全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题2 函数问题.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题2：函数问题35. （2012吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+42交x轴与点a,交直线y=x于点b,抛物线分别交线段ab、ob于点c、d，点c和点d的横坐标分别为16和4，点p在这条抛物线上（1）求点c、d的纵坐标（2）求a、c的值（3）若q为线段ob上一点，且p、q两点的纵坐标都为5，求线段pq的长（4）若q为线段ob或线段ab上的一点，pqx轴，设p、q两点之间的距离为d（d0），点q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围（参考公式：二次函数图像的顶点坐标为）【答案】解：（1）点c在直线ab：y=2x+42上，且c点的横坐标为16，y=216+42=10，即点c的纵坐标为10。d点在直线ob：y=x上，且d点的横坐标为4，点d的纵坐标为4。（2）由（1）知点c的坐标为（16，10），点d的坐标为（4，4），抛物线经过c、d两点，解得：。抛物线的解析式为。（3）p为线段ob上一点，纵坐标为5，p点的横坐标也为5。点q在抛物线上，纵坐标为5，解得。当点q的坐标为（，5），点p的坐标为（5，5），线段pq的长为；当点q的坐标为（ ，5），点p的坐标为（5，5），线段pq的长为。所以线段pq的长为或。（4）当0m4或12m16时，d随m的增大而减小。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质。【分析】（1）点c在直线ab：y=2x+42上，将c点的横坐标，代入即可求出c点的纵坐标，同理可知：d点在直线ob：y=x上，将d点的横坐标，代入解析式即可求出d点的纵坐标。（2）抛物线经过c、d两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可。（3）根据q为线段ob上一点，p、q两点的纵坐标都为5，则可以求出q点的坐标，又知p点在抛物线上，求出p点的坐标即可，p、q两点的横坐标的差的绝对值即为线段pq的长。（4）根据pqx轴，可知p和q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和b点的坐标，当q是线段ob上的一点时，结合图形写出m的范围，当q是线段ab上的一点时，结合图形写出m的范围即可：根据题干条件：pqx轴，可知p、q两点的横坐标相同，抛物线y=，顶点坐标为（8，2）。联立，解得点b的坐标为（14，14）。当点q为线段ob上时，如图所示，当0m4或12m14时，d随m的增大而减小；当点q为线段ab上时，如图所示，当14m16时，d随m的增大而减小。综上所述，当0m4或12m16时，d随m的增大而减小。36. （2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。综上所述，k的取值范围是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。所求k值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由图象知：当x=1时，y最小=3；当x=时，y最大=。y的最大值为，最小值为3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。37. （2012湖北随州12分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地, 两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段ab所示；慢车离乙地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段oc所示。根据图象进行以下研究。解读信息：(1)甲、乙两地之间的距离为 km；(2)线段ab的解析式为 ; 线段oc的解析式为 ；问题解决：(3)设快、慢车之间的距离为y(km)，求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式，并画出函数的图象。【答案】解：（1）450。 （2）y1=450150x（0x3）；y2=75x（0x6）。（3）根据（2）得出：。由函数解析式y=450225x（0x2），当x=0，y=450；由函数解析式y=225x450（2x3），当x=2，y=0；由函数解析式y=75x（3x6），当x=3，y=225，x=6，y=450。根据各端点，画出图象，其图象为折线图aeeffc：【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用a点坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离。 （2）利用a点坐标（0，450），b点坐标（3，0），用待定系数法求出线段ab的解析式；利用c点坐标（6，450），用待定系数法求出线段ab的解析式：设线段ab的解析式为：y1=kx+b，根据a点坐标（0，450），b点坐标（3，0）， 得出：，解得：。线段ab的解析式为：y1=450150x（0x3）。 设线段oc的解析式为：y2=ax，将（6，450）代入得a=75。线段oc的解析式为 y2=75x （0x6）。（3）利用（2）中所求得出，从而求出函数解析式，得出图象即可。