高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 新人教A版选修23.ppt

1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 通过实例 总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义 分清它们的条件和结论 2 掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理解两个原理的区别与联系 3 能根据具体问题的特征 选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 1 2 3 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n m n种不同的方法 知识拓展完成一件事有n类不同方案 在第1类方案中有m1种不同的方法 在第2类方案中有m2种不同的方法 在第n类方案中有mn种不同的方法 则完成这件事情共有n m1 m2 mn种不同的方法 做一做1 从甲地到乙地一天之中有三次航班 两趟火车 某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有 a 2种b 3种c 5种d 6种解析 当天从甲地赶往乙地的方法有3 2 5种 答案 c 1 2 3 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n m n种不同的方法 知识拓展完成一件事需要n个步骤 完成第1步有m1种不同的方法 完成第2步有m2种不同的方法 完成第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 1 2 3 做一做2 已知集合a 1 2 b 3 4 5 从集合a和集合b中各取一个元素 分别作为平面直角坐标系中的点的横坐标与纵坐标 则不同点的个数为 a 5b 6c 10d 12解析 完成这件事可分两步 第一步 从集合a中任取一个元素作为点的横坐标 有2种不同的方法 第二步 从集合b中任取一个元素作为点的纵坐标 有3种不同的方法 由分步乘法计数原理 共有2 3 6种不同的方法 故有6个不同的点 答案 b 1 2 3 3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系 1 2 3 温馨提示1 分类加法计数原理是对完成这件事的所有方法的一个分类 分类时 首先要根据问题的特点确定一个分类的标准 然后在确定的分类标准下进行分类 其次 分类时要注意满足一个基本要求 完成这件事的任何方法必属于其中的某一类 并且分别属于不同类的两种方法都是不同的方法 只有满足这些条件 才能使用分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理是指完成这件事的任何一种方法 都要分成n个步骤 分步时 首先要根据问题的特点确定一个分步标准 其次 分步时还要注意满足完成一件事情必须且只需连续完成这n个步骤后才能完成 只有满足这些条件 才能使用分步乘法计数原理 1 2 3 做一做3 某单位职工举行无偿献血活动 在体检合格的人中 o型血的共有18人 a型血的共有10人 b型血的共有8人 ab型血的共有3人 完成下面两件事 从中任选1人去献血 从四种血型的人中各选1人去献血 不同选法的种数分别是 a 4320 39b 39 39c 39 4320d 4320 4320解析 任选1人去献血 即不论选哪种血型的哪个人 这件 任选1人去献血 的事情都可以完成 所以用分类加法计数原理 共有18 10 8 3 39种不同选法 要从四种血型的人中各选1人去献血 即要在每种血型的人中依次选出1人后 这件 各选1人去献血 的事情才能完成 所以用分步乘法计数原理 共有18 10 8 3 4320种不同的选法 答案 c 1 2 1 如何使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理剖析分类加法计数原理和分步乘法计数原理的根本区别在于 一个与分类有关 一个与分步有关 区分的主要依据是分类时各类方法都能独立完成这件事 并且各种方法互不影响 而分步时每一步都不能独立完成这件事 各个步骤相互依存 步与步之间有连续性 在应用两个计数原理处理具体问题时 一般要按五个步骤进行 1 明确完成的这件事是什么 2 思考如何完成这件事 3 判断它属于分类还是分步 4 确定运用哪个计数原理 5 进行运算 1 2 1 2 1 2 2 对于两个计数原理的综合应用问题 是应该先分类还是先分步剖析对于两个计数原理的综合应用问题 一般是先分类再分步 分类时要设计好标准 设计好分类方案 防止重复和遗漏 分步时要注意步与步之间的连续性 同时应合理设计步骤的顺序 使各步互不干扰 我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格 使问题的实质直观地显现出来 从而便于我们解题 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 某校从高二的4个班中抽出一些同学组成数学课外小组 其中一 二 三 四班分别抽出了4名 5名 6名 7名同学 若任选其中1名同学担任组长 有多少种不同的选法 分析本题要完成的一件事是 任意选出1名同学担任组长 所以只要从4个班抽出的同学中任意选出1名同学就算完成任务 故应用分类加法计数原理求解 解 分四类 第一类 从一班抽出的同学中选1名同学担任组长 有4种不同选法 第二类 从二班抽出的同学中选1名同学担任组长 有5种不同选法 第三类 从三班抽出的同学中选1名同学担任组长 有6种不同选法 第四类 从四班抽出的同学中选1名同学担任组长 有7种不同选法 根据分类加法计数原理 共有4 5 6 7 22种不同选法 题型一 题型二 题型三 题型四 反思分类加法计数原理要求每一类方案中的各种方法都是相互独立的 且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事 在应用该原理解题时 要根据问题的特点 确定好分类的标准 分类时应满足 