中考数学压轴题 二次函数动点问题（一）.doc

2012中考数学压轴题选讲（一）1.如图：抛物线经过a（-3，0）、b（0，4）、c（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知ad = ab（d在线段ac上），有一动点p从点a沿线段ac以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点q以某一速度从点b沿线段bc移动，经过t 秒的移动，线段pq被bd垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点m，使mq+mc的值最小？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线的对称轴为）解：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为（2）连接dq，在rtaob中，所以ad=ab= 5，ac=ad+cd=3 + 4 = 7，cd = ac - ad =7 5 = 2因为bd垂直平分pq，所以pd=qd，pqbd，所以pdb=qdb因为ad=ab，所以abd=adb，abd=qdb，所以dqab所以cqd=cba。cdq=cab，所以cdq cab 即所以ap=ad dp = ad dq=5 = ， 所以t的值是（3）答对称轴上存在一点m，使mq+mc的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以a（- 3，0），c（4，0）两点关于直线对称连接aq交直线于点m，则mq+mc的值最小过点q作qex轴，于e，所以qed=boa=90 dqab， bao=qde， dqe abo 即 所以qe=，de=，所以oe = od + de=2+=，所以q（，）设直线aq的解析式为则 由此得 所以直线aq的解析式为 联立由此得 所以m则：在对称轴上存在点m，使mq+mc的值最小。2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为d点，与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），oboc ，tanaco（1）求这个二次函数的表达式（2）经过c、d两点的直线，与x轴交于点e，在该抛物线上是否存在这样的点f，使以点a、c、e、f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点f的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图10，若点g（2，y）是该抛物线上一点，点p是直线ag下方的抛物线上一动点，当点p运动到什么位置时，apg的面积最大？求出此时p点的坐标和apg的最大面积.（1）由已知得：c（0，3），a（1，0） 1分将a、b、c三点的坐标代入得 解得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）存在，f点的坐标为（2，3） 理由：易得d（1，4），所以直线cd的解析式为：e点的坐标为（3，0），由a、c、e、f四点的坐标得：aecf2，aecf以a、c、e、f为顶点的四边形为平行四边形，存在点f，坐标为（2，3） （3）过点p作y轴的平行线与ag交于点q，易得g（2，3），直线ag为设p（x，），则q（x，x1），pq 当时，apg的面积最大，此时p点的坐标为， 3.如图，已知抛物线与x轴交于a（1，0）、b（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为d，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点p，使得pdc是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点p的坐标;若不存在，请说明理由;若点m是抛物线上一点，以b、c、d、m为顶点的四边形是直角梯形，试求出点m的坐标。解析：抛物线与y轴交于点c（0，3），设抛物线解析式为，根据题意，得，解得抛物线的解析式为存在. 由得，d点坐标为（1，4），对称轴为x1.若以cd为底边，则pdpc，设p点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y4x.又p点(x,y)在抛物线上，即解得，应舍去.，即点p坐标为.若以cd为一腰，因为点p在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点p与点c关于直线x1对称，此时点p坐标为（2，3）。符合条件的点p坐标为或（2，3）.由b（3，0），c（0，3），d（1，4），根据勾股定理,得cb,cd,bd,，,bcd90,设对称轴交x轴于点e，过c作cmde，交抛物线于点m，垂足为f，在rtdcf中，cfdf1, cdf45,由抛物线对称性可知，cdm24590,点坐标m为（2，3），dmbc, 四边形bcdm为直角梯形, 由bcd90及题意可知，以bc为一底时，顶点m在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以cd为一底或以bd为一底，且顶点m在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点m的坐标为（2，3）。4.已知：抛物线yax2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，线段ob、oc的长（oboc）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求a、b、c三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求abc的面积；（4）若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b不重合），过点e作efac交bc于点f，连接ce，设ae的长为m，cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点e的坐标，判断此时bce的形状；若不存在，请说明理由解：（1）解方程x210x160得x12，x28点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，且oboc点b的坐标为（2，0），点c的坐标为（0，8）又抛物线yax2bxc的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点a的坐标为（6，0）a、b、c三点的坐标分别是a（6，0）、b（2，0）、c（0，8）（2）点c（0，8）在抛物线yax2bxc的图象上c8，将a（6，0）、b（2，0）代入表达式yax2bx8，得解得所求抛物线的表达式为yx2x8（3）ab8，oc8sabc 88=32（4）依题意，aem，则be8m，oa6，oc8， ac10efac befbac 即 ef过点f作fgab，垂足为g，则sinfegsincab fg8mssbcesbfe（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自变量m的取值范围是0m8（5）存在 理由：sm24m（m4）28且0，当m4时，s有最大值，s最大值8m4，点e的坐标为（2，0） bce为等腰三角形5.已知抛物线与轴的一个交点为a(-1,0)，与y轴的正半轴交于点c直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点b的坐标；当点c在以ab为直径的p上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点，使得以点m和中抛物线上的三点a、b、c为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：对称轴是直线：，点b的坐标是(3,0) 说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分如图，连接pc，点a、b的坐标分别是a(-1,0)、b (3,0)，ab4在rtpoc中，oppaoa211， b 当时， 存在理由：如图，连接ac、bc设点m的坐标为当以ac或bc为对角线时，点m在x轴上方，此时cmab，且cmab由知，ab4，|x|4，x4点m的坐标为当以ab为对角线时，点m在x轴下方过m作mnab于n，则mnbaoc90四边形ambc是平行四边形，acmb，且acmbcaombnaocbnmbnao1，mncoob3，0n312点m的坐标为综上所述，坐标平面内存在点，使得以点a、b、c、m为顶点的四边形是平行四边形其坐标为（说明：求点m的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点m的坐标的方法均可，请参照给分）2012中考数学压轴题选讲（一）1.如图：抛物线经过a（-3，0）、b（0，4）、c（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知ad = ab（d在线段ac上），有一动点p从点a沿线段ac以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点q以某一速度从点b沿线段bc移动，经过t 秒的移动，线段pq被bd垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点m，使mq+mc的值最小？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线的对称轴为）2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为d点，与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），oboc ，tanaco（1）求这个二次函数的表达式（2）经过c、d两点的直线，与x轴交于点e，在该抛物线上是否存在这样的点f，使以点a、c、e、f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点f的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图10，若点g（2，y）是该抛物线上一点，点p是直线ag下方的抛物线上一动点，当点p运动到什么位置时，apg的面积最大？求出此时p点的坐标和apg的最大面积.3.如图，已知抛物线与x轴交于a（1，0）、b（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）。求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为d，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点p，使得pdc是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点p的坐标;若不存在，请说明理由;若点m是抛物线上一点，以b、c、d、m为顶点的四边形是直角梯形，试求出点m的坐标。4.已知：抛物线yax2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其中点b在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，线段ob、oc的长（oboc）是方程x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求a、b、c三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求abc的面积；（4）若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b不重合），过点e作efac交bc于点f，连接ce，设ae的长为m，cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（5）在（4）的基础上试说