高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2课件 新人教A版选修23.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 主题杨辉三角与二项式系数的性质 a b n的展开式的二次项系数 当n取正整数时可以表示如下形式 表一 表二 1 你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律 提示 三角的两边都是1 除去所有1后剩下三角的两边从上到下依次为从2开始的自然数列 2 计算每一行的系数和 你又看出什么规律 提示 2 4 8 16 32 64 2n 3 二项式系数的最大值有何规律 提示 当n 2 4 时 中间一项最大 当n 3 5 时中间两项最大 结论 1 杨辉三角的对称美体现了怎样的数量关系 1 与这两个1等距离的两个数相等 即 r 1 2 3 n 1 2 每一个数都等于它 肩上 两个数的和 即 r 2 3 n 1 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数 事实上 这一性质可直接由公式 得到 相等 2 增减性与最大值 当k 时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性知它的后半部分是逐渐减小的 且在中间取得最大值 如果二项式的幂指数n是偶数 那么其展开式中间一项 即 的二项式系数最大 如果n是奇数 那么其展开式中间两项 与 的二项式系数 相等且同时取得最大值 3 各二项式系数的和 2n 微思考 1 二项式 x y n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗 提示 不一定最大 当二项式中x y的系数均为1时 或x y的系数均为 1 n为偶数时 此时二项式系数等于项的系数 否则不一定 2 如何求二项展开式中各项系数和或部分系数和 提示 通常利用赋值法 如 求 a x n a0 a1x a2x2 anxn展开式中各项系数和 可令x 1 即得各项系数和a0 a1 a2 an a 1 n 若要求偶数项的系数之和或奇数项的系数之和 可分别令x 1 x 1 两等式相加或相减即可求出结果 预习自测 1 若展开式的二次项系数之和为64 则n a 5b 6c 7d 8 解析 选b 由二项式系数之和为2n 64 所以n 6 2 在 1 x n n n 的二项展开式中 若只有x5的系数最大 则n等于 a 8b 9c 10d 11 解析 选c 只有x5的系数最大 x5是展开式的第6项 第6项为中间项 展开式共有11项 故n 10 3 的展开式的各项系数的和为 a 1b 0c 1d 210 解析 选b 令x 1得展开式的各项系数和 所以各项系数和为0 4 若 3x 1 n的展开式中各项的系数的和为256 则n 解析 令x 1 得展开式各项系数的和为4n 256 所以n 4 答案 4 5 1 x 13的展开式中系数最大的项为第 项 解析 由tr 1 x r 1 rxr当r为偶数时 系数为正值 值为 r为奇数时 系数为负值 值为 而展开式中第7 8两项的二项式系数最大 所以当r 6时 即展开式的第7项二项式系数最大 值为 答案 7 6 已知 2x 1 5 a0 x5 a1x4 a2x3 a3x2 a4x a5 1 求a0 a1 a2 a5 2 求 a0 a1 a2 a5 3 求a1 a3 a5 解析 1 令x 1 得a0 a1 a2 a5 1 2 令x 1 得 35 a0 a1 a2 a3 a4 a5 由 2x 1 5的通项tr 1 1 r 25 r x5 r知a1 a3 a5为负值 所以 a0 a1 a2 a5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 243 3 由a0 a1 a2 a5 1 a0 a1 a2 a5 35 得2 a1 a3 a5 1 35 所以a1 a3 a5 121 类型一与杨辉三角有关的问题 典例1 1 如图所示 在杨辉三角中 斜线ab上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列 1 2 3 3 6 4 10 记这个数列的前n项和为s n 则s 16 等于 a 144b 146c 164d 461 2 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 第 行中从左至右第14与第15个数的比为2 3 解题指南 1 该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置 把各项还原为各二项展开式的二项式系数 然后利用组合数的性质求和 2 可联系对应二项式系数的位置求解 解析 1 选c 由图知 数列中的首项是 第2项是 第3项是 第4项是 第15项是 