高考数学一轮复习 高考大题增分专项3 高考中的数列课件.ppt

高考大题增分专项三高考中的数列 2 从近五年高考试题分析来看 高考数列解答题主要题型有 等差数列 等比数列的综合问题 证明一个数列为等差数列或等比数列 求数列的通项及非等差数列 等比数列的前n项和 证明数列型不等式 命题特点是试题的题型规范 解题方法可循 难度稳定在中档 3 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 突破策略一公式法对于等差数列 等比数列 求其通项及求前n项的和时 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 4 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 例1 2017北京 文15 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通项公式 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 解 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 2 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2b4 a5 所以b1qb1q3 9 解得q2 3 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 5 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 对点训练1在等比数列 an 中 已知a1 2 a4 16 1 求数列 an 的通项公式 2 若a3 a5分别为等差数列 bn 的第4项和第16项 试求数列 bn 的通项公式及前n项和sn 6 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 突破策略二转化法无论是求数列的通项还是求数列的前n项和 通过变形 整理后 能够把数列转化为等差数列或等比数列 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 7 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 例2在数列 an 中 a1 1 数列 an 1 3an 是首项为9 公比为3的等比数列 1 求a2 a3 解 1 数列 an 1 3an 是首项为9 公比为3的等比数列 an 1 3an 9 3n 1 3n 1 a2 3a1 9 a3 3a2 27 a2 12 a3 63 8 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 对点训练2设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和tn 9 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 10 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 突破策略一定义法用定义法证明一个数列是等差数列 常采用的两个式子an an 1 d n 2 和an 1 an d 前者必须加上 n 2 否则n 1时a0无意义 用定义法证明一个数列是等比数列也常采用两个式子 11 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 例3已知数列 an 满足an 1 2an n 1 且a1 1 1 求证 数列 an n 为等比数列 2 求数列 an 的前n项和sn 12 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 对点训练3 2017全国 文17 设sn为等比数列 an 的前n项和 已知s2 2 s3 6 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并判断sn 1 sn sn 2是否成等差数列 13 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 突破策略二递推相减法对已知数列an与sn的关系 证明 an 为等差数列或等比的问题 解题思路为 由an与sn的关系递推出n为n 1时的关系式 两关系式相减后 进行化简 整理 最终化归为用定义法证明 14 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 例4已知数列 an 的前n项和为sn sn m 1 man对任意的n n 都成立 其中m为常数 且m 1 1 求证 数列 an 是等比数列 2 记数列 an 的公比为q 设q f m 若数列 bn 满足 3 在 2 的条件下 设cn bn bn 1 数列 cn 的前n项和为tn 求证 tn 1 15 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 证明 1 当n 1时 a1 s1 1 sn m 1 man sn 1 m 1 man 1 n 2 由 得an man 1 man n 2 即 m 1 an man 1 a1 0 m 1 an 1 0 m 1 0 16 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 17 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 证明 1 由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减 得 3 m an 1 2man an 是等比数列 对点训练4设数列 an 的前n项和为sn 且 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 且m 3 1 求证 an 是等比数列 18 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 19 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 突破策略一错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求 即和式两边同乘等比数列的公比 然后作差求解 20 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 例5已知数列 an 的前n项和sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 解 1 由题意知当n 2时 an sn sn 1 6n 5 当n 1时 a1 s1 11 符合上式 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 可解得b1 4 d 3 所以bn 3n 1 21 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 又tn c1 c2 cn 得tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 两式作差 得 tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 所以tn 3n 2n 2 22 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 对点训练5已知等差数列 an 的前3项和为6 前8项和为 4 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn 4 an qn 1 q 0 n n 求数列 bn 的前n项和sn 1 设等差数列 an 的公差为d 故an 3 n 1 1 4 n 23 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 24 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 突破策略二裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而求得其和 这就是裂项相消法 利用裂项相消法求和时 要注意抵消后所剩余的项是前后对称的 25 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 26 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 对点训练6在等差数列 an 中 a2 5 a5 11 数列 bn 的前n项和sn n2 an 1 求数列 an bn 的通项公式 27 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 策略一 策略二 28 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 突破策略放缩法要证明关于一个数列的前n项和的不等式 一般有两种思路 一是先求和再对和式放缩 二是先对数列的通项放缩再求数列的和 必要时对其和再放缩 29 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例7 2017广东佛山一模 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足sn an n2 1 n n 1 求 an 的通项公式 30 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 1 解 sn an n2 1 n n a1 a2 a2 22 1 解得a1 3 当n 2时 an sn sn 1 an n2 1 an 1 n 1 2 1 整理得an 1 2n 1 可得an 2n 1 当n 1时也成立 an 2n 1 2 证明由 1 可得sn 2n 1 n2 1 n2 2n 31 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练7 2017贵州贵阳二模 设sn是数列 an 的前n项和 an 0 且4sn an an 2 1 求数列 an 的通项公式 32 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 33 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 突破策略存在顺推法求解数列中的存在性问题 先假设所探求对象存在 再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理 若由此推出矛盾 则假设不成立 即不存在 若推不出矛盾 则得到存在的结果 34 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例8已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 1 证明因为anan 1 sn 1 所以an 1an 2 sn 1 1 两式相减 得an 1 an 2 an an 1 因为an 1 0 所以an 2 an 2 解由题设 a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 即an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 35 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练8若 an 是各项均不为零的等差数列 公差为d sn为其前的前n项和 1 求an和tn 2 是否存在正整数m n 1 m n 使得t1 tm tn成等比数列 若存在 求出所有m n的值 若不存在 请说明理由 36 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 37 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 38 1 解决等差数列 等比数列的综合问题时 重点在于读懂题意 灵活利用等差数列 等比数列的定义 通项公式及前n项和公式解决问题 求解这类问题要重视方程思想的应用 用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量 减少差错 2 求数列的通项公式就是求出an与n的关系式 无论条件中的关系式含有哪些量 一般都需要通过消元 转化和化归的思想使之变为等差 等比数列 3 高考对数列求和的考