求解线性方程组.doc

线性方程组求解实验报告 实验名称：线性方程组求解 成绩：_专业班级：数学与应用数学1202班 姓名：张晓彤 学号：2012254010227实验日期 ： 2014年11月21日实验报告日期： 2014年11月21日一、实验目的（1）掌握四种求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法.（2）掌握求解线性方程组过程中的基本理论思想.（3）能够熟练使用matla软件对线性方程组进行不同方式的求解.（4）能够区分四种求解方法的不同，以及每种方法的特点和优劣.二、实验内容2 .1（验证性实验）验证求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法.给出相关例题进行验证. 例一：用直接左除法求解线性方程组，给出系数矩阵A和b分别为：，例二:用LU分解法求解下面线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U. 例三：用QR分解法求解线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.例四：用Cholesky分解法求解线性方程组，给出A和b分别为：，2.2借用实例来区分四种方法的不同例：用直接左除法、LU分解法、QR分解法求解下面的线性方程组三、实验环境该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计. 四、实验步骤和结果4.1验证直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法的调用格式（1）直接左除法例一：用直接左除法求解线性方程组，给出系数矩阵A和b分别为：，给出matlab程序：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13;-9;6;0;x=Ab得到线性方程组的解：x = -66.5556 25.6667 -18.7778 26.5556所以，通过左除法得到的线性方程组的解为： （2）LU分解法例二:用LU分解法求解下面线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.给出matlab程序：A=10,-7,0,1;-3,2,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2;b=8;6;5;1;L,U=lu(A)x=U(Lb)得到方程组的解为：L = 1.0000 0 0 0 -0.3000 -0.0400 1.0000 0 0.5000 1.0000 0 0 0.2000 0.9600 -0.7742 1.0000U = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 0 0 6.2000 2.2400 0 0 0 4.9742x = 0 -1 1 1所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：（3）QR分解法 例三：用QR分解法求解线性方程组，要求写出分解出的矩阵L和U.求解：由方程组可以得到系数矩阵和初始向量分别为：，给出matlab程序：A=1,-1,1;5,-4,3;2,7,10;b=4,7,5;Q,R=qr(A)x=R(Qb)得到结果：Q = -0.1826 -0.0956 -0.9785 -0.9129 -0.3532 0.2048 -0.3651 0.9307 -0.0228R = -5.4772 1.2780 -6.5727 0 8.0229 8.1517 0 0 -0.5917x = -4.6154 -4.2308 4.3846所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：（4）Cholesky分解法例四：用Cholesky分解法求解线性方程组，给出A和b分别为：，给出matlab程序：A=2,1,1;1,2,-1;1,-1,3;b=6;3;4;R=chol(A)x=R(Rb)得到结果:R = 1.4142 0.7071 0.7071 0 1.2247 -1.2247 0 0 1.0000x = 2.0000 1.0000 1.0000所以，通过左除法得到的线性方程组的解为：4.2借用实例来区分四种方法的不同例1：用直接左除法、LU分解法、QR分解法求解下面的线性方程组已知，该线性方程组的系数矩阵和初始向量分别是：，借用matlab求解该线性方程组，使用直接左除法、LU分解法、QR分解法来同时得到相对应的三种方法的结果。给出matlab的程序：format longA=2,1,5,7;-1,3,-5,6;1,-1,3,9;-4,6,-1,5;b=16;7;19;41;x1=Ab %左除法得到的解%L,U=lu(A);x2=U(Lb) %LU分解法得到的结果%Q,R=qr(A);x3=R(Qb) %QR分解法得到的结果%得到如下结果：x1 = -7 1 3 2x2 = -7 1 3 2x3 = -6.999999999999998 1.000000000000001 2.999999999999999 1.999999999999999从结果中我们可以看到，用三种方法求出来的结果存在差异，但是差异及其小，直接左除法得到的结果和LU分解法得到的结果相同，但是QR分解法的到的结果却和前两者不一样，这说明，在求解线性方程组分时候，采用的方法不同得到的结果可能存在差异。例2：用Cholesky分解法对下面方程组进行求解给出matlab程序：A=2,1,1;1,2,-1;1,-1,3;b=3;7;5;R=chol(A);x=R(Rb)得到方程组的解为：x = -9.3333 12.6667 9.0000五、实验讨论、结论 通过这次实验，可以看出，在求解线性方程组的时候，我们可以采用直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky分解法这四种直接法来对线性方程组进行求解，但是需要注意的是，Cholesky分解法只能求解系数矩阵是对称正定的线性方程组，对其他类型的方程组不适用，我们还应知道，不同的方法对同一道题目来说，得到的结果可能相同可能不同.同时要明确的问题是：直接法实际上是通过有线的运算步骤，来求得线性方程组的精确解，但实际计算中，由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得方程组的近似解. 对于这四种方法，它们各有各的特点：（1）直接左除法采用直接左除法来对线性方程组进行求解的时候，要求线性方程组的系数矩阵必须是非奇异的.该方法是求解线性方程组的最简单的方法，也是最常用的一中方法.它的matlab调用格式为.（2）LU分解法LU分解法也叫直接三角分解法，是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵的乘积的形式，即，那么求解的问题就转化为了求解和的问题.（3）QR分解法该方法是将系数矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R乘积的形式，要注意的是QR分解只能对方正进行.（4）Cholesky分解法Cholesky分解法也