第16项是 所以 2 由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2 3 即二项展开式的第14项和第15项的系数比为 2 3 即 2 3 即解得n 34 答案 34 延伸探究 1 若本例 1 中的条件不变 则s 19 的值如何 解析 由题图知 数列中的首项是 第2项是 第3项是 第4项是 第17项是 第18项是 第19项是 所以s 19 2 若将本例 1 中 数列改为 1 3 3 4 6 5 10 如图所示 s 16 的值如何 解析 由题图知 数列中的首项是 第2项是第3项是 第4项是 第16项是 所以 s 16 方法总结 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 补偿训练 如图所示 在杨辉三角中 第n条和第n 1条细斜线上各数之和与第n 2条细斜线上各数之和的关系如何 并证明你的结论 解析 第n条和第n 1条细斜线各数之和等于第n 2条细线各数之和 其证明如下 第n条细斜线上各数和为 最后一项当n为偶数时是 n为奇数时是 与第n 1条细斜线上各数和为这正好是第n 2条细斜线上各数之和 类型二求展开式中的系数和 典例2 1 2017 济宁高二检测 如果 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 那么a0 a1 a7的值等于 a 1b 2c 0d 2 2 已知 1 2x n a0 a1x a2x2 anxn n n 且a2 60 求n的值 求的值 解题指南 1 对x赋值1 即可求得 2 由a2 60 求出n的值 令x 0 求出a0 再令x 即可求得 解析 1 选a 令x 1 代入二项式 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 得 1 2 7 a0 a1 a2 a7 1 2 因为t3 2x 2 a2x2 所以a2 2 2 60 化简可得n n 1 30 且n n 解得 n 6 令x 0 则a0 1 令x 则26 所以 方法总结 1 赋值法求解二项展开式问题的步骤 1 明确展开式的特点与意义 2 观察展开式与所求式子间的区别与联系 3 注意特值0 1 1对二项展开式来说 令x 1得各项系数和 令x 0得常数项 令x 1得偶数项与奇数项的差 2 解决二项式系数和问题的思维流程 巩固训练 设 3x 1 8 a8x8 a7x7 a1x a0 求 1 a8 a7 a1 2 a8 a6 a4 a2 a0 解析 令x 0 得a0 1 1 令x 1 得 3 1 8 a8 a7 a1 a0 所以a8 a7 a2 a1 28 a0 256 1 255 2 令x 1 得 3 1 8 a8 a7 a6 a1 a0 式 得28 48 2 a8 a6 a4 a2 a0 所以a8 a6 a4 a2 a0 28 48 32896 类型三二次项系数的性质 典例3 2017 西安高二检测 已知f x 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1 求展开式中二项式系数最大的项 2 求展开式中系数最大的项 解题指南 1 由二项式系数的性质求二项式系数最大的项 2 由通项得解出r的值 解析 1 令x 1 则二项式各项系数的和为f 1 1 3 n 4n 又展开式中各项的二项式系数之和为2n 由题意知 4n 2n 992 所以 2n 2 2n 992 0 所以 2n 31 2n 32 0 所以2n 31 舍 或2n 32 所以n 5 由于n 5为奇数 所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项 它们分别是t3 3x2 2 90 x6 t4 3x2 3 2 展开式的通项公式为tr 1 假设tr 1项系数最大 则有所以 所以所以因为r n 所以r 4 所以展开式中系数最大的项为 方法总结 1 求二项式系数最大的项 要依据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 n为奇数时中间两项的二项式系数最大 n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 求展开式系数最大的项 如求 a bx n a b r 展开式中系数最大的项 一般是采用待定系数法 设展开式各项系数分别为a1 a2 ar 1 且第r 1项系数最大 应用解出r来 即得系数最大的项 巩固训练 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 解析 1 二项式系数最大的项是第11项 t11 310 2 10 x10y10 610 x10y10 2 设系数绝对值最大的项是r 1项 于是 化简得解得所以r 8 即t9 312 28 x12y8是系数绝对值最大的项 3 由于系数为正的项为y的偶次方项 由