高考数学《立体几何初步》专题 球学案.doc

1 第第 1111 课时课时 球球 1 1 球 与定点的距离 或 定长的点的集合 2 2 球的性质 1 用一个平面去截一个球 截面是 2 球心和截面圆心的连线 于截面 3 球心到截面的距离d与球半径r及截面的半径r有以下关系 4 球面被经过球心的平面截得的圆叫 被不经过球心的平面截得的圆叫 5 在球面上两点之间的最短连线的长度 就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长 这个弧长叫 3 3 球的表面积公式和体积公式 设球的半径为 r 则球的表面积 s 球的体积 v 例例 1 1 如图 a b c 是半径为 1 的球面上的三点 b c 两点间的球面距离为 3 点 a 与 b c 两点的球面距离都为 2 o 为球心 求 1 aobboc 的大小 2 球心o 到截面 abc 的距离 a b o c 解 解 1 因为 b c 两点的球面距离为 3 即 b c 两点与球心连线所夹圆心角为 3 点 a 与 b c 两点的球面距离都为 2 即aobaoc 均为直角 所以 aobboc 3 2 2 因为 boc abc 都是等腰三角形 取 bc 的中点 m 连 om am 过 o 作 oh am 于 h 可证得 oh 即为 o 到截面 abc 的距离 7 21 2 7 2 7 2 3 22 ohomaoamoham omoaamom 变式训练变式训练 1 1 球面上有三点 a b c a 和 b 及 a 和 c 之间的球面距离是大圆周长的 4 1 b 典型例题典型例题 基础过关基础过关 2 和 c 之间的球面距离是大圆周长的 6 1 且球心到截面 abc 的距离是 7 21 求球的体积 解 解 设球心为 o 由已知 易得 aob aoc 2 boc 3 过 o 作 od bc 于 d 连 ad 再过 o 作 oe ad 于 e 则 oe 平面 abc 于 e oe 7 21 在 rt aod 中 由 ad oe ao od oa r 1 v 球 3 4 r3 3 4 例例 2 2 如图 四棱锥 a bcde 中 bcdead底面 且 ac bc ae be 1 求证 a b c d e 五点都在以 ab 为直径的同一球面上 2 若 1 3 90 adcecbe 求 b d 两点间的球面距离 e b c d a 解 解 1 因为 ad 底面 bcde 所以 ad bc ad be 又因为 ac bc ae be 所 以 bc cd be ed 故 b c d e 四点共圆 bd 为此圆的直径 取 bd 的中点 m ab 的中点 n 连接 bd ab 的中点 mn 则 mn ad 所以 mn 底 面 bcde 即 n 的射影是圆的圆心m 有 am bm cm dm em 故五点共球且直 径为 ab 2 若 cbe 90 则底面四边形bcde 是一个矩 形 连接 dn 因为 3 2 3 1 2 1 3 1 3 bndbnmbn mnbdadce 所以 b d 两点间的球面距离是 3 2 rl 变式训练变式训练 2 2 过半径为 r 的球面上一点 m 作三条 两两互相垂直的弦 ma mb mc 1 求证 ma2 mb2 mc2为定值 2 求 mab mac mbc 面积之和的最大值 解解 1 易求得 ma2 mb2 mc2 4r2 2 s mab s mac s mbc 2 1 ma mb ma mc mb mc 2 1 ma2 mb2 mc2 2r2 当且仅当 ma mb mc 时取最大值 例例 3 3 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心的一个截面 如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是 3 a 2 2 b 2 3 c 2 d 3 解 解 设正四面体为正四面体 abcd 分析截面图可知 截面经过正四面体的一条棱设为 cd 又过球心 设截面与棱 ab 交于 e 点 则 e 为 ab 的中点 易求得截面三角形的面积为2 故选 c 变式训练变式训练 3 3 已知三棱锥 p abc 中 e f 分别是 ac ab 的中点 abc pef 都是正三角 形 pf ab 1 证明 pc 平面 pab 2 求二面角 p ab c 的平面角的余弦值 3 若点 p a b c 在一个表面积为 12 的球面上 求 abc 的边长 解解 1 连结 cf pe ef 2 1 bc 2 1 ac ap pc cf ab pf ab ab 平面 pcf ac 平面 pcf pc ab pc 平面 pab 2 ab pf ab cf pfc 为所求二面角的平面角 设 ab a 则 pf ef 2 a cf a 3 cos pfc 3 3 2 3 2 a a 3 设 pa x 球半径为 r pc 平面 pab pa pb 4 r2 12 r 3 知 abc 的外接圆为球之小圆 由 x2 3 3 x 2r 得 abc 的边长为 22 1 因为 球 是 圆 在空间概念上的延伸 所以研究球的性质时 应注意与圆的性质类 比 2 球的轴截面是大圆 它含有球的全部元素 所以有关球的计算 可作出球的一个大圆 化 球 为 圆 来解决问题 3 球心与小圆圆心的连线 垂直于小圆所在的平面 球的内部结构的计算也由此展开 4 计算球面上 a b 两点的球面距离是一个难点 其关键是利用 ab 既是小圆的弦 又是大 圆的弦 这一事实 其一般步骤是 小结归纳小结归纳