《平面向量的应用》PPT课件.ppt

一 柯西不等式 1 證明 注意 2 範例 設實數x y滿足3x y 24 解 求9x2 y2的最小值 及此時的x y 所以9x2 y2有最小值288 所以x2 y2有最小值100 求x2 y2的最小值 及此時的x y Ans x 8 y 6時 x2 y2有最小值100 解 馬上練習 設實數x y滿足4x 3y 50 解 3 範例 設實數x y滿足4x2 9y2 25 求8x 9y的最大值與最小值 及此時的x y 8x 9y的最大值25 8x 9y的最小值 25 注意 cos 與sin 滿足cos2 sin2 1 馬上練習 設實數x y滿足x2 4y2 8 Ans x 2 y 1 x 2y最大值4 x 2 y 1 x 2y最小值 4 求x 2y的最大值與最小值 及此時的x y 解 x 2y的最小值 4 x 2y的最大值4 4 範例 解 馬上練習 Ans 解 5 範例 解 即a的最小值為4 L P x1 y1 L Q x2 y2 二 兩直線的交角 1 直線的法向量 證明 設P x1 y1 Q x2 y2 為L上相異兩點 L ax by c 0 A x0 y0 P x y 證明 設A x0 y0 為L上一定點 且P x y 為L上任一點 注意 2 範例 已知直線L 3x 4y 5 0 試問下列哪些向量可為L的法向量 解 直線L 3x 4y 5 0的一個法向量可以是 所以 1 3 4 均可為L的法向量 馬上練習 已知直線L 2x 3y 5 0 試問下列哪些向量可為L的法向量 Ans 2 3 4 解 直線L 2x 3y 5 0的一個法向量可以是 所以 2 3 4 均可為L的法向量 L1 1800 L2 3 兩直線的夾角 說明 450 故L1與L2的交角為450或1350 解 4 範例 則直線L1與L2的夾角為 與1800 300 故所求交角為300或1500 馬上練習 Ans 300與1500 解 300 M L 5 範例 解 設所求直線L的斜率為m 但直線L必有兩解 故另一直線無斜率 鉛直線 L y 2 m x 1 mx y m 2 0 夾角為300的直線方程式 即x 1 過點 1 2 1 2 O A B H 三 正射影 投影 1 正射影 2 範例 解 馬上練習 Ans 正射影為 2 4 解 A B C H 3 範例 ABC中 A 2 1 B 6 1 與C 1 4 解 並求過C的高在直線AB上的垂足坐標 馬上練習 Ans 解 O C B A 4 範例 已知A a 1 B 2 b 與C 3 4 為坐標平面上三點 解 的正射影相同 則a與b滿足的關係式為何 而O為原點 正射影相同 d P x0 y0 A x1 y1 L ax by c 0 四 點到直線的距離 1 證明 設A x1 y1 為L上任一點 解 2 範例 求點P 3 4 到直線L 3x 4y 5 0的距離 解 Ans 2 馬上練習 求點P 2 1 到直線L 12x 5y 3 0的距離 3 範例 解 馬上練習 已知x y滿足L 3x 4y 15 求x2 y2的最小值 Ans 9 解 x2 y2表L上任一點 x y 到O 0 0 的距離平方 d L1 L2 P x1 y1 4 兩平行線的距離 證明 5 範例 解 Ans 2 求平行直線L 3x 4y 5 0 且距離為2的直線方程式 解 馬上練習 L1 L2 P 6 範例 已知兩直線L1 2x y 1 0 與L2 x 2y 5 0 解 設點P x y 為角平分線上任一點 求兩直線的銳角平分線與鈍角平分線方程式 1 銳角平分線 此時P x y 在L1 2x y 1 0的右側 2x y 1 0 P x y 在L2 x 2y 5 0的左側 x 2y 5 0 故銳角平分線方程式為2x y 1 x 2y 5 x y 2 0 2 鈍角 平分線 此時Q x y 在L1 2x y 1 0的左側 2x y 1 0 Q x y 在L2 x 2y 5 0的左側 x 2y 5 0 故鈍角平分線方程式為 2x y 1 x 2y 5 x y 4 0 L1 L2