高中数学 函数练习（较难） 上科版.doc

函数1 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义 域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为 同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为4，1的“天一函数”共有_个（答：9）二求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。如（1）函数的定义域是_(答：)；（2）若函数的定义域为r，则_(答：)；（3）函数的定义域是，则函数的定义域是_(答：)；（4）设函数，若的定义域是r，求实数的取值范围；若的值域是r，求实数的取值范围（答：；）2根据实际问题的要求确定自变量的范围。3复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如（1）若函数的定义域为，则的定义域为_（答：）；（2）若函数的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5）三求函数值域（最值）的方法：1配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数的值域（答：4,8）；（2）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是_（答：）；（3）设函数，若定义域限制为时，的值域为，求的值.2换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）的值域为_（答：）；（2）的值域为_（答：）（3）的值域为_（答：）；（4）的值域为_（答：）；3函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，的值域（答： 、（0,1）、）；4单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，的值域（答：、）；5数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）；（2）求函数的值域（答：）；（3）求函数及的值域（答：、）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。6判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）型，先化简，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函数的值域（答：） 型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为r，值域为0，2，求常数的值（答：）型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）7不等式法利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是_.（答：）。8导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？四分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_（答：）；（2）已知，则不等式的解集_（答：）五求函数解析式的常用方法：1待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）2代换（配凑）法已知形如的表达式，求的表达式。如（1）已知求的解析式（答：）；（2）若，则函数=_（答：）；（3）若函数是定义在r上的奇函数，且当时，那么当时，=_（答：）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。3方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= _（答：）。六反函数：1存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是a、b、c、d、（答：d）2求反函数的步骤：反求；互换 、；注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数的反函数不是，而是。如设.求的反函数（答：） 3反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ，其中 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是_（答：4,7）.函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，注意函数的图象与的图象相同。如（1）已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_（答：（1,3）；（2）已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值（答：）； 。如（1）已知函数，则方程的解_（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数，f (4)0，则 （答：2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为_（答：（2,8）；设的定义域为a，值域为b，则有，但。七函数的奇偶性。1具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 （答：0）；2确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数的奇偶性_（答：奇函数）。变式训练: 判断下列函数的奇偶性1)f(x)lg； (2)f(x)(x1) ； 3)f(x) (4)f(x).(5f(x)； (6)f(x).利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性_.（答：偶函数）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。3函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数，则.如若定义在r上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为_.（答：）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数_（答：1）.定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为r的任一函数， ，。判断与的奇偶性； 若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则_（答：为偶函数，为奇函数；）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.4.函数的奇偶性应用 (1)已知f(x)是r上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x1，求f(x)的解析式；(2)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0内递减，求满足：f(1m)f(1m2)0的实数m的取值范围变式训练 (1)若函数f(x)loga(x)是奇函数，则实数a的值是_2)若偶函数f(x)在(，0)内单调递减，则不等式f(1)f(lg x)的解集是 （ ） a(0,10) b. c. d.(10，)3）函数f(x)的定义域dx|x0，且满足对于任意x1，x2d.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围4）已知函数的定义域是，且满足,如果对于,都有,（1）求； （2）解不等式。引申拓展：几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： -；幂函数型： -，；指数函数型： -，； 对数函数型： -，； 三角函数型： - 。如已知是定义在r上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为t，则_（答：0）八函数的单调性。1确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是_(答：）)；在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.如（1）若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数的取值范围是_(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_（答：）；（3）若函数的值域为r，则实数的取值范围是_(答：且）)；4） 若函数在上为增函数,则实数的取值范围是 。 （答：） 1）函数f(x)为r上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是 （ ） a(1,1) b(0,1) c(1,0)(0,1) d(，1)(1，)复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是_(答：（1,2）)。2特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；3函数单调性与奇偶性的逆用：（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：）九函数的周期性与对称性1.几种特殊的抽象函数的周期：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.2. 对称性： 函数关于原点对称即奇函数： 函数关于对称即偶函数： 函数关于直线 对称：或或 者 3函数的周期性与对称性的应用：例1已知f(x)是r上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )a、2005 b、2 c、1 d、0 （答：b）例2 设f（x）是定义在r上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(a)； (b)；(c)； (d) （答：b）例3.已知定义在r上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =, f (0) = 2，则f (1) + f (2) + f (2010)的值为（ ）a2 b1 c0 d1 （答：c）例4.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 a.0 b. c.1 d. （答：a）例5.定义域为r，且对任意都有，若则=_ （答：）例6设f(x)是定义在r上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线称,f(1)+f(2)+f(3)+f