完成一件事的任何一种方法 必属于某一类且仅属于某一类 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 在所有两位数中 个位上的数字大于十位上的数字的两位数 共有多少个 解 方法一 按十位上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别有8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 根据分类加法计数原理 符合题意的两位数的个数共有8 7 6 5 4 3 2 1 36 方法二 按个位上的数字分别是2 3 4 5 6 7 8 9的情况分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别有1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 根据分类加法计数原理知 符合题意的两位数的个数共有1 2 3 4 5 6 7 8 36 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b a b m 表示平面上的点 问 1 点p可表示平面上多少个不同的点 2 点p可表示平面上多少个第二象限内的不同的点 分析完成 确定点p 这件事 需要依次确定点p的横坐标和纵坐标 应运用分步乘法计数原理求解 解 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 有6种不同方法 第二步确定b的值 也有6种不同方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上不同的点p的个数为6 6 36 2 确定平面上第二象限内的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 因为a0 所以有2种不同方法 由分步乘法计数原理 得到平面上第二象限内不同的点p的个数为3 2 6 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用分步乘法计数原理解决问题时应注意 1 要按事件发生的过程合理分步 即分步是有先后顺序的 2 各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各个步骤都完成才算完成这件事 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 现要排一份5天的值班表 每天有1人值班 共有5人 每人都可以值多天班或不值班 但相邻两天不准由同一人值班 问此值班表有多少种不同的排法 解 先排第1天 可排5人中任意一人 有5种排法 再排第2天 此时不能排第1天已排的人 有4种排法 再排第3天 此时不能排第2天已排的人 有4种排法 同理第4 5天均有4种排法 由分步乘法计数原理 知值班表不同排法的种数是5 4 4 4 4 1280 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色 每个区域涂一种颜色 若要求相邻 有公共边 的区域不同色 求不同的涂色方法的种数 分析因为要求相邻 有公共边 的区域不同色 所以可按 1号区域与4号区域同色 和 1号区域与4号区域不同色 两种情况分类 然后根据两个原理分别求解 题型一 题型二 题型三 题型四 解 第一类 1号区域与4号区域同色 此时可分三步来完成 第一步 涂1号区域和4号区域 有5种涂法 第二步 涂2号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此有4种涂法 第三步 涂3号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此也有4种涂法 由分步乘法计数原理知 有5 4 4 80种涂法 第二类 1号区域与4号区域不同色 此时可分四步来完成 第一步 涂1号区域 有5种涂法 第二步 涂4号区域 只要不与1号区域同色即可 因此有4种涂法 第三步 涂2号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此有3种涂法 第四步 涂3号区域 只要不与1号区域和4号区域同色即可 因此也有3种涂法 由分步乘法计数原理知 有5 4 3 3 180种涂法 依据分类加法计数原理知 不同涂色的方法的种数为80 180 260 题型一 题型二 题型三 题型四 反思涂色 种植 问题一般是综合应用两个计数原理求解 但也有几种常用方法 1 按区域的不同 以区域为主分步计数 用分步乘法计数原理分析 2 以颜色 种植作物 为主分类讨论 适用于 区域 点 线段 等问题 用分类加法计数原理分析 其中 涂色问题中有关空间几何体的 将空间问题平面化 转化成平面区域的涂色问题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 编号为a b c d e的五个小球 放到如图所示的五个盒子中 要求每个盒子只能放一个小球 且a球不能放到1 2号 b球必须放到与a相邻的盒子中 求不同的放法的种数 解 根据a球的位置分三类 1 若a球放入3号盒里 则b球只能放在4号盒里 剩下的三个盒子分别放c d e三球 共有3 2 1 6种放法 2 若a球放入5号盒子里 则b球只能放入4号盒中 剩下的三个盒子分别放c d e三球 共有3 2 1 6种放法 3 若a球放入4号盒子里 则b球可以放到2号 3号或5号盒子中 剩下的三个盒子分别放c d e三球 只有3 3 2 1 18种放法 综合上述 由分类加法计数原理得不同放法的种数共有6 6 18 30种 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点 因混淆分类与分步而致错 例4 某外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 其中7人会英语 3人会日语 从中选出会英语和日语的各一人 求不同的选法的种数 错解第一步 从会英语的7人中选一人 有7种选法 第二步 从会日语的3人中选一人 有3种选法 故