高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列（一）课件 新人教B版必修5.ppt

第二章 2 2等差数列 2 2 1等差数列 一 1 理解等差数列的定义 2 会推导等差数列的通项公式 能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题 3 掌握等差中项的概念 深化认识并能运用 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等差数列的概念 给出以下三个数列 1 0 5 10 15 20 2 4 4 4 4 3 18 15 5 13 10 5 8 5 5 它们有什么共同的特征 答案 从第2项起 每项与它的前一项的差是同一个常数 梳理 一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 2 常数 公差 知识点二等差中项的概念 思考 观察所给的两个数之间 插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列 1 2 4 2 1 5 3 a b 4 0 0 答案 梳理如果三个数x a y组成等差数列 那么a叫做x和y的等差中项 且a 知识点三等差数列的通项公式 思考 对于等差数列2 4 6 8 有a2 a1 2 即a2 a1 2 a3 a2 2 即a3 a2 2 a1 2 2 a4 a3 2 即a4 a3 2 a1 3 2 试猜想an a1 2 答案 n 1 梳理若一个等差数列 an 首项是a1 公差为d 则an a1 n 1 d 此公式可用叠加法证明 题型探究 由等差数列的定义得 1 2 5 为等差数列 3 4 不是等差数列 类型一等差数列的概念 例1判断下列数列是不是等差数列 1 9 7 5 3 2n 11 2 1 11 23 35 12n 13 3 1 2 1 2 4 1 2 4 6 8 10 5 a a a a a 解答 判断一个数列是不是等差数列 就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数 但数列项数较多或是无穷数列时 逐一验证显然不行 这时可以验证an 1 an n 1 n n 是不是一个与n无关的常数 反思与感悟 跟踪训练1数列 an 的通项公式an 2n 5 则此数列a 是公差为2的等差数列b 是公差为5的等差数列c 是首项为5的等差数列d 是公差为n的等差数列 an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 an 是公差为2的等差数列 答案 解析 1 a b c 7成等差数列 b是 1与7的等差中项 b 3 又a是 1与3的等差中项 a 1 又c是3与7的等差中项 c 5 该数列为 1 1 3 5 7 类型二等差中项 例2在 1与7之间顺次插入三个数a b c使这五个数成等差数列 求此数列 解答 反思与感悟 由m和2n的等差中项为4 得m 2n 8 又由2m和n的等差中项为5 得2m n 10 两式相加 得m n 6 所以m和n的等差中项为 3 跟踪训练2若m和2n的等差中项为4 2m和n的等差中项为5 求m和n的等差中项 解答 类型三等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1基本量 a d n 例3在等差数列 an 中 已知a6 12 a18 36 求通项公式an 解答 解得d 2 a1 2 an 2 n 1 2 2n 像本例中把已知量都用基本量a d n表示 列出方程求解的思想方法 称为方程思想 反思与感悟 由a1 8 a2 5 得d a2 a1 5 8 3 由n 20 得a20 8 20 1 3 49 解答 跟踪训练3 1 求等差数列8 5 2 的第20项 由a1 5 d 9 5 4 得这个数列的通项公式为an 5 n 1 4 4n 1 由题意 令 401 4n 1 得n 100 即 401是这个数列的第100项 2 判断 401是不是等差数列 5 9 13 的项 如果是 是第几项 解答 命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1 2元 km 起步价为10元 即最初的4km 不含4km 计费10元 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地 且一路畅通 等候时间为0 那么需要支付多少车费 解答 根据题意 当该市出租车的行程大于或等于4km时 每增加1km 乘客需要支付1 2元 故可以建立一个等差数列 an 来计算车费 令a1 11 2 表示4km处的车费 公差d 1 2 那么当出租车行至14km处时 n 11 此时需要支付车费a11 11 2 11 1 1 2 23 2 元 即需要支付车费23 2元 反思与感悟 在实际问题中 若一组数依次成等数额增长或下降 则可考虑利用等差数列方法解决 在利用数列方法解决实际问题时 一定要分清首项 项数等关键问题 跟踪训练4在通常情况下 从地面到10km高空 高度每增加1km 气温就下降某一个固定数值 如果1km高度的气温是8 5 5km高度的气温是 17 5 求2km 4km 8km高度的气温 解答 用 an 表示自下而上各高度气温组成的等差数列 则a1 8 5 a5 17 5 由a5 a1 4d 8 5 4d 17 5 解得d 6 5 an 15 6 5n a2 2 a4 11 a8 37 即2km 4km 8km高度的气温分别为2 11 37 当堂训练 由等差数列的定义 得d a2 a1 1 1 2 1 已知等差数列 an 的通项公式an 3 2n 则它的公差d为a 2b 3c 2d 3 答案 解析 1 2 3 因为a b c成等差数列 所以b是a c的等差中项 则有a c 2b 又因为a b c 180 所以3b 180 从而b 60 2 已知在 abc中 三内角a b c成等差数列 则角b等于a 30 b 60 c 90 d 120 答案 解析 1 2 3 a2 a5 a1 d a1 4d 2a1 5d 4 解答 1 2 3 3 等差数列 an 中 已知a1 a2 a5 4 an 33 求n的值 规律与方法 1 判断一个数列是不是等差数列的常用方法 1 an 1 an d d为常数 n n an 是等差数列 2 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 an kn b k b为常数 n n an