高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第23练 数列的证明、通项与求和课件 文.ppt

第二篇熟练规范中档大题保高分 第23练数列的证明 通项与求和 明考情数列的通项与求和是高考的热点 考查频率较高 中档难度 一般在解答题的前半部 知考向1 等差 等比数列的判定与证明 2 数列的通项与求和 研透考点核心考点突破练 栏目索引 规范解答模板答题规范练 研透考点核心考点突破练 考点一等差 等比数列的判定与证明 方法技巧判断等差 比 数列的常用方法 2 中项公式法 3 通项公式法 1 2016 全国 已知各项都为正数的数列 an 满足a1 1 2an 1 1 an 2an 1 0 1 求a2 a3 解答 1 2 3 4 5 6 2 求 an 的通项公式 得2an 1 an 1 an an 1 解答 1 2 3 4 5 6 2 已知数列 an 满足a1 1 a2 4 an 2 3an 1 2an n n 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 既是等差数列又是等比数列 证明因为an 2 3an 1 2an 所以an 2 2an 1 an 1 2an 又bn an 1 2an 所以bn 1 an 2 2an 1 因此对任意的n n bn 1 bn 0 常数 又bn an 1 2an an 2an 1 a2 2a1 2 0 根据等差数列和等比数列的定义知 数列 bn 既是等差数列又是等比数列 证明 1 2 3 4 5 6 2 求数列 an 的通项公式 解方法一由 1 知 an 2an 1 2 由an 2 3an 1 2an 得an 2 an 1 2 an 1 an 又a2 a1 3 所以数列 an 1 an 是首项为3 公比为2的等比数列 an an 1 3 2n 2 n 2 联立 得 an 3 2n 1 2 n 2 经检验当n 1时也符合该式 故数列 an 的通项公式为an 3 2n 1 2 n n 方法二由 1 可得an 1 2an 2 即an 1 2 2 an 2 所以数列 an 2 是公比为2的等比数列 则an 2 a1 2 2n 1 3 2n 1 即an 3 2n 1 2 n n 解答 1 2 3 4 5 6 3 已知数列 an 的前n项和sn满足sn 2an 1 n n n 1 求数列 an 的前三项a1 a2 a3 解在sn 2an 1 n n n 中分别令n 1 2 3 解答 1 2 3 4 5 6 证明 1 2 3 4 5 6 证明由sn 2an 1 n n n 得sn 1 2an 1 1 n 1 n 2 两式相减 得an 2an 1 2 1 n n 2 1 2 3 4 5 6 4 2016 全国 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 解设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 解答 1 2 3 4 5 6 2 求数列 bn 的前1000项和 所以数列 bn 的前1000项和为1 90 2 900 3 1 1893 1 2 3 4 解答 5 6 1 求证 数列 bn 是等差数列 并求出数列 an 的通项公式 数列 bn 是公差为2的等差数列 1 2 3 4 5 6 证明 数列 cncn 2 的前n项和为 1 2 3 4 5 6 解答 6 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 证明由题设知 anan 1 sn 1 an 1an 2 sn 1 1 两式相减得an 1 an 2 an an 1 由于an 1 0 所以an 2 an 证明 1 2 3 4 5 6 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 解由题设知 a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 解答 1 2 3 4 5 6 考点二数列的通项与求和 方法技巧 1 根据数列的递推关系求通项的常用方法 累加 乘 法形如an 1 an f n 的数列 可用累加法 构造数列法 2 数列求和的常用方法 倒序相加法 分组求和法 错位相减法 裂项相消法 1 求数列 an 的通项公式 所以sn 2n2 n 当n 2时 an sn sn 1 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 3 而a1 1 4 1 3满足上式 所以an 4n 3 n n 7 8 解答 9 10 11 12 2 若bn 1 nan 求数列 bn 的前n项和tn 解答 解 分组求和法 由 1 可得bn 1 nan 1 n 4n 3 当n为奇数时 n 1为偶数 tn tn 1 bn 1 2 n 1 4n 1 2n 1 7 8 9 10 11 12 8 设n n 数列 an 的前n项和为sn 且sn 1 sn an 2 已知a1 a2 a5成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 7 8 9 10 11 12 解由sn 1 sn an 2 得an 1 an 2 n n 所以数列 an 是以a1为首项 2为公差的等差数列 由a1 a2 a5成等比数列 即 a1 2 2 a1 a1 8 解得a1 1 所以an 2n 1 n n 解答 所以tn 1 21 3 22 5 23 2n 1 2n 2tn 1 22 3 23 2n 3 2n 2n 1 2n 1 由 可得 tn 2 2 22 23 2n 2n 1 2n 1 2n 3 2n 1 6 所以tn 2n 3 2n 