各地中考数学汇编 四边形精选31~40（解析版）.doc

2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选3140_解析版【31. 2012南通】becfad图1becfad图226（本小题满分10分）如图，菱形abcd中，b60，点e在边bc上，点f在边cd上(1)如图1，若e是bc的中点，aef60，求证：bedf；(2)如图2，若eaf60，求证：aef是等边三角形【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定【专题】证明题【分析】（1）首先连接ac，由菱形abcd中，b=60，根据菱形的性质，易得abc是等边三角形，又由三线合一，可证得aebc，继而求得fec=cfe，即可得ec=cf，继而证得be=df；（2）首先连接ac，可得abc是等边三角形，即可得ab=ac，以求得acf=b=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得aeb=afc，证得aebafc，即可得ae=af，证得：aef是等边三角形【解答】证明：（1）连接ac，菱形abcd中，b=60，ab=bc=cd，c=180-b=120，abc是等边三角形，e是bc的中点，aebc，aef=60，fec=90-aef=30，cfe=180-fec-c=180-30-120=30，fec=cfe，ec=cf，be=df；（2）连接ac，四边形abcd是菱形，b=60ab=bc，d=b=60，acb=acf，abc是等边三角形，ab=ac，acb=60，b=acf=60，adbc，aeb=ead=eaf+fad=60+fad，afc=d+fad=60+fad，aeb=afc，在abe和afc中，b=acf aeb=afc ab=ac abeacf（aas），ae=af，eaf=60，aef是等边三角形【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用【32. 2012南通】27（本小题满分12分）如图，在abc中，abac10cm，bc12cm，点d是bc边的中点点p从点b出发，以acm/s(a0)的速度沿ba匀速向点a运动；点q同时以1cm/s的速度从点d出发，沿db匀速向点b运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts(1)若a2，bpqbda，求t的值；(2)设点m在ac上，四边形pqcm为平行四边形若a，求pq的长；是否存在实数a，使得点p在acb的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】（1）由abc中，ab=ac=10厘米，bc=12厘米，d是bc的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得bd与cd的长，又由a=2，bpqbda，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）首先过点p作pebc于e，由四边形pqcm为平行四边形，易证得pb=pq，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案；首先假设存在点p在acb的平分线上，由四边形pqcm为平行四边形，可得四边形pqcm是菱形，即可得pb=cq，pm：bc=ap：pb，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在【解答】解：（1）abc中，ab=ac=10cm，bc=12cm，d是bc的中点，bd=cd=1 2 bc=6cm，a=2，bp=2tcm，dq=tcm，bq=bd-qd=6-t（cm），bpqbda，bp bd =bq ab ，即2t 6 =6-t 10 ，解得：t=18 13 ；（2）过点p作pebc于e，四边形pqcm为平行四边形，pmcq，pqcm，pq=cm，pb：ab=cm：ac，ab=ac，pb=cm，pb=pq，be=1 2 bq=1 2 （6-t）cm，a=5 2 ，pb=5 2 tcm，adbc，pead，pb：ab=be：bd，即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解得：t=3 2 ，pq=pb=5 2 t=15 4 （cm）；不存在理由如下：四边形pqcm为平行四边形，pmcq，pqcm，pq=cm，pb：ab=cm：ac，ab=ac，pb=cm，pb=pq若点p在acb的平分线上，则pcq=pcm，pmcq，pcq=cpm，cpm=pcm，pm=cm，四边形pqcm是菱形，pq=cq，pb=cq，pb=atcm，cq=bd+qd=6+t（cm），pm=cq=6+t（cm），ap=ab-pb=10-at（cm），即at=6+t，pmcq，pm：bc=ap：ab，6+t 12 =10-at 10 ，化简得：6at+5t=30，把代入得，t=-6 11 ，不存在实数a，使得点p在acb的平分线上【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用【33. 2012常德】25.已知四边形abcd是正方形，o为正方形对角线的交点，一动点p从b开始，沿射线bc运到，连结dp，作cndp于点m，且交直线ab于点n，连结op，on。（当p在线段bc上时，如图9：当p在bc的延长线上时，如图10） （1）请从图9，图10中任选一图证明下面结论： bn=cp： op=on，且opon (2) 设ab=4，bp=，试确定以o、p、b、n为顶点的四边形的面积与的函数关系。