高考数学 真题分类汇编 概率与统计（含解析）.doc

概率与统计1. (2012辽宁高考卷t55分) 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(a)33！ (b) 3(3！)3 (c)(3！)4 (d) 9！【答案】c【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为，答案为c 【点评】本题主要考查分步计数原理，以及分析问题、解决问题的能力，属于中档题。2. (2012辽宁高考卷t105分)在长为12cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，领边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(a) (b) (c) (d) 【答案】c【解析】设线段ac的长为cm，则线段cb的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选c【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。3.（2012上海高考卷t175分）设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）a b c d与的大小关系与的取值有关【答案】 a【解析】 由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为：， 且随机变量的概率都为，所以有. 故选择a.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.4.（2012湖北高考卷t85分）如图,在圆心角为直角的扇形oab中,分别以oa,ob为直径作两个半圆. 在扇形oab内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）ab cd【答案】a【解析】如下图所示，设的中点为，的中点为，半圆与半圆的交点分别为，则四边形是正方形.不妨设扇形的半径为，记两块白色区域的面积分别为，两块阴影部分的面积分别为.则, 而，即, 由-，得.又由图象观察可知，.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.5.（2011年湖北）如图，用k、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知k、正常工作的概率依次为09、08、08，则系统正常工作的概率为a0960 b0864 c0720 d0576b6. （2011年湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）7. （2011年湖北）给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）答案：21，438. （2011年湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，0050001000013841663510828参照附表，得到的正确结论是a再犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”b再犯错误的概率不超过01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”c有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”d有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”答案：c9. （2011年江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为_答案：10（2011年安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。分析：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（i）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于 （ii）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量x的分布列为x123p所需派出的人员数目的均值（数学期望）ex是 （iii）（方法一）由（ii）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于的任意排列，都有（*）事实上，即（*）成立.（方法二）（i）可将（ii）中所求的ex改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii）也可将（ii）中所求的ex改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.序综合（i）（ii）可知，当时，ex达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.11.（2011年北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。（）如果x=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）解（1）当x=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当x=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数y的可能取值为17，18，19，20，21事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此p（y=17）=同理可得所以随机变量y的分布列为：y1718192021pey=17p（y=17）+18p（y=18）+19p（y=19）+20p（y=20）+21p（y=21）=17+18+19+20+21=1912.（2011年福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，8，其中x5为标准a，x为标准b，已知甲厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（i）已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：5678p04ab01且x1的数字期望ex1=6，求a，b的值；（ii）为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望 （iii）在（i）、（ii）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：（1）产品的“性价比”=； （2）“性价比”大的产品更具可购买性分析：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想。解：（i）因为又由x1的概率分布列得由（ii）由已知得，样本的频率分布表如下：345678030202010101用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数x2的概率分布列如下：345678p030202010101所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（iii）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。13.（2011年广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品故乙厂生产有大约（件）优等品， （3）的取值为0，1，2。所以的分布列为012p14故（2012安徽高考卷t1712分)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束.试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量.（）求的概率；（）设，求的分布列和均值（数学期望）.【解题指导】本题考查基本事件概率，条件概率，离散型随机变量及其分布列均值等基础知识，考查分类讨论思想和应用创新意识.【解析】（i）表示两次调题均为类型试题，概率为.（）时，每次调用的是类型试题的概率为，随机变量可取.，.答：（）的概率为； （）的均值为.【易错警示】本题在求解时，注意第一次取出不同试题之后，放回的试题不一样，这样在第二次取试题的时候，背景就改变了，究竟第二次取试题是在什么样的背景下，要紧密关联第一次取试题的结果，如果割裂开两次取试题之间的关系，就会出现错误.15.（2012湖南高考卷t1712分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）【解析】（）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:(分钟).（）记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得.是互斥事件，.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.16某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量x（单位：毫米）有关，据统计，当x=70时，y=460；x每增加10，y增加5已知近20年x的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （）完成如下的频率分布表近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率 （）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率解：（i）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率 （ii）p（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”） 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为17（2011年湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概率；（）记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列和数学期型。