（全国通用）高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第七节 抛物线习题 理.doc

第七节抛物线基础达标一、选择题(每小题5分,共30分)1.在同一坐标系下,下列曲线中,右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合的是()a. =1b. =1c. =1d. =11.d【解析】因为抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),而a中椭圆的半焦距c=,b中椭圆的半焦距c=2,c中双曲线的半焦距c=,d中双曲线的半焦距c=1,且焦点在x轴上,满足题意.2.(2015天水一模)过抛物线c:x2=2y的焦点f的直线l交抛物线c于a,b两点,若抛物线c在点b处的切线斜率为1,则线段|af|=()a.1b.2c.3d.42.a【解析】x2=2y,y=x,抛物线c在点b处的切线斜率为1,b,x2=2y的焦点f,准线方程为y=-,直线l的方程为y=,|af|=1.3.抛物线y2=-12x的准线与双曲线=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于()a.3b.c.6d.63.a【解析】抛物线y2=-12x的准线x=3与双曲线=1的两条渐近线y=x所围成的三角形的面积等于23=3.4.(2015滨州模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点f恰好是双曲线=1(a0,b0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点f,则该双曲线的离心率为()a.b.2c. +1d. -14.c【解析】由题意可得=a2+b2,且在双曲线上,则=1,即=1, =1,化简得b2=2ac,则c2-2ac-a2=0,e2-2e-1=0,e1,解得e=+1.5.(2015湖南雅礼中学月考)已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线=1(a0,b0)有相同的焦点f,点a是两曲线的一个交点,且afx轴,若l为双曲线的一条渐近线,则l的倾斜角所在的区间可能是()a.b.c.d.5.d【解析】|af|=p,c=,=2c,又cb,tan =2,l的倾斜角所在的区间可能是.6.(2015赤峰期末)如图所示,设抛物线c:y2=4x的焦点为f,a,b是c上两点,且affb,弦ab的中点m在c的准线上的射影为m,则的最小值为()a.b.c.d.6.c【解析】如图所示,设|af|=a,|bf|=b,a,b在准线上的射影点分别为q,p,连接aq,bp,由抛物线定义得|af|=|aq|且|bf|=|bp|,在梯形abpq中根据中位线定理,得2|mm|=|aq|+|bp|=a+b.由勾股定理得|ab|2=a2+b2,配方得|ab|2=(a+b)2-2ab,又ab,(a+b)2-2ab(a+b)2-2 (a+b)2,得|ab| (a+b),即的最小值为.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2015河南实验中学质检)若抛物线y2=4x上的两点a,b到焦点的距离之和为6,则线段ab的中点到y轴的距离为.7.2【解析】由|af|+|bf|=xa+xb+p=xa+xb+2=6,得xa+xb=4,则ab的中点横坐标为=2,即线段ab的中点到y轴的距离是2.8.(2015湖州二模)设f是抛物线c:y2=4x的焦点,过f的直线l交抛物线c于a,b两点,当|ab|=6时,以ab为直径的圆与y轴相交所得弦长是.8.2【解析】过a,b两点和ab的中点d分别向抛物线的准线作垂线,由抛物线定义和梯形中位线知识可得圆心d到y轴的距离d=2,又圆的半径为3,所以以ab为直径的圆与y轴相交所得弦长是2=2.9.若抛物线c1:y2=4x与抛物线c2:x2=2py(p0)异于原点o的交点a到抛物线c1的焦点的距离为3,则抛物线c2的方程为.9.x2=y【解析】由点a到抛物线c1的焦点的距离为3,得xa+1=3,解得a点坐标为(2,2),代入x2=2py(p0),得p=,所以抛物线c2的方程为x2=y.10.(2015南充月考)若以f为焦点的抛物线y2=4x上的两点a,b满足=2,则弦ab的中点到准线的距离为.10.【解析】设|=2m,| |=m,m0,由已知可得xa=2m-1,xb=m-1,则=2,解得m=.由梯形中位线得弦ab的中点到准线的距离为.三、解答题(共10分)11.(10分)如图,直线l与抛物线y2=x交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,与x轴相交于点m,且y1y2=-1.(1)求证:m点的坐标为(1,0);(2)求证:oaob;(3)求aob的面积的最小值.11.