湖南省娄底市名校联考高三数学上学期9月联考试卷 文（含解析）.doc

湖南省娄底市名校联 考2015届高三上学期9月联考数学试卷（文科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合a=1，0，1，b=y|y=cosx，xa，则ab=（）a0b1c0，1d1，0，12（5分）设向量和均为单位向量，且（+）2=1，则与夹角为（）abcd3（5分）已知log7=0，那么等于（）abcd4（5分）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也木必要条件5（5分）若函数f（x）=x2在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）a15（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）g（x）在x上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16（12分）对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为r，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为（，1，求实数a的值17（12分）设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c且acosc+c=b（1）求角a的大小；（2）若a=1，求abc的周长l的取值范围18（12分）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值19（13分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？20（13分）已知函数f（x）=x32ax2+3x（xr）（1）若a=1，点p为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点p为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数y=f（x）在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a21（13分）已知函数f（x）=2lnxx2+ax（ar）（）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（）若函数g（x）=f（x）ax+m在上有两个零点，求实数m的取值范围；（）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点a（x1，0），b（x2，0），且0x1x2，求证：f（）0（其中f（x）是f（x）的导函数）湖南省娄底市名校联考2015届高三上学期9月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）集合a=1，0，1，b=y|y=cosx，xa，则ab=（）a0b1c0，1d1，0，1考点：交集及其运算 专题：计算题分析：求出b=cos1，1，利用两个集合的交集的定义求得ab解答：解：a=1，0，1，b=y|y=cosx，xa=cos1，1，则ab=1 ，故选 b点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集的定义和求法，求出b=cos1，1 是解题的关键2（5分）设向量和均为单位向量，且（+）2=1，则与夹角为（）abcd考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：计算题分析：根据向量数量积的运算和题意，求出两向量夹角的余弦值，进而求出向量夹角的值解答：解：（+）2=1，和是单位向量，=，则，=，故选c点评：本题考查了向量数量积的应用，即根据数量积的运算求出对应向量的夹角余弦值，注意利用向量夹角的范围求出向量夹角的值3（5分）已知log7=0，那么等于（）abcd考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x的值，求出值解答：解：由条件知，log3（log2x）=1，log2x=3，x=8，x=故选c点评：利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数4（5分）“p且q是真命题”是“非p为假命题”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也木必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：阅读型分析：本题考查判断充要条件的方法，可以根据充要条件的定义判断，本题关键是复合命题真假的判断解答：解：由p且q是真命题知，p和q均为真命题，所以非p为假命题，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的充分条件；由非p为假命题知，p为真命题，但q真假不知，故无法判断p且q真假，所以“p且q是真命题”是“非p为假命题”的不必要条件故选a点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5（5分）若函数f（x）=x2在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围（）a若f（a）=4，则a=4，解得a=4当a0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=2（舍去）故实数a=4或a=2故选b点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者8（5分）下列命题中真命题的个数是（）xr，x4x2；若“pq”是假命题，则p，q都是假命题；命题“xr，x3x2+10”的否定是“xr，x3x2+10”a0b1c2d3考点：命题的否定；四种命题的真假关系 专题：阅读型分析：要说明一个命题不正确，举出反例即可当x=0时不等式不成立，根据复合命题真值表可知，“pq”是假命题，只需两个命题中至少有一个为假即可；全称命题的否定是特称命题，既要对全称量词进行否定，又要否定结论，故正确解答：解：易知当x=0时不等式不成立，对于全称命题只要有一个情况不满足，命题即假；错，只需两个命题中至少有一个为假即可；正确，全称命题的否定是特称命题，即只有一个命题是正确的，故选b点评：此题是个基础题考查命题的否定和复合命题的真假判定方法等基础知识，考查学生对基础知识的记忆和理解9（5分）对于函数f（x），使f（x）成立的所有常数（，0）中，我们把f（x）的最小值abcd（，3）考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；压轴题分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用不等式的性质得到答案解答：解：由图可知，当x0时，导函数f（x）0，原函数单调递增，两正数a，b满足f（2a+b）1，又由f（4）=1，即f（2a+b）4，即2a+b4，又由a0b0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与a（2，2）连线的斜率，直线ab，ac的斜率分别是，3；则；故选c点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11（5分）若f（x）=+a是奇函数，则a=考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题分析：由题意可得f（x）=f（x）对于任意的x0都成立，代入已知函数可求a的值解答：解：f（x）=+a是奇函数f（x）=f（x）对于任意的x0都成立=1故答案为：点评：本题主要考查了奇函数的定义的应用及基本运算，属于基础试题，一般在原点有意义时用原点处的函数值为0求参数，若在原点处函数无定义，则如本题解法由定义建立方程求参数12（5分）已知定义在r上的连续函数y=f（x）的图象在点m（1，f（1）处的切线方程为，则f（1）+f（1）=1考点：导数的运算 