浙江省宁波市高三数学下学期第二次模拟考试试题 理（含解析）.doc

宁波市2015年高考模拟考试数学（理科）试题第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1、下列函数中，在区间(0，+)上为增函数的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d考点：基本初等函数的单调性.2、设，则“”是“直线与直线垂直”的（ ）a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】试题分析：若直线与直线垂直，所以，得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.考点：充分必要条件的判断.3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为（ ）a.b.c.d.【答案】c【解析】试题分析：根据俯视图和侧视图可知，该集合的直观图如下图所示：据此可知该几何体的正视图为选项c考点：空间几何体的三视图.4、设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）a.则b. 且，则c. ，则 d.，则 【答案】a【解析】试题分析：选项b中，m与n还可能异面，或相交，故不正确；选项c中，与还可能平行或相交，故不正确；选项d中，与还可能相交，故不正确；据此选项a正确.考点：线线、线面、面面的垂直、平行关系的判断.5、已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为（ ）a.4 b. 5 c.6 d. 11【答案】b【解析】试题分析：，线段的中点到轴的距离为，故选b.考点：直线与抛物线的位置关系.6、将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）a.b. c. d. 【答案】d考点：函数的图象变换7、在平面直角坐标系xoy中，已知点a是半圆上的一个动点，点c在线段oa的延长线上，当20时，点c的轨迹为 （ ）a.椭圆一部分 b.抛物线一段 c.线段 d. 圆弧【答案】c【解析】试题分析：作出半圆的图形，如下图, 设点，由于点c在线段oa的延长线上，所以与的方向相同，故，且，当点在点时， ，解得当点在点时，解得综上可得，则点c的纵坐标的取值范围是，故点c的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为.考点：轨迹方程.8、已知点(x，y)的坐标满足条件，且x，y均为正整数。若4xy取到最大值8，则整数a的最大值为（ ）a.4 b. 5 c.6 d. 7【答案】b【解析】试题分析：解：由约束条件作出可行域，如图，联立，得，即 ，不是整解，解得： ，当时， ，此时可行域内无整解，使得目标函数取到最大值，当时，此时可行域内有整解，使得目标函数取到最大值整数的最大值为故选：b考点：简单线性规划第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题。前4题每空3分，后3题每空4分，共36分9、已知集合，全集，则= ， = 【答案】【解析】试题分析：，所以，所以，考点：集合的交集、并集、补集运算.10、已知，则的值是 _，的值是 _【答案】，【解析】试题分析：，解得；所以.考点：1.同角的基本关系；2.两角和差公式.11、已知 则 ；若关于x的方程f(x)=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：；当时，此时，当时，则，作出函数的图象如图：若于的方程恰有三个不同的解，则等价为函数与恰有三个不同的交点，直线过定点， 当直线过点时，此时，解得，此时直线和有4个交点；当直线经过点 时，即 ，解得，当直线与相切时，即，由判别式 ，解得（舍去）或，此时直线和有4个交点；当直线过点时，此时，如图直线和有2个交点，综上要使两个函数的图象恰有三个不同的交点，则直线满足在dc和da之间，或在切线和db之间，即，或 即考点：分段函数的应用12、设为数列的前项和，对任意正整数成立，则= ， .【答案】【解析】试题分析：,所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以.考点：1.数列的通项公式；2.等差数列的前项和.13、设为双曲线在第一象限的一个动点，过点向两条渐近线作垂线，垂足分别为，若始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率的取值范围为 。