高中数学 第一章 数列 归纳总结2学案 北师大版必修5.doc

第一章 数列 归纳总结专题探究专题1数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式.根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：1.知sn求an例1（1）已知数列an的前n项和sn=(-1) n+1n,求an;（2）已知数列an的前n项和sn=3+2n,求an. s1（n=1）分析利用an= ，求数列an的通项公式. sn-sn-1 (n2)解析(1)当n2时，an=sn-sn-1=(-1) n+1n-(-1) n(n-1)=(-1) n(1-2n),当n=1时，a1=s1=(-1) 21=1,适合上式.an=(-1) n(1-2n).(2)当n2时，an=sn-sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当n=1时，a1=s1=3+21=5,不满足上式. 5(n=1)an= .2n-1(n2)说明已知sn求an,即已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是an=sn-sn-1 (n2),这里常忽略了条件n2而导致错误，因此必须验证n=1时是否成立，若不成立，则 s1 （n=1）通项公式只能用分段函数an= 来表示.sn-sn-1 （n2）变式应用1（1）已知数列an的前n项和sn=n2+3n+1,求通项an;(2)已知数列an的前n项和sn=3n+2n，求通项 an.解析(1)当n2时，an=sn-sn-1=n2+3n+1-(n-1) 2-3(n-1)-1=2n+2,又n=1时，a1=s1=5不满足上式. 5(n=1)an= .2n+1(n2)（2）当n2时，an=sn-sn-1=3n+2n-3n-1+2(n-1)=23n-1+2=2(3n-1+1)又n=1时，a1=s1=5不满足上式， 5(n=1)an= .2(3n-1+1)(n2)2.累加法例2已知a1=1,an+1-an=2n-n,求an.分析当n2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1),而a2-a1=21-1,a3-a2=22-2,an-an-1=2n-1-(n-1),层层累加就可以求出an.解析an+1-an=2n-n,a2-a1=21-1,a3-a2=22-2,a4-a3=23-3,an-an-1=2n-1-(n-1).当n2时，有an-a1=(2+22+2n-1)-1+2+3+(n-1).an=(1+2+22+2n-1)- =2n-1，a1=1也适合上式.数列an的通项公式an=2n-1.说明已知a1且an+1-an=f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法求an.变式应用2已知an中，a11，且an+1-an=3n(nn+),求通项 an.解析an+1-an=3n(nn+),a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,an-an-1=3n-1 (n2)，以上各式相加得an-a1=3+32+33+3n-1=-,an=a1+-=- (n2).又a1=1满足上式，an=- (nn+).3.累乘法例3在数列an中，已知a1=1，an+1=2nan,求an.分析由an+1=2nan,可得=2n,于是=2, =22, =23, =2n-1,将上面各式相乘，便可求出数列an的通项公式.解析由an+1=2nan,得=2n,=2, =22, =23, =2n-1.将上述(n-1)个式子相乘，得=222232n-1,an=a121+2+3+(n-1) =2.说明已知a1且=f(n)(f(n)是可求积数列)的形式均可用累乘法求an.变式应用3已知数列an,a1=,前n项和sn与an的关系是sn=n(2n-1)an,求通项an.解析sn=n(2n-1)an,sn-1=(n-1)(2n-3)an-1 (n2)，两式相减，得an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1 (n2)，即（2n+1）an=(2n-3)an-1,=.=,=, (n2)，以上各式相乘，得,又a1=,an= (n2).a1=满足上式，an= (nn+).4.构造转化法例4在数列an中，a1=1,an+1=an+1,求an.分析通过整理变形，进而构造等比数列，由等比数列的通项间接求数列an的通项公式.解析由已知得an+1-an=1,an-an-1=1(n2),-，得an+1-an= (an-an-1).令bn=an+1-an,则=,bn为等比数列，公比为,b1=a2-a1=a1+1-a1=,bn=（）n-1=（）n,即an+1-an=（）n,由得an=3-3（）n.说明已知a1且an+1=pan+q(p,q为常数)的形式均可用上述构造法，特别地，若p=1，则an为等差数列；若q=0,p0，则an为等比数列.变式应用4已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2(nn).求数列an的通项公式.