1 6 解答 7 8 9 10 11 12 1 an 9 2017 广东汕头一模 已知数列 an 的前n项和为sn a1 2 an 1 sn 2 1 求数列 an 的通项公式 解 an 1 sn 2 an sn 1 2 n 2 两式作差得an 1 an sn sn 1 an 又当n 1时 a2 s1 2 4 数列 an 是公比为2 首项为2的等比数列 an a1qn 1 2n n n 7 8 9 10 11 12 解答 解答 7 8 9 10 11 12 10 2016 浙江 设数列 an 的前n项和为sn 已知s2 4 an 1 2sn 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 解答 又当n 2时 由an 1 an 2sn 1 2sn 1 1 2an 得an 1 3an 所以 数列 an 的通项公式为an 3n 1 n n 7 8 9 10 11 12 2 求数列 an n 2 的前n项和 解设bn 3n 1 n 2 n n b1 2 b2 1 当n 3时 由于3n 1 n 2 故bn 3n 1 n 2 n 3 设数列 bn 的前n项和为tn 则t1 2 t2 3 当x 2时 满足上式 解答 7 8 9 10 11 12 1 求数列 bn 的通项公式 解答 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 2 设sn a1a2 a2a3 a3a4 anan 1 求sn 所以sn a1a2 a2a3 anan 1 解答 7 8 9 10 11 12 证明 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 解答 规范解答模板答题规范练 例 12分 下表是一个由n2个正数组成的数表 用aij表示第i行第j个数 i j n 已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列 每一行各数从左到右依次构成等比数列 且公比都相等 已知a11 1 a31 a61 9 a35 48 a11a12a13 a1na21a22a23 a2na31a32a33 a3n an1an2an3 ann 1 求an1和a4n 模板体验 审题路线图 规范解答 评分标准 解 1 设第1列依次组成的等差数列的公差为d 设每一行依次组成的等比数列的公比为q 依题意a31 a61 1 2d 1 5d 9 d 1 an1 a11 n 1 d 1 n 1 1 n 2分又 a31 a11 2d 3 a35 a31 q4 3q4 48 又 q 0 q 2 又 a41 4 a4n a41qn 1 4 2n 1 2n 1 4分 构建答题模板 第一步 找关系 根据已知条件确定数列的项之间的关系 第二步 求通项 根据等差或等比数列的通项公式或利用累加 累乘法求数列的通项公式 第三步 定方法 根据数列表达式的结构特征确定求和方法 常用的有公式法 裂项相消法 错位相减法 分组法等 第四步 写步骤 第五步 再反思 检查求和过程中各项的符号有无错误 用特殊项估算结果 1 2017 包头一模 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn 2an 3n n n 1 求a1 a2 a3的值 规范演练 解当n 1时 由s1 2a1 3 1 可得a1 3 当n 2时 由s2 2a2 3 2 可得a2 9 当n 3时 由s3 2a3 3 3 可得a3 21 1 2 3 4 5 解答 2 是否存在常数 使得数列 an 为等比数列 若存在 求出 的值和通项公式an 若不存在 请说明理由 解令 a2 2 a1 a3 即 9 2 3 21 解得 3 由sn 2an 3n及sn 1 2an 1 3 n 1 两式相减 得an 1 2an 3 由以上结论得an 1 3 2an 3 3 2 an 3 所以数列 an 3 是首项为6 公比为2的等比数列 因此存在 3 使得数列 an 3 为等比数列 所以an 3 a1 3 2n 1 所以an 3 2n 1 1 2 3 4 5 解答 2 设数列 an 满足a1 2 an 1 an 3 22n 1 1 求数列 an 的通项公式 解由已知 当n 1时 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 a1 3 22n 1 22n 3 2 2 22 n 1 1 而a1 2 所以数列 an 的通项公式为an 22n 1 1 2 3 4 5 解答 2 令bn nan 求数列 bn 的前n项和sn 解 错位相减法 由bn nan n 22n 1知 sn 1 2 2 23 3 25 n 22n 1 22 sn 1 23 2 25 3 27 n 22n 1 得 1 22 sn 2 23 25 22n 1 n 22n 1 1 2 3 4 5 解答 1 求 an 的通项公式 解设数列 an 的公比为q 解得q 2或q 1 所以an 2n 1 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 解答 4 已知数列 an a1 1 an 2an 1 1 n 2 n n 1 求证 数列 an 1 是等比数列 1 2 3 4 5 证明 证明 an 1 2 an 1 1 n 2 又 a1 1 2 数列 an 1 是以2为首项 2为公比的等比数列 1 2 3 4 5 解 an 1 2n an 2n 1 解答 1 2 3 4 5 证明 5 已知数列 an 中 a1 1 a3 9 且an an 1 n 1 n 2 1 求 的值及数列 an 的通项公式 解 a1 1 an an 1 n 1 a2 2 a3 5 1 由a3 5 1 9 得 2