高考数学二轮复习 专题四 数列、推理与证明 第4讲 推理与证明课件 理.ppt

第4讲推理与证明 专题四数列 推理与证明 热点分类突破 真题押题精练 热点一归纳推理1 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 n个根号 答案 解析 2 2017 山西省大同市灵丘豪洋中学模拟 下面图形由小正方形组成 请观察图1至图4的规律 并依此规律 写出第15个图形中小正方形的个数是 120 答案 解析 思维升华 解析 a1 1 a2 3 a3 6 a4 10 思维升华归纳递推思想在解决问题时 从特殊情况入手 通过观察 分析 概括 猜想出一般性结论 然后予以证明 这一数学思想方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 其思维模式是 观察 归纳 猜想 证明 解题的关键在于正确的归纳猜想 答案 解析 2 用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形 则按此规律 第100个图形中有白色地砖 块 现将一粒豆子随机撒在第100个图中 则豆子落在白色地砖上的概率是 答案 503 解析 解析按拼图的规律 第1个图有白色地砖 3 3 1 块 第2个图有白色地砖 3 5 2 块 第3个图有白色地砖 3 7 3 块 则第100个图中有白色地砖3 201 100 503 块 第100个图中黑白地砖共有603块 则将一粒豆子随机撒在第100个图中 豆子落在白色地砖上的概率是 热点二类比推理1 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 2 类比推理的思维过程如下 例2 1 2017届江西省鹰潭市模拟 我们知道 平面中到定点等于定长的点轨迹是圆 拓展至空间 空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球 类似可得 已知a 1 0 0 b 1 0 0 则点集 p x y z pa pb 1 在空间中的轨迹描述正确的是a 以a b为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面b 以a b为焦点的椭球体c 以a b为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面d 以上都不对 答案 解析 解析由特殊到特殊进行类比推理可得 点集 p x y z pa pb 1 在空间中的轨迹描述正确的是以a b为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 故选c 答案 解析 思维升华 解析设p1 x1 y1 p2 x2 y2 p0 x0 y0 因为p0 x0 y0 在这两条切线上 思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理 强调的是两类事物之间的相似性 有共同要素是产生类比迁移的客观因素 类比可以由概念性质上的相似性引起 如等差数列与等比数列的类比 也可以由解题方法上的类似引起 当然首先是在某些方面有一定的共性 才能有方法上的类比 答案 解析 ch x y chxchy shxshy 答案不唯一 答案 解析 解析chxchy shxshy 同理可得ch x y chxchy shxshy sh x y shxchy chxshy sh x y shxchy chxshy 热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法 综合法由因导果 而分析法则是执果索因 反证法是反设结论导出矛盾的证明方法 例3已知 an 是正数组成的数列 a1 1 且点 an 1 n n 在函数y x2 1的图象上 1 求数列 an 的通项公式 解答 解由已知得an 1 an 1 则an 1 an 1 又a1 1 所以数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 故an 1 n 1 1 n 2 若数列 bn 满足b1 1 bn 1 bn 2an 求证 bn bn 2 b 证明 证明由 1 知 an n 从而bn 1 bn 2n bn bn bn 1 b2 b1 b1 又b1 1 21 1 所以bn 2n 1 n n 22n 2 2n 2 2n 1 22n 2 2 2n 1 1 2n 0 思维升华 思维升华 1 有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可 2 综合法和分析法是直接证明常用的两种方法 我们常用分析法寻找解决问题的突破口 然后用综合法写出证明过程 有时候分析法和综合法交替使用 跟踪演练3 1 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 a b c的对边分别为a b c 证明 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 abc三个内角a b c成等差数列 故b 60 由余弦定理 得b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 证明 证明假设x0是f x 0的负根 热点四数学归纳法数学归纳法证明的步骤 1 证明当n取第一个值n0 n0 n 时结论成立 2 假设当n k k n 且k n0 时结论成立 证明n k 1时结论也成立 由 1 2 可知 对任意n n0 且n n 结论都成立 例4 2017届江苏徐州等四市模拟 设n n f n 3n 7n 2 1 求f 1 f 2 f 3 的值 解答 解代入求出f 1 8 f 2 56 f 3 368 2 证明 对任意正整数n f n 是8的倍数 证明 证明 当n 1时 f 1 8是8的倍数 命题成立 假设当n k时命题成立 即f k 3k 7k 2是8的倍数 那么当n k 1时 f k 1 3k 1 7k 1 2 3 3k 7k 2 4 7k 1 因为7k 1是偶数 所以4 7k 1 是8的倍数 又由归纳假设知3 3k 7k 2 是8的倍数 所以f k 1 是8的倍数 所以当n k 1时 命题也成立 由 知命题对任意n n 成立 思维升华 思维升华用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求等式在n k和n k 1时的联系 解答 1 计算f 1 f 2 f 3 的值 解答 2 比较f n 与1的大小 并用数学归纳法证明你的结论 解由 1 知 f 1 1 f 2 1 下面用数学归纳法证明 当n 3时 f n 1 由 1 知当n 3时 f n 1 假设当n k k 3 时 f n 1 所以当n k 1时 f n 1 当n 3时 f n 1 真题体验 1 2017 全国 改编 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有2位优秀 2位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则可推断知道自己成绩的是 乙 丁 答案 解析 1 2 3 1 2 解析由甲说 我还是不知道我的成绩 可推知甲看到乙 丙的成绩为 1个优秀 1个良好 乙看丙的成绩 结合甲的说法 丙为 优秀 时 乙为 良好 丙为 良好 时 乙为 优秀 可得乙可以知道自己的成绩 丁看甲的成绩 结合甲的说法 甲为 优秀 时 丁为 良好 甲为 良好 时 丁为 优秀 可得丁可以知道自己的成绩 3 1 2 答案 解析 3 1 2 3 3 2016 全国 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 1 2 1和3 答案 解析 解析由丙说 我的卡片上的数字之和不是5 可知 丙为 1和2 或 1和3 又乙说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 所以乙只可能为 2和3 所以由甲说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 所以甲只能为 1和3 3 押题预测 1 将正整数作如下分组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 1 2 3 分别计算各组包含的正整数的和如下 s1 1 s2 2 3 5 s3 4 5 6 15 s4 7 8 9 10 34 s5 11 12 13 14 15 65 s6 16 17 18 19 20 21 111 s7 22 23 24 25 26 27 28 175 试猜测s1 s3 s5 s2015 10084 答案 解析 押题依据 1 2 3 押题依据数表 阵 是高考命题的常见类型 本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托 围绕简单的计算 归纳猜想以及数学归纳法的应用等 考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度 1 2 3 解析由题意知 当n 1时 s1 1 14 当n 2时 s1 s3 16 24 当n 3时 s1 s3 s5 81 34 当n 4时 s1 s3 s5 s7 256 44 猜想 s1 s3 s5 s2n 1 n4 s1 s3 s5 s2015 10084 1 2 3 押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点 相对而言 归纳推理在高考中出现的机率较大 答案 解析 押题依据 1 2 3 显然式子中的