38. （2012湖北孝感12分）)如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点a(1，0)、b(3，0)，与y轴交于点c(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点d的坐标；(2)若p为线段bd上的一个动点，过点p作pmx轴于点m，求四边形pmac的面积的最大值和此时点p的坐标；(3)若点p是抛物线第一象限上的一个动点，过点p作pqac交x轴于点q当点p的坐标为 时，四边形pqac是平行四边形；当点p的坐标为 时，四边形pqac是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)【答案】解：（1）抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点a(1，0)、b(3，0)， 可设抛物线的解析式为。 又抛物线yax2bxc(a0) 与y轴交于点c(0，3)， ，解得。 抛物线的解析式为。即。 又，抛物线顶点d的坐标为（1，4）。（2）设直线bd的解析式为， 由b（3，0），d（1，4）得，解得。 直线bd的解析式为。 点p在直线pd上，设p（p，）。 则oa=1，oc=3，om= p，pm=。 。 ，当时，四边形pmac的面积取得最大值为，此时点p的坐标为（）。 （3）（2，3）；（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性质勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）将抛物线的解析式设为交点式，可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式，将其化为顶点式即可求得顶点d的坐标。 （2）求出直线bd的解析式，设定点p的坐标，由列式，根据二次函数最值原理，即可求得四边形pmac的面积的最大值和此时点p的坐标。 （3）如图，四边形pqac是平行四边形时，cpx轴，点p在抛物线上，点p与点c关于抛物线的对称轴x=1对称。 c(0，3)，p（2，3）。 如图，四边形pqac是等腰梯形时， 设p（m，）， 过点p作phx轴于点h，则h（m，0）。易得acoqnp，。oa=1，oc=3，hp=，即。aq=ao+ohqh=。又由勾股定理得，。由四边形pqac是等腰梯形得aq=cp，即aq2=cp2，整理得，解得或。当时，由知cpaq，四边形pqac是平行四边形，不符合条件，舍去。当时，cp与aq不平行，符合条件。p（）。39. （2012江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线e。现有点a（2，0）和抛物线e上的点b（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 。（2）判断点a是否在抛物线e上；（3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线e总过定点，坐标为 。【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以ab为边作矩形abcd，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线e经过a、b、c、d其中的一点，求出所有符合条件的t的值。【答案】解：【尝试】（1）（1，2）。 （2）点a在抛物线e上，理由如下： 将x=2代入得y=0。 点a在抛物线e上。（3）将（1，n）代入得 。【发现】a（2，0）和b（1，6）。【应用1】不是。 将x=1代入，得， 二次函数的图象不经过点b。 二次函数不是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形abc1d1和abc2d2，过点b作bky轴于点k，过点d1作d1gx轴于点g，过点c2作c2hy轴于点h，过点b作bmx轴于点m，c2h与bm相交于点t。易得am=3，bm=6，bk=1，kbc1nba，则，即，得。c1（0，）。易得kbc1gad1，得ag=1，gd1=。d1（3，）。易得oad2gad1，则，由ag=1，oa=2，gd1=得，得od2=1。d2（0，1）。易得tbc2od2a，得tc2=ao=2，bt=od2=1。c2（3，5）。抛物线e总过定点a、b，符合条件的三点只可能是a、b、c或a、b、d。当抛物线经过a、b、c1时，将c1（0，）代入得；当抛物线经过a、b、d1时，将d1（3，）代入得；当抛物线经过a、b、c2时，将c2（3，5）代入得；当抛物线经过a、b、d2时，将d2（0，1）代入得。满足条件的所有t值为，。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，抛物线的顶点坐标为（1，2）。 （2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。 （3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，n）代入函数关系式即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。40. （2012四川泸州11分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点a、b(点在点的左侧)，与y轴相交于点c，顶点d在第一象限.过点d作x轴的垂线，垂足为h。(1)当时，求tanadh的值；(2)当60adb90时，求m的变化范围；(3)设bcd和abc的面积分别为s1、s2，且满足s1=s2，求点d到直线bc的距离。【答案】解：（1）)当时，。d。dh=。 在中令，即，解得。 a（1，0）。ah=。tanadh=。（2），d。 dh=。在中令，即，解得。顶点d在第一象限，。a（1，0）。ah=。 当adb=600时，adh=300，tanadh=。 ，解得（增根，舍去）。 当adb=900时，adh=450，ah=dh，即，解得（不符合，舍去）。当60adb90时，。（3）设dh与bc交于点m，则点m的横坐标为m，设过点b（，0），c（0，）的直线为，则 ，解得。 直线bc为。 当时，。 m（m，）。dm=，ab=。 sbcd=dmob，sabc=aboc，sbcd=sabc， 。 又顶点d在第一象限，解得。 当时 ，a（1，0），b（5，0），c（0，）。 bc=，s