【解析】(1)设m点的坐标为(x0,0),直线l的方程为x=my+x0,代入y2=x得y2-my-x0=0,y1,y2是此方程的两根,y1y2=-x0,x0=-y1y2=1,即m点的坐标为(1,0).(2)y1y2=-1,x1x2+y1y2=+y2y2=y1y2(y1y2+1)=0,oaob.(3)由方程得y1+y2=m,y1y2=-1,且|om|=x0=1,于是saob=|om|y1-y2|=1,当m=0时,aob的面积取最小值1.高考冲关1.(5分)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为f,点a在y轴上,若线段fa的中点b在抛物线上,且点b到抛物线准线的距离为,则点a的坐标为()a.(0,2)b.(0,2)c.(0,4)d.(0,4)1.a【解析】由题意可得xb=,又点b到抛物线准线的距离为,所以,解得p=,抛物线方程为y2=2x,又因为xb=,所以yb=1,ya=2,故a(0,2).2.(5分)(2015河南实验中学质检)双曲线c的左、右焦点分别为f1,f2,且f2恰为抛物线y2=4x的焦点,设双曲线c与该抛物线的一个交点为a,若af1f2是以af1为底边的等腰三角形,则双曲线c的离心率为()a.b.1+c.1+d.2+2.b【解析】不妨设点a在第一象限,由f2恰为抛物线y2=4x的焦点,得双曲线的c=1,又af1f2是以af1为底边的等腰三角形,则|af2|=|f1f2|=2,点a也在抛物线上,由抛物线的定义可得a(1,2),f1(-1,0),则|af1|=2,由双曲线定义得|af1|-|af2|=2a=2-2,解得a=-1,所以离心率e=1+.3.(5分)(2015湖北黄冈中学模拟)过曲线c1: =1(a0,b0)的左焦点f1作曲线c2:x2+y2=a2的切线,设切点为m,延长f1m交曲线c3:y2=2px(p0)于点n,其中c1,c3有一个共同的焦点,若|mf1|=|mn|,则曲线c1的离心率为()a.b. -1c. +1d.3.d【解析】设双曲线的右焦点为f2,则f2的坐标为(c,0).因为曲线c1与c3有一个共同的焦点,所以y2=4cx,因为o为f1f2的中点,m为f1n的中点,所以om为nf1f2的中位线,所以omnf2,因为|om|=a,所以|nf2|=2a,又nf2nf1,|f1f2|=2c所以|nf1|=2b.设n(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,则x=2a-c,过点f1作x轴的垂线,点n到该垂线的距离为2a,由勾股定理y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,解得e= (负值已舍).4.(5分)(2015长沙三模)已知a,b为抛物线c:y2=4x上的两个动点,且a,b位于x轴异侧,若=5,同时抛物线c的焦点f到直线ab的距离为2,则aob的面积为.4.20【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1=,x2=,直线ab的斜率kab=x1x2+y1y2= (y1y2)2+y1y2=5,由a,b位于x轴异侧,得y1y2=-20(舍去正数4),则直线ab的方程为y-y1= (x-x1),化简得y= (x-5),则直线ab恒过点(5,0),又由抛物线c的焦点f(1,0)到直线ab的距离为2,得ab的倾斜角为30或150,不妨设为30,则,得y1+y2=4,则|y1-y2|=8,所以aob的面积为58=20.5.(10分)已知点p为抛物线y2=4x上的动点,点q在y轴上,且pqy轴,a(2,a),求pq+pa的最小值.5.【解析】点a(2,a)可能在抛物线内部,也可能在抛物线的外部,所以要讨论.当|a|2时,点a(2,a)在抛物线内部,直接过点a向y轴作垂线,与抛物线的交点即为pq+pa最小时的点p,此时(pq+pa)min=2;当|a|2时,点a(2,a)在抛物线外部,由抛物线的定义知pq=pf-1,得pq+pa=pf+pa-1,则a,p,f三点共线时,pq+pa取得最小值,即(pq+pa)min=|af|-1=-1.6.(10分)(2015梅州一模)已知抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,a为c上异于原点的任意一点,过点a的直线l交c于另一点b,交x轴的正半轴于点d,且有|fa|=|fd|.当点a的横坐标为3时,adf为正三角形.(1)求c的方程.(2)若直线l1l,且l1和c有且只有一个公共点e,证明直线ae过定点,并求出定点坐标.6.【解析】(1)当点a的横坐标为3时,过点a作agx轴于点g,a(3,),f,|af|=3+.当点d在焦点f的右侧时,如图所示.|fd|=|af|=3+.adf为正三角形,|fg|=|fd|=.又|fg|=|og|-|of|=3-,3-,p=2.c的方程为y2=4x.当点d在焦点f的左侧时,|fd|=|af|=3+,此时点d在x轴负半轴,不成立,应舍去.c的方程为y2=4x.(2)设a(x1,y1),|fd|=|af|=x1+1,d(x1+2,0)