解（i）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）（）由题意知，的可能取值为2,3. （“当天商品销售量为1件”） （“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”） 故的分布列为23 的数学期望为18.（2011年安徽）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.解：（i）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于 （ii）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量x的分布列为x123p 所需派出的人员数目的均值（数学期望）ex是 （iii）（方法一）由（ii）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于的任意排列，都有（*）事实上，即（*）成立.（方法二）（i）可将（ii）中所求的ex改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii）也可将（ii）中所求的ex改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.序综合（i）（ii）可知，当时，ex达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.19.（2011年北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。（）如果x=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为， 的平均数）解：（1）当x=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差为（）当x=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数y的可能取值为17，18，19，20，21事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此p（y=17）=同理可得所以随机变量y的分布列为：y1718192021pey=17p（y=17）+18p（y=18）+19p（y=19）+20p（y=20）+21p（y=21）=17+18+19+20+21=1920.（2011年福建）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，8，其中x5为标准a，x为标准b，已知甲厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（i）已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：5678p04ab01且x1的数字期望ex1=6，求a，b的值；（ii）为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望 （iii）在（i）、（ii）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：（1）产品的“性价比”=； （2）“性价比”大的产品更具可购买性解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。解：（i）因为又由x1的概率分布列得由（ii）由已知得，样本的频率分布表如下：345678030202010101用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数x2的概率分布列如下：345678p030202010101所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（iii）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。21.（2011年广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x175，且y75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品故乙厂生产有大约（件）优等品， （3）的取值为0，1，2。所以的分布列为012p故22.（2011年辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（i）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为x，求x的分布列和数学期望；（ii）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数解： （i）x可能的取值为0，1，2，3，4，且即x的分布列为 4分x的数学期望为 6分 （ii）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 8分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 10分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.23.（2011年全国大纲）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为03,设各车主购买保险相互独立（i）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；（）x表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求x的期望。 解：记a表示事件：该地的1位车主购买甲种保险； b表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； c表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； d表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （i）3分 6分 （ii），即x服从二项分布，10分所以期望12分24.（2011年全国新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品现用两种新配方（分别称为a配方和b配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：a配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数82042228b配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数412423210（i）分别估计用a配方，b配方生产的产品的优质品率；（ii）已知用b配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为从用b配方生产的产品中任取一件，其利润记为x（单位：元）求x的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）解（）由试验结果知，用a配方生产的产品中优质的平率为，所以用a配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3由试验结果知，用b配方生产的产品中优质品的频率为，所以用b配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）用b配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，054，0.42，因此p(x=-2)=0.04， p(x=2)=0.54， p(x=4)=0.42，即x的分布列为2240.040.540.42x的数学期望值ex=-20.04+20.54+40.42=2.6825.（2011年山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员a、b、c进行围棋比赛，甲对a，乙对b，丙对c各一盘，已知甲胜a，乙胜b，丙胜c的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.解：（i）设甲胜a的事件为d，乙胜b的事件为e，丙胜c的事件为f，则分别表示甲不胜a、乙不胜b，丙不胜c的事件。因为由对立事件的概率公式知红队至少两人获胜的事件有：由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为 （ii）由题意知可能的取值为0，1，2，3。又由（i）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此由对立事件的概率公式得所以的分布列为：0123p0103504015因此26.（2011年陕西）如图，a地到火车站共有两条路径l1和l2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10202030304040505060l1的频率0102030202l2的频率001040401现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。（）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（）用x表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（）的选择方案，求x的分布列和数学期望。解（）ai表示事件“甲选择路径li时，40分钟内赶到火车站”，bi表示事件“乙选择路径li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2用频率估计相应的概率可得p（a1）=01+02+03=06，p（a