第八届华杯赛决赛一试试题及解答.doc

第八届华杯赛决赛一试试题及解答1计算：2李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车?汽车速度是步行速度的几倍?3.如右图，pABC是一个四面体，各棱互不相等。现用红、黄两种颜色将四面染色，规则如下：1)首先将p，A，B，C染成红、黄二色之一；2)在一个面的三角形中，若两个或三个顶点同色，则将这个面染成这种颜色。问有多少种不同的染法?(两个染好了的四面体，四个对应面的颜色相同，则认为是同种染法，不计四个顶点的颜色是否相同)4如下图，CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米。求三角形ADE的面积。5.求l2001的所有自然数中，有多少个整数x使与被7除余数相同?612个小朋友每人一件编号为1，2，312的行李包，各自用号牌取行李。行李按编号顺序排成一列，小朋友随意排成一列，但只有当未取走行李中编号最小的行李才能被取走，否则取行李的小朋友要排到队尾去(取到行李的小朋友不再排队)，而验个号需要一分钟，四点开始验号牌，3号行李在4：33被取走，8号行李在4：40被取走。问拿1，2，3和8号牌的小朋友最初的排队次序各是第几名?1.2李经理在7点27分30秒遇上汽车；汽车速度是步行速度的11倍.（华杯赛网上所给相遇时间的答案7.25是错误的）3共有8种不同染法.4三角形的ADE的面积是69.5共有574个数.6拿1、2、3号和8号小朋友最初的排队顺序是第12，第11，第10和第7.1解：原式.2解：如图，设A为公司，B为李经理家，C为相遇点李经理早到5分钟，是由于汽车少跑了两段BC的路程，所以汽车跑一段BC用2.5分钟，汽车由A到C的时间为7点30分2.5分7点27.5分，即7点27分30秒这也是李经理与汽车相遇的时间，因此，李经理由B到C用了27.5分钟，从而，汽车的速度是步行速度的27.52.511（倍）3如果有三个顶点染成同一种颜色，则不管第四点染成何色，这时四个面同色，故此时有同红或同黄两种染法.此外，只有两个红点两个黄点一种可能，此时必为两红面、两黄面，设底面为红，另一红面可能为三个不同侧面之一，即有三种可能；同理，底面为黄面，也有三种可能.所以共有2328种染法.4解：作EHAD，交AD的延长线于H，作DGBC，交BC于G，EDHHDC90，CDGHDC90EDHCDG又EDDCEDHDCG，EHCG（BCAD）6（厘米）所以，ADE的面积为：ADEH23669（平方厘米）5解：首先看7的余数、7的余数与x的关系：x1234567891011121314151617181920217的余数2412412412412412412417的余数142241014224101422410可见，7的余数3个一循环，7的余数7个一循环，所以，3和7的最小公倍数为21，200121956，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有9564574（个）.为什么会出现余数的循环呢？下面我们来证明（1）7与7同余，（2）7与7同余.（1）787（71）77，从而7与7同余.（2）77727，从而7与7同余.6解：3号取走行李时共验了33个行李，此前取走了1号和2号，即1、2、3号的位置和为33，只有10111233，且1号排在第12位，2号排在第11位，3号排在第10位，才能经33次验号，拿3号牌的小朋友取走行李.40337，说明又经7次验号，4、5、6、7、8号便取走了行李，剩下的是9、10、11、12号4名小朋友.此