专题：计算题分析：利用函数在切点处的导数就是切线的斜率求出f（1）；将切点坐标代入切线方程求出f（1），求出它们的和解答：解：据题意知f（1）=f（1）=故答案为：1点评：本题考查函数的导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率13（5分）已知函数f（x）=asin（x+）其中a0，0，0的图象如图所示则函数y=f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由图知a=2，t=2（）=，=2，有f（x）=2sin（2x+），又f（）=2sin（+）=2，0，可确定=，从而可求得函数y=f（x）的解析式解答：解：由图知a=2，t=2（）=，=2f（x）=2sin（2x+）又f（）=2sin（+）=2，sin（+）=1，+=2k+，=+2k（kz）0，=，函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）故答案为：f（x）=2sin（2x+）点评：本题主要考察由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式的方法，属于中档题14（5分）如图，ox、oy是平面内相交成120的两条数轴，1，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量=x+y，则将有序实数对（x，y）叫做向量在坐标系xoy中的坐标若=3+2，则|=考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：首先利用单位向量的模长求出向量的数量积，进一步利用向量的模长公式求出模长解答：解：由题意可得：，=|=故答案为：点评：本题考查的知识点：向量的数量积运算公式，向量的模的求法15（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间上的两个函数，若函数y=f（x）g（x）在x上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”若f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，则m的取值范围考点：函数的零点；函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得h（x）=f（x）g（x）=x25x+4m 在上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围解答：解：f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）g（x）=x25x+4m在上有两个不同的零点，故有，即 ，解得m2，故答案为 点评：本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16（12分）对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为r，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为（，1，求实数a的值考点：对数函数图象与性质的综合应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）若函数的定义域为r，则内函数u=g（x）=x22ax+3的最小值大于0，进而可得实数a的取值范围；（2）函数的值域为（，1，则内函数u=g（x）=x22ax+3的最小值为2，进而可得实数a的值解答：解：记u=g（x）=x22ax+3=（xa）2+3a2，（1）u0对xr恒成立，a的取值范围是；（2）g（x）的值域是等价于；即a的值为1；点评：本题考查的知识点是对数函数与性质，二次函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档17（12分）设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c且acosc+c=b（1）求角a的大小；（2）若a=1，求abc的周长l的取值范围考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；转化思想分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2rsinacosc+2rsinc=2rsinb，然后利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简可得cosa=，进而求出a（2）首先利用正弦定理化边为角，可得l=1+，然后利用诱导公式将sinc转化为sin（a+b），进而由两角和与差的正弦公式化简可得l=1+2sin（b+），从而转化成三角函数求值域问题求解；或者利用余弦定理结合均值不等式求解解答：解：（1）acosc+c=b，由正弦定理得2rsinacosc+2rsinc=2rsinb，即sinacosc+sinc=sinb，又sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc，sinc=cosasinc，sinc0，又0a，（2）由正弦定理得：b=，c=，l=a+b+c=1+（sinb+sinc）=1+（sinb+sin（a+b）=1+2（sinb+cosb）=1+2sin（b+），a=，b，b+，故abc的周长l的取值范围为（2，3（2）另解：周长l=a+b+c=1+b+c，由（1）及余弦定理a2=b2+c22bccosa，b2+c2=bc+1，（b+c）2=1+3bc1+3（）2，解得b+c2，又b+ca=1，l=a+b+c2，即abc的周长l的取值范围为（2，3点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力18（12分）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（）由（）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值解答：解：（）由题意得，f（x）=cosx（sinxcosx）=所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得f（x）=，由x得，2x，则，当=时，即=1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题19（13分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？考点：函数的最值及其几何意义 专题：应用题分析：（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为s，则s=100xy，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解解答：解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：（4分），当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元（8分）（2）设该单位每月获利为s，则s=100xy （10分）=因为400x600，所以当x=400时，s有最大值40000故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损（16分）点评：此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值20（13分）已知函数f（x）=x32ax2+3x（xr）（1）若a=1，点p为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点p为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数y=f（x）在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题：综合题分析：（1）设出切线的斜率k，得到k等于f（x）并把a=1代入到f（x）中求出解析式，根据二次函数求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切点坐标，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可；（2）求出f（x），要使f（x）为单调递增函数，必须满足f（x）0，即对任意的x（0，+），恒有f（x）大于0，解出a小于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最小值，得到关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围，在范围中找出满足条件的最大整数即可解答：解：（1）设切线的斜率为k，则k=f（x）=2x24x+3=2（x1）2+1，当x=1时，kmin=1把a=1代入到f（x）中得：f（x）=x32x2+3x，所以f（1）=2+3=，即切点坐标为（1，）所求切线的方程为y=x1，即3x3y+2=0（2）f（x）=2x24ax+3，因为y=f（x）为单调递增函数，则对任意的x（0，+），恒有f（x）0，f（x）=2x24ax+30，a=+，而+，当且仅当x=时，等号成立所以a，则所求满足条件的最大整数a值为1点评：此题是一道综合题，要求学生会根据导数求出切线的斜率，掌握不等式恒成立时所取的条件，利用会利用基本不等式求函数的最小值及