高中数学常见题型解决方法归纳 反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法.doc

第50讲：轨迹方程的求法【考纲要求】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.【知识要点】 1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义（1） 列式：用坐标表示条件,列出方程；（2） 化简：化方程为最简形式；（3） 检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。3、求轨迹方程的四种主要方法 （1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。（2）代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程。（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。（4）参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参。 例1 线段与互相垂直平分于点，动点满足，求动点的轨迹方程解：如图1，以中点为原点，直线为轴建立直角坐标系设，易知整理得，故动点的轨迹方程为例2 已知圆： ，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹。解：设，由题得是直角三角形，且在直角三角形中，所以动点p的轨迹方程为它是以点为圆心，4为半径的圆。 ()求动点p的轨迹方程；()设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m,n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由。方法二待定系数法使用情景通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线（圆、圆锥曲线）的定义。解题步骤（1）分析出动点满足的方程；（2）证明动点满足某曲线（圆、圆锥曲线）的定义；（3）设出该曲线的待定系数方程；（4）求出待定系数，即得所求的轨迹方程。 例3 已知动圆p与两定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程解：设半径为的动圆圆心为，因为圆与圆，圆都外切，则，因此点的轨迹是焦点为中心在的双曲线的左支故所求轨迹方程为例4 在面积为1的中，建立适当坐标系，求以为焦点且过的椭圆方程解：如图2，以直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系设所求椭圆方程为，焦点为，由，得直线，直线 ，联立，求得点又，可得，则点又，则又，故所求椭圆方程为【点评】此题已知已经告诉是椭圆，所以直接利用待定系数法，先定式，后定量。【变式演练2】在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程例5已知抛物线和点，为抛物线上一点，点在线段上且，当点在该抛物线上移动时，求点的轨迹方程解：设点，由，知点分所成的比为，则又点在抛物线上，则整理得为所求轨迹方程 例6 已知曲线（1）证明:当时，曲线是一个圆；（2）求证圆心在一条定直线上。【点评】（1）此题求圆心在一定直线上，就是求动点的轨迹是一条直线；（2）圆心的运动主要是因为参数引起的，所以选用消参法解答。【变式演练4】已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程 【解析】设，又知，则直线的方程为 由，知，所以。从而，因而为定值 解析（1）设m的坐标为（x,y），显然有x0,.当mba=90时，点m的坐标为（2，, 3）当mba90时；x2.由mba=2mab,有tanmba=,即解得，m1,且m2设q、r的坐标分别为，由有【反馈训练】1 已知椭圆的焦点是f1、f2，p是椭圆上的一个动点，如果延长f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么动点q的轨迹是( )a 圆b 椭圆 c 双曲线的一支d 抛物线2 设a1、a2是椭圆=1的长轴两个端点，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端点，则直线a1p1与a2p2交点的轨迹方程为( )a b c d 3. 如图,定点a和b都在平面内，定点pc是内异于a和b的动点。且，那么动点c在平面内的轨迹是（ ）a. 一条线段，但要去掉两个点b. 一个圆，但要去掉两个点c. 一个椭圆，但要去掉两个点d. 半圆，但要去掉两个点5 abc中，a为动点，b、c为定点，b(,0),c(,0)，且满足条件sincsinb=sina,则动点a的轨迹方程为_ 6 高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为a(5，0)、b(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_ 7 已知a、b、c是直线l上的三点，且|ab|=|bc|=6，o切直线l于点a，又过b、c作o异于l的两切线，设这两切线交于点p，求点p的轨迹方程 8 双曲线=1的实轴为a1a2，点p是双曲线上的一个动点，引a1qa1p，a2qa2p，a1q与a2q的交点为q，求q点的轨迹方程 9 已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为a1、a2，与y轴平行的直线l交双曲线于点p、q (1)求直线a1p与a2q交点m的轨迹方程；(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率 11、已知，三点不在一条直线上，且，（1）求点轨迹方程；（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程12、一条双曲线的左、右顶点分别为a1,a2，点，是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程式； （2）若过点h(0, h)（h1）的两条直线l1和l2与轨迹e都只有一个交点，且 ,求h的值。【变式演练详细解答】【变式演练1详细解析】（i）解：因为点b与a关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为（ii）设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积 又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.【变式演练2详细解析】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中所求的重心的轨迹方程为注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.【变式演练3详细解析】设，由重心公式，得又在抛物线上，将，代入，得，即所求曲线方程是【变式演练4详细解析】如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系设点， 则由题意，得由点斜式得直线的方程分别为两式相乘，消去，得这就是所求点m的轨迹方程 3. b【解析】因为，且pc在内的射影为bc，所以，即。所以点c的轨迹是以ab为直径的圆且去掉a、b两点，故选b。4.d【解析】 因为p到的距离即为p到的距离，所以在面内，p到定点的距离与p到定直线bc的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点p的轨迹为抛物线，故选d。5 解析】 由sincsinb=sina,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为 答案 8 【解析】 设p(x0,y0）(xa),q(x,y) a1(a,0),a2(a,0) 由条件而点p(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2 即b2(x2)a2()2=a2b2化简得q点的轨迹方程为 a2x2b2y2=a4(xa) 9 【解析】 (1)设p点的坐标为(x1,y1)，则q点坐标为(x1,y1),又有a1(m,0),a2(m,0),则a1p的方程为 y=a2q的方程为 y= 得 y2= 又因点p在双曲线上，故代入并整理得=1 此即为m的轨迹方程 (2)当mn时，m的轨迹方程是椭圆 10 【解析】 (1)点f2关于l的对称点为q，连接pq，f2pr=qpr，|f2r|=|qr|，|pq|=|pf2|又因为l为f1pf2外角的平分线，故点f1、p、q在同一直线上，设存在r(x0,y0）,q(x1,y1),f1(c,0),f2(c,0) |f1q|=|f2p|+|pq|=|f1p|+|pf2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2 又得x1=2x0c,y1=2y0 (2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2 故r的轨迹方程为 x2+y2=a2(y0)(2)如右图，saob=|oa|ob|sinaob=sinaob当aob=90时，saob最大值为a2 此时弦心距|oc|= 在rtao