当060时，在角变化过程中，bef与aep始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设abp= . 当60180时，在角变化过程中，是否存在bef与aep全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当=60时，点e、f与点b重合. 已知ab=4，设dp=x，a1bb1的面积为s，求s关于x的函数关系图1图2图3pb1fmadoeccba1pb1fmadoeccba1pb1adocba1【答案】（1） 相似 由题意得：apa1=bpb1= ap= a1p bp=b1p 则 paa1 =pbb1 = pbb1 =ebf pae=ebf 又bef=aep bef aep（2）存在，理由如下：易得：bef aep若要使得befaep，只需要满足be=ae即可bae=abe bac=60 bae=abe= bae=abe 即=2+60 （3）连结bd，交a1b1于点g，过点a1作a1hac于点h. pb1adocba1hgb1 a1p=a1pa=60 a1b1ac 由题意得：ap= a1 p a=60 paa1是等边三角形a1h=在rtabd中，bd= bg= （0x2）9. （2011广东株洲，20，6分）如图， abc中，ab=ac，a=36，ac的垂直平分线交ab于e，d为垂足，连结ec（1）求ecd的度数；（2）若ce=5，求bc长【答案】（1）解法一：de垂直平分ac，ce=ae，ecd=a=36. 解法二：de垂直平分ac，ad=cd，ade=cde=90， 又de =de，adecde，ecd=a=36. （2）解法一：ab=ac，a=36，b=acb=72，ecd=36，bce=acb-ecd=36，bec=72=b， bc=ec=5.解法二：ab=ac，a=36，b=acb=72， bec=a+ecd=72， bec=b，bc=ec=5. 10(2011重庆綦江，24，10分)如图，等边abc中，ao是bac的角平分线，d为ao上一点，以cd为一边且在cd下方作等边cde,连结be. (1) 求证：acdbce； (2) 延长be至q, p为bq上一点，连结cp、cq使cpcq5, 若bc8时，求pq的长. 【答案】：(1)证明abc和cde均为等边三角形， acbc , cdce 且acbdce60 acddcbdcbbce60 acdbce acdbce （2）解：作chbq交bq于h, 则pq2hq 在rtbhc中 ，由已知和（1）得cbhcao30， ch4 在rtchq中，hq pq2hq6 11. （2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角abc的两条高bd、ce相交于点o，且ob=oc，（1）求证：abc是等腰三角形；（2）判断点o是否在bac的角平分线上，并说明理由。【答案】（1）证明：ob=oc obc=ocbbd、ce是两条高 bdc=ceb=90又bc=cb bdcceb（aas）dbc=ecb ab=ac abc是等腰三角形。 （2）点o是在bac的角平分线上。连结ao. bdcceb dc=eb,ob=oc od=oe又bdc=ceb=90 ao=ao adoaeo（hl） dao=eao 点o是在bac的角平分线上。12. （2011广东省，21，9分）如图（1），abc与efd为等腰直角三角形，ac与de重合，ab=ef=9，bacdef90，固定abc，将efd绕点a 顺时针旋转，当df边与ab边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设de、df（或它们的延长线）分别交bc（或它的延长线）于g、h点，如图（2）.（1）问：始终与agc相似的三角形有 及 ；（2）设cgx，bhy，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，agh是等腰三角形？【解】（1）hga及hab； （2）由（1）可知agchab，即，所以，（3）当cg时，gac=hhac，acchagac，aggh又ahag，ahgh此时，agh不可能是等腰三角形；当cg=时，g为bc的中点，h与c重合，agh是等腰三角形；此时，gc=，即x=当cg时，由（1）可知agchga所以，若agh必是等腰三角形，只可能存在ag=ah若ag=ah，则ac=cg，此时x=9综上，当x=9或时，agh是等腰三角形13. （2011湖北黄冈，18，7分）如图，在等腰三角形abc中，abc=90，d为ac边上中点，过d点作dedf，交ab于e，交bc于f，若ae=4，fc=3，求ef长第18题图baedfc【答案】连结bd，证bedcfd和aedbfd，求得ef=514. （2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点d，e在abc的边bc上，连接ad，ae. abac；adae；bdce.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：；.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.图6【答案】