山东省菏泽一中高中数学《利用空间向量求空间角》学案 新人教版选修21.doc

1 高二二部数学学案高二二部数学学案 no 29no 29 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 课程标准课程标准 能用向量法解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 体会向量方法在研究几何问题 中的作用 学习目标学习目标 1 使学生学会求异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的向量方法 2 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 3 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 自主学习自主学习 1 异面直线所成的角 线面角 二面角的范围分别是什么 2 两向量的夹角的范围是什么 3 向量的有关知识 1 两向量数量积的定义 2 两向量夹角公式 3 什么是直线的方向向量 什么是平面的法向量 典型例题典型例题 例例 1 1 在 rt aob 中 aob 90 现将 aob 沿着平面 aob 的法向量方向平移到 a1o1b1 的位置 已知 oa ob o o 1 取 a1b1 a1o1的中点 d1 f1 求异面直线 bd1与 af1所成的 角的余弦值 a b o b1 o1 f1 a1 d1 例例 2 2 正方体 abcd a1b1c1d1的棱长为 1 点 e f 分别为 cd dd1的中点 1 求直线 b1c1与平面 ab1c 所成的角的正弦值 2 2 求二面角 f ae d 的余弦值 a a1 c1 b1 d c b d1 e f 例 3如图 甲站在水库底面上的点 a 处 乙站在水坝斜面上的点 b 处 从 a b 到直线 库底与水坝的交线 的距离 ac 和 bd 分别为 a 和 b cd 的长为 c ab 的长为 d 求 库底与水坝所成二面角的余弦值 a c b d 巩固练习 巩固练习 如图 已知 直角梯形 oabc 中 oa bc aoc 90 so 平面 oabc 且 os oc bc 1 oa 2 求 异面直线 sa 和 ob 所成的角的余弦值 os 与平面 sab 所成角 的正弦值 二面角 b as o 的余弦值 3 o a b c s a c b d 教学过程教学过程 4 一 复习引入 1 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等 问题 进行向量运算 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 回到图形 二 知识讲解与典例分析 知识点 1 异面直线所成的角 范围 1 定义 过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a 与 b 那么直线 a 与 b 所成的不大于 90 的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 2 用向量法求异面直线所成角 设两异面直线 a b 的方向向量分别为 和 m n 问题 1 当与的夹角不大于 90 时 异面 mn 直线 a b 所成的角 与 和 的夹角的关 mn 系 相等 问题问题 2 2 当与的夹角大于 90 时 异面直 mn 线 a b 所成的角 与和 的夹角的关系 互补 mn 所以 异面直线 a b 所成的角的余弦值为 2 0 nm coscos nm nm a b o a b 5 典型例题 1 在 rt aob 中 aob 90 现将 aob 沿着平面 aob 的法向量方向平 移到 a1o1b1 的位置 已知 oa ob oo1 取 a1b1 a1o1 的中点 d1 f1 求异面直线 bd1 与 af1 所成的角的余弦值 解 以点 o 为坐标原点建立空间直角坐标系 并设 oa 1 则 a 1 0 0 b 0 1 0 f1 0 1 d1 1 2 1 2 1 2 1 所以 异面直线 bd1 与 af1 所成的角的余弦值为 知识点 2 直线与平面所成的角 范围 据图分析出直线与 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx 1 0 2 1 1 af 1 2 1 2 1 1 bd 11 11 11 cos bdaf bdaf bdaf 2 3 4 5 10 4 1 2 0 10 30 10 30 sin nab cos b a o n n b a o n n 6 a1 z c1 ad 平面所成的角的正弦值为 典型例题 2 正方体 abcd a1b1c1d1 的棱长为 1 点 e f 分别为 cd dd1 的中点 1 求直线 b1c1 与平面 ab1c 所成的角的正弦值 2 求二面角 f ae d 的余弦值 解 1 以点 a 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 则 a 0 0 0 b1 1 0 1 c 1 1 0 c1 1 1 1 0 0 1 acnabn则 3 二面角 范围 0 1 0 11 cb b d1 b1 c y x 0 1 1 1 0 1 1 acab 设平面ab1c的法向量为n x1 y1 z1 所以 x1 z1 0 x1 y1 0 取x1 1 得y1 z1 1 3 3 31 010 11 11 11 cos cbn cbn cbn 故所求直线b1c1与平面ab1c所成的角的正弦值为 3 3 0 n n1 1 n n2 2 31 010 3 3 7 解 2 由题意知 0 1 2 1 2 1 1 0 fe 0 1 2 1 2 1 1 0 aeaf 设平面aef的法向量为m x2 y2 z2 典型例题 2 2 点 e f 分别为 cd dd1 的中点 求二面角 f ae d 的余弦值 n n1 1 n n2 2 cos 21 cosnn cos 21 cosnn 21 cosnn cos 8 取y2 1 得x2 z2 2 所以 0 2 1 22 zy 0 2 1 22 yx 故m 2 1 2 又平面aed的法向量为aa1 0 0 1 观察图形知 二面角f ae d为锐角 所以所求二面角f ae d 的余弦值为 3 2 0 0 aemafm则 3 2 13 2 1 1 1 cos aam aam aam 典型例题 3 如图 甲站在水库底面上的点 a 处 乙站在水坝 斜面上的点 b 处 从 a b 到直线 库底与水坝的交线 的距离 ac 和 bd 分别为 a 和 b cd 的长为 c ab 的长为 d 求库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 dabccdbbdaac 根据向量的加法法则 dbcdacab 2 2 2 dbcdacabd 2 222 dbcddbaccdacbdcdac dbacbca 2 222 dbcabca 2 222 于是 得 2222 2dcbadbca 设向量 与 的夹角为 就是库与水坝所成的二面角 cadb 因此 cos2 2222 dcbaab 所以 2 cos 2222 ab dcba l 9 库底与水坝所成二面角的余弦值是 2 2222 ab dcba 三 巩固练习 如图 已知 直角梯形 oabc 中 oa bc aoc 90 so 平面 oabc 且 os oc bc 1 oa 2 求 异面直线sa 和 ob 所成的角的余弦值 直线 os 与平面 sab