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二次函数的图象和性质 对称性 1 抛物线的对称轴是直线 2 对于抛物线上两个不同点P1 P2 若有 则P1 P2两点是关于 对称的点 且这时抛物线的对称轴是直线 反之亦然 知识回顾 左同右异 3 若抛物线与轴的两个交点是A 0 B 0 则抛物线的对称轴是 此结论是第2条性质的特例 但在实际解题中经常用到 对称轴 4 若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A 0 且其对称轴是 则另一个交点B的坐标可以用 表示出来 注 应由A B两点处在对称轴的左右情况而定 在应用时要把图画出 5 若抛物线与轴的两个交点是B 0 C 0 其顶点是点A 则 ABC是 三角形 且 ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的 上 知识回顾 等腰三角形 对称轴 比比看谁快 在解题中的应用 例1已知二次函数的图象经过A 1 0 B 3 0 且函数有最小值 8 试求二次函数的解析式 例2已知抛物线 设 是抛物线与轴两个交点的横坐标 且满足 1 求抛物线的解析式 2 设点P Q 是抛物线上两个不同的点 且关于此抛物线的对称轴对称 求的值 例3 已知二次函数 如果 且当x 1时 y 3 那么当x 3时 y 比比看谁快 在解题中的应用 例4 已知二次函数 当自变量取两个不同的值 时 函数值相等 则当自变量取 时的函数值与 A 1时的函数值相等B 0时函数值相等C 时的函数值相等D 时的函数值相等例5 对于二次函数有下列说法 它的图象与轴有两个公共点 如果将它的图象向左平移3个单位后过原点 则 当的函数值与 2008时的函数值相等 则当 2012时的函数值为 3 其中正确的说法是是 把你认为正确说法的序号都填上 B 对于抛物线 自变量取时 函数值相等 那么x取 的函数值等于 c 比比看谁快 在解题中的应用 例6 已知二次函数 1 求证不论k为何实数 抛物线经过轴上一定点 2 设抛物线与y轴交于c点 与x轴交于A 0 0 两点 且满足 问过A B 三点的圆与抛物线是否有第四个交点 若无交点 请说明理由 若有 求出交点的坐标 分析 讨论抛物线与圆是否有交点问题 利用两个图形都为轴对称图形的特性 数形结合 开辟了解题通道 例7已知抛物线的顶点A在直线上 1 求抛物线顶点的坐标 2 抛物线与轴交于B C两点 求B C两点的坐标 3 求 ABC的外接圆的面积 探究 例8二次函数的图象与轴交于点 0 且通过点 2 8 1 求抛物线的解析式 2 若抛物线的顶点为M与x轴交点自左至右为A B 过M向x轴作垂线 垂足为P N为y轴上的点 并且 AON MAP 求N点的坐标 今天你学到了什么 还
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