高考数学一轮复习 第十五章 圆锥曲线与方程 15.1 椭圆课件.ppt

第十五章圆锥曲线与方程 15 1椭圆 高考数学 1 椭圆的定义把平面内与两个定点f1 f2的 距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 符号表示 pf1 pf2 2a 2a f1f2 轨迹是椭圆 当 pf1 pf2 2a 2a f1f2 时 轨迹是 线段f1f2 当 pf1 pf2 2a 2a f1f2 时 轨迹不存在 知识清单 拓展延伸1 过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为 2 p为椭圆上的点 f1 f2为椭圆的两个焦点 且 f1pf2 则 f1pf2的面积为s pf1 pf2 sin 3 椭圆 1 a b 0 与 k a b 0 k 0 有相同的离心率 求椭圆标准方程的方法1 利用待定系数法求椭圆的标准方程 1 如果明确椭圆的焦点在x轴上 那么设所求的椭圆方程为 1 a b 0 2 如果明确椭圆的焦点在y轴上 那么设所求的椭圆方程为 1 a b 0 3 如果椭圆中心在原点 但不确定焦点是在x轴上还是在y轴上 那么方程可以设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 方法技巧 2 利用定义及性质求椭圆的标准方程 1 根据动点满足的等式的几何意义 写出标准方程 2 建立关于a b c e的方程或方程组 3 解方程或方程组 得到椭圆的标准方程 例1 1 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍 且过点a 3 0 并且以坐标轴为对称轴 求椭圆的标准方程 2 2016江苏如东高级中学期中 17 已知圆c x2 y2 2x 15 m是圆c上的动点 n 1 0 mn的垂直平分线交cm于点p 求点p的轨迹方程 解析 1 设椭圆方程为 1 m 0 n 0 m n 由题意知或解得或 椭圆的标准方程为 y2 1或 1 2 由题意知 np pc mp pc 4 nc 故点p的轨迹是以c n为焦点 长轴长为4的椭圆 所以点p的轨迹方程为 1 求椭圆的离心率或离心率的取值范围考的知识点通常有两类 一是求椭圆的离心率 二是求椭圆离心率的取值范围 1 若给定椭圆的方程 则根据椭圆的焦点位置确定a2 b2 求出a c的值 利用公式e 直接求解 2 若椭圆方程未知 则根据条件及几何图形建立a b c e满足的关系式 化为关于a c的齐次方程 求出a c的关系或化为e的方程求解 例2 2016江苏常州一中 江阴南菁高中联考 7 已知f是椭圆 1 a b 0 的左焦点 a为右顶点 p是椭圆上一点 pf x轴 若 pf af 则该椭圆的离心率是 解析由题意得 a a 0 f c 0 pf x轴 pf 因为 pf af 所以 a c 即 3a 4c a c 0 a c 0 3a 4c 0 e 答案 例3 2015福建文改编 11 5分 已知椭圆e 1 a b 0 的右焦点f 短轴的一个端点为m 直线l 3x 4y 0交椭圆e于两点a b 若 af bf 4 点m到直线l的距离不小于 则椭圆e的离心率的取值范围是 解析直线l 3x 4y 0过原点 从而a b两点关于原点对称 于是 af bf 2a 4 所以a 2 不妨令m 0 b 则由点m到直线l的距离不小于得 即b 1 所以e2 又0 e 1 所以0 e 即椭圆e的离心率的取值范围是0 e 答案0 e 椭圆中的最值问题解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合 函数与方程两大数学思想 具体方法有以下几种 1 利用数形结合 几何意义 尤其是椭圆的性质求最值或取值范围 2 利用函数 尤其是二次函数求最值或取值范围 3 利用不等式 尤其是基本不等式求最值或取值范围 4 利用判别式求最值或取值范围 例4 2017镇江高三上学期期末 18 已知椭圆c 1的离心率为 且点在椭圆c上 1 求椭圆c的标准方程 2 若直线l交椭圆c于p q两点 线段pq的中点为h o为坐标原点 且oh 1 求 poq面积的最大值 解析 1 由已知得 1 易得a2 4 b2 1 故椭圆c的标准方程是 y2 1 2 当pq x轴时 h位于x轴上 且ho pq 由oh 1可得pq 此时s poq oh pq 当pq不垂直于x轴时 设直线l的方程为y kx t p x1 y1 q x2 y2 由得 1 4k2 x2 8ktx 4t2 4 0 所以从而h 由已知oh 1可得t2 因为pq2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 1 k2 设坐标原点o到直线l的距离为d 则d2 从而 1 k2 将 式代入得 令1 16k2 p 则 1 当且仅当p 3时 取 此时 poq的面积最大 且最大值为1 1 poq面积的最大值为1 巧解直线与椭圆的综合性问题直线与椭圆的综合性问题的求解思路 1 设直线方程 在直线的斜率不确定的情况下 要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论 或者将直线方程设成mx ny b 0 m2 n2 0 的形式 2 联立直线方程与椭圆方程并将其转化为一元二次方程 利用根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系 3 一般涉及弦的问题时 要用弦长公式 ab x1 x2 或 ab y1 y2 k 0 来解决 例5 2017无锡高三上学期期末 18 已知椭圆 1 动直线l与椭圆交于b c两点 点b位于第一象限 1 若点b的坐标为 求 obc面积的最大值 2 设b x1 y1 c x2 y2 且3y1 y2 0 求当 obc面积最大时 直线l的方程 解析 1 由已知得 直线ob的方程为y x 即3x 2y 0 设过点c且平行于ob的直线l 的方程为y x b 易知当直线l 与椭圆只有一个公共点时 obc面积最大 由消去y并整理得3x2 3bx b2 3 0 9b2 12 b2 3 令 0 解得b 2 易知直线l 与直线ob之间的距离为 故 obc面积的最大值为 2 显然 直线l与y轴不垂直 故设直线l的方程为x my n 由消去x并整理得 3m2 4 y2 6mny 3n2 12 0 3y1 y2 0 y1 n2 s obc n y1 y2 2 n y1 点b位于第一象限 x1 my1 n n 0 n 0 y1 0 m 0 s obc 当且仅当3m 即m 时取等号 此时n 所求直线l的方程为x y 即y x 圆锥曲线中的定点 定值问题圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 例6 2017江苏丹阳高三上学期期初考试 17 15分 如图 在平面直角坐标系xoy中 a b分别是椭圆g y2 1的左 右顶点 p 2 t t r 且t 0 为直线x 2上的一个动点 过点p任意作一条直线l与椭圆g交于c d 直线po分别与直线ac ad交于e f 1 当直线l恰好经过椭圆g的右焦点和上顶点时 求t的值 2 记直线ac ad的斜率分别为k1 k2 若t 1 求证 为定值 求证 四边形afbe为平行四边形 解析 1 由题意得 椭圆的上顶点坐标为 0 1 右焦点坐标为 0 易得直线l的方程为y x 1 令x 2 得t 1 2 证明 由题意可设直线ac的方程为y k1 x 2 由得c 同