知识点考察：正方形的性质，三角形外角和定理，全等三角形的判定， 两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定， 分段函数，点到直线的距离。 能力考察：观察能力，逻辑思维与推理能力，书写表达能力，综合运用知识的能 力，分类讨论的能力。 分析：对于图9，证明线段相等，一般情况下找全等。根据bn，cp的分布情况， 可以观察cnb和dpc，然后证明两三角形全等。也可以观察can 和dbp，证明an=bp，从而有bn=cp。至于以o、p、b、n为顶点的四边 形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。 对于图10来说图型要稍微复杂一点，先证pdbnca，得dp=cn 再证pdonco，则有op=on， 证明：对于图9，（1）abcd为正方形， dcp=90，dcp为rt， 同理：cbn为rt， 而cmdp pcm=cdp 在rtdcp与rtcbn中： dcp=cbn=90 cdp=pcn cd=bc rtdcprtcbn cp=bn 而ocp=obn=45 oc=ob copbon on=op cop=bon 又ocob cob=cop+pob=90 =bon+pob=90 onop （2）s四边形opbn=sonb+sopb =4 (0x4) 对于图10，（1）abcd为正方形，ac，bd为对角线， dcp=90， 而cmdp， pcm=pdc pdb=acn 又dpb=anc bd=ac pdbnca pb=an dp=cn cp=bn 而pdb=acn 且 od=oc pdonco op=on，dop=con doc=90，pon=noc+poc=dop+poc =doc=90，opon。 （2）s四边形obnp=sobp+spbn = (x4) 点评：这是一个动态几何问题，综合性程度高，图形也比较复杂，但我们只要仔细观 察、冷静思考、多读几遍题目就会找到解决问题的突破口，千万不能轻易放弃。【34.2012珠海】17. 如图，把正方形abcd绕点c按顺时针方向旋转45得到正方形abcd（此时，点b落在对角线ac上，点a落在cd的延长线上），ab交ad于点e，连接aa、ce求证：（1）adacde；（2）直线ce是线段aa的垂直平分线解：证明：（1）四边形abcd是正方形，ad=cd，adc=90，ade=90，根据旋转的方法可得：ead=45，aed=45，ad=de，在aad和ced中，aadced（sas）；（2）ac=ac，点c在aa的垂直平分线上，ac是正方形abcd的对角线，cae=45，ac=ac，cd=cb，ab=ad，在aeb和aed中，aebaed，ae=ae，点e也在aa的垂直平分线上，直线ce是线段aa的垂直平分线【35.2012长沙】24如图，已知正方形abcd中，be平分dbc且交cd边于点e，将bce绕点c顺时针旋转到dcf的位置，并延长be交df于点g（1）求证：bdgdeg；（2）若egbg=4，求be的长解答：（1）证明：将bce绕点c顺时针旋转到dcf的位置，bcedcf，fdc=ebc，be平分dbc，dbe=ebc，fdc=ebe，dge=dge，bdgdeg（2）解：bcedcf，f=bec，ebc=fdc，四边形abcd是正方形，dcb=90，dbc=bdc=45，be平分dbc，dbe=ebc=22.5=fdc，bdf=45+22.5=67.5，f=9022.5=67.5=bdf，bd=bf，bcedcf，f=bec=67.5=deg，dgb=18022.567.5=90，即bgdf，bd=bf，df=2dg，bdgdeg，bgeg=4，=，bgeg=dgdg=4，dg=2，be=df=2dg=4【36. 2012六盘水】22如图，已知e是abcd中bc边的中点，连接ae并延长ae交dc的延长线于点f（1）求证：abefce（2）连接acbf，若aec=2abc，求证：四边形abfc为矩形考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：（1）由abcd为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到ab与dc平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由e为bc的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用asa可得出三角形abe与三角形fce全等；（2）由abe与fce全等，根据全等三角形的对应边相等得到ab=cf；再由ab与cf平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到abfc为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得到ae=ef，be=ec；再由aec为三角形abe的外角，利用外角的性质得到aeb等于abe+eab，再由aec=2abc，得到abe=eab，利用等角对等边可得出ae=be，可得出af=bc，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出abfc为矩形解答：证明：（1）四边形abcd为平行四边形，abdc，abe=ecf，又e为bc的中点，be=ce，在abe和fce中，abefce（asa）；（2）abefce，ab=cf，又abcf，四边形abfc为平行四边形，be=ec，ae=ef，又aec=2abc，且aec为abe的外角，aec=abc+eab，abc=eab，ae=be，ae+ef=be+ec，即af=bc，则四边形abfc为矩形点评：此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键【37. 