【答案】【解析】试题分析：此题的渐近线斜率为，若垂足始终在第一或第二象限，则斜率为的这条渐进线，倾斜角应大于等45即 ，得，所以离心率，得 考点：双曲线的离心率.14、已知，若，则与夹角的余弦值的最小值等于 【答案】【解析】试题分析：设与夹角，将该式变成： ；将该式看成关于的一元二次方程，该方程有解；解得 ，或（舍去）；与夹角的余弦值的最小值为考点：平面向量的数量积.15、若对任意，直线与圆均无公共点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意，圆心到直线的距离，所以或，所以考点：1.直线与圆的位置关系； 2.三角函数的性质.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16、（本题满分15分）在中，内角 所对的边长分别为，.（）求角的大小；（）已知不是钝角三角形，且，求的面积.【答案】（）或;（）.【解析】试题分析：由，利用同角基本关系和三角函数诱导公式可得，化简可得 ，即可求出结果.（）由题意得可得,分和两种情况讨论，然后再利用三角函数的面积公式即可取出结果.试题解析：解：（）由，得 又或.（）由题意得即当时， 当时，得 由正弦定理得由题意，所以，解得，所以，综上，的面积为.考点：1.同角的基本关系、诱导公式；2.正弦定理.17、（本题满分15分）如图，正四棱锥中，分别为的中点，设为线段上任意一点。（）求证：；（）当直线与平面所成的角取得最大值时，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（）详见解析;（）.【解析】试题分析：（）设交于，由题意可知底面 ，又，可得然后再利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明结果；（）方法一：设，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量在立体几何的中应用，即可求出结果.方法二：不妨设，取中点，则平面，点到平面的距离为，设与平面所称角为，则，当最小时，最大，此时为中点.过作平面，所以到平面的距离为到平面的距离，即到平面的距离的一般，的长即为到平面的距离的一半，即所以，即可求出结果.试题解析：（）证：设交于，为正四棱锥，底面1分又，又，. 4分（）解：设，如图建立空间直角坐标系，abcdsfgepzyxo则设，故点因为平面，所以取平面得一个法向量设与平面所成角为，则 点在线段上，即时，取最大值，也即最大，此时点为中点，即. 设二面角的大小为，由图中可知为锐角面的一个法向量 ，设平面的一个法向量为，则 由取，则，即所以，二面角的余弦值为方法二：不妨设，取中点，则平面，点到平面的距离为，设与平面所称角为，则当最小时，最大，此时为中点.过作平面，所以到平面的距离为到平面的距离，即到平面的距离的一般，的长即为到平面的距离的一半，即所以，从而，即二面角的余弦值为.考点：1.线面垂直的判断和性质定理；2.二面角的求法.18、（本题满分15分）如图，是椭圆的左焦点，椭圆的离心率为，为椭圆的左顶点和上顶点，点在轴上，的外接圆恰好与直线相切.（）求椭圆的方程；（）过点的直线与已知椭圆交于两点，且，求直线的方程.【答案】（）;（）.试题解析：解：（）因为椭圆的离心率为，得得所以直线的斜率，直线的方程为，得到，所以圆的方程为由圆恰好与直线相切，得所求的椭圆方程为.（）由（）得直线由消去得.设,则 所以， 所以.满足从而直线的方程为 .考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.19. （本题满分15分）已知为实数，且，数列的前项和满足（）求证：数列为等比数列，并求出公比；（）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于 都有.【答案】（）详见解析;（）详见解析.【解析】试题分析：（i）当时，a ，化为，变形为 ，即可证明数列为等比数列，公比；（ii）由（i）可得： ，由，可得，令，则，可得取到最小整数为，此时 ，当时， ，则，当时，则，然后利用等比数列前项和公式即可求出结果.试题解析：（i）证明：当时，a ，化为，变形为 ，又 ，数列为等比数列，公比；（ii）证明：由（i）可得： ，化为，由，可得 ，令，则 ， ，解得取到最小整数为，此时 ，当时， ，则，当时，则， ，.考点：1.等比数列的定义和性质；2.数列与不等式的综合应用.20、（本题满分14分）设函数.（）当时，讨论函数的零点个数；（）若对于给定的实数，存在实数，使不等式对于任意恒成立。试将最大实数表示为关于的函数，并求的取值范围.【答案】（）当 或 时，函数有一个零点，当或时，函数有2个零点，当时，函数有三个零点;（）.【解析】试题分析：解：（），由于，对 分，；和进行讨论；（）首先记 ，原问题等价于：当时，,最大实数，即 时的的值，利用二次函数在闭区间上的讨论方法，即可求出结果.试题解析：解：（），当时，在上无解，在上恰有一解，当时，在上恰有一解，在上恰有一解，此时函数有2个零点，当 时，在上恰有一解，若，则在上无解，若，则在上恰有一解，若，则在上恰有两个不同的解，