2012攀枝花】24如图所示，在形状和大小不确定的abc中，bc=6，e、f分别是abac的中点，p在ef或ef的延长线上，bp交ce于d，q在ce上且bq平分cbp，设bp=y，pe=x（1）当x=ef时，求sdpe：sdbc的值；（2）当cq=ce时，求y与x之间的函数关系式；（3）当cq=ce时，求y与x之间的函数关系式； 当cq=ce（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；三角形中位线定理。专题：代数几何综合题；压轴题。分析：（1）根据中位线定理、相似三角形的判定与性质可以求得sdpe：sdbc的值；（2）（3）问的解答，采用一般到特殊的方法解答中首先给出了一般性结论的证明，即当eq=kcq（k0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6kx；然后将该关系式应用到第（2）（3）问中求解在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论（2）中式子），该结论在解题过程中发挥了重要作用解答：解：（1）e、f分别是abac的中点，x=ef，efbc，且ef=bc，edpcdb，=，sdpe：sdbc=1：36；（2）如右图，设cq=a，de=b，bd=c，则dp=yc；不妨设eq=kcq=ka（k0），则dq=kab，cd=（k+1）ab过q点作qmbc于点m，作qnbp于点n，bq平分cbp，qm=qn，又，即 epbc，即 epbc，即 由式联立解得：y=6kx 当cq=ce时，k=1，y与x之间的函数关系式为：y=6x（3）当cq=ce时，k=2，由（2）中式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12x；当cq=ce（n为不小于2的常数）时，k=n1，由（2）中式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n1）x；点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错本题第（2）（3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当cq=ce时，cq=ce时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当cq=ce（n为不小于2的常数）时的一般情况【38. 2012山西】25问题情境：将一副直角三角板（rtabc和rtdef）按图1所示的方式摆放，其中acb=90，ca=cb，fde=90，o是ab的中点，点d与点o重合，dfac于点m，debc于点n，试判断线段om与on的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：om=on，证明如下：连接co，则co是ab边上中线，ca=cb，co是acb的角平分线（依据1）omac，onbc，om=on（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的rtdef沿着射线ba的方向平移至如图2所示的位置，使点d落在ba的延长线上，fd的延长线与ca的延长线垂直相交于点m，bc的延长线与de垂直相交于点n，连接om、on，试判断线段om、on的数量关系与位置关系，并写出证明过程考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质。解答：（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等（2）证明：ca=cb，a=b，o是ab的中点，oa=obdfac，debc，amo=bno=90，在oma和onb中，omaonb（aas），om=on （3）解：om=on，omon理由如下：连接co，则co是ab边上的中线acb=90，oc=ab=ob，又ca=cb，cab=b=45，1=2=45，aoc=boc=90，2=b，bnde，bnd=90，又b=45，3=45，3=b，dn=nbacb=90，ncm=90又bnde，dnc=90四边形dmcn是矩形，dn=mc，mc=nb，mocnob（sas），om=on，moc=nob，moccon=nobcon，即mon=boc=90，omon【39.2012黄石】abcc1b1d图（10）24.（本小题满分9分）如图（10）所示：等边中，线段为其内角平分线，过点的直线于交的延长线于.（1）请你探究：，是否成立?aefbcd图（11）（2）请你继续探究：若为任意三角形，线段为其内角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断.（3）如图（11）所示中，,为上一点且，交其内角角平分线与.试求的值.【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理【专题】探究型【分析】（1）根据等边三角形的性质得到ad垂直平分bc，cad=bad=30，ab=ac，则db=cd，易得；由于c1ab1=60，得b1=30，则ab1=2ac1， 同理可得到db1=2dc1，易得；（2）过b点作beac交ad的延长线于e点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到e=cad=bad，则be=ab，并且根据相似三角形的判定得ebdacd，得到ac/be=cd/db，而be=ab，于是有ac/ab=cd/db，这实际是三角形的角平分线定理；（3）ad为a