高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题E 不等式 理.doc

e不等式e1不等式的概念与性质5e1、e62012福建卷 下列不等式一定成立的是()alglgx(x0)bsinx2(xk，kz)cx212|x|(xr)d.1(xr)5c解析 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件对于a选项，当x时，lglgx；所以a不一定正确；b命题，需要满足当sinx0时，不等式成立，所以b也不正确；c命题显然正确；d命题不正确，x211，0g(1)0，从而f(a2)ng(a2)0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)f(1)n2，所要证的不等式成立当a21时，令b，则0b1，由已知的结论知，两边同时乘以a得所要证的不等式综上，当a21且a20时，有sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立9b11、b12、e12012浙江卷 设a0，b0()a若2a2a2b3b，则abb若2a2a2b3b，则abd若2a2a2b3b，则a2b2b.构造函数：f(x)2x2x，则f(x)2x2x在x0上单调递增，即ab成立，故a正确，b错误其余选项用同样方法排除7d2、e12012浙江卷 设sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()a若d0，则数列sn有最大项b若数列sn有最大项，则d0d若对任意nn*，均有sn0，则数列sn是递增数列7c解析 本题考查等差数列的通项、前n项和，数列的函数性质以及不等式知识，考查灵活运用知识的能力，有一定的难度法一：特值验证排除选项c显然是错的，举出反例：1，0,1,2,3，满足数列s n是递增数列，但是s n0不恒成立法二：由于snna1dn2n，根据二次函数的图象与性质知当d0，但对任意的nn*，sn0不成立，即选项c错误；反之，选项d是正确的；故应选c.点评 等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据图12e2 绝对值不等式的解法13e22012山东卷 若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.132解析 本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，容易题去绝对值得2kx42，即2kx6，又其解集为，k2.e3一元二次不等式的解法13e32012江苏卷 已知函数f(x)x2axb(a，br)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_139解析 本题考查二次函数的解析式以及性质和一元二次不等式的解法解题突破口为二次函数的性质及三个“二次”之间的关系由条件得a24b0，从而f(x)2，不等式f(x)c解集为x，故两式相减得3，c9.11e2、a12012天津卷 已知集合axr|x2|3，集合bxr|(xm)(x2)0，且ab(1，n)，则m_，n_.111,1解析 本题考查绝对值不等式的解法及集合的交并运算，考查运算求解能力，容易题a，且ab(1，n)，m1，b，ab(1,1)，即n1.1a1、e32012浙江卷 设集合ax|1x4，集合bx|x22x30，则a(rb)()a(1,4) b(3,4)c(1,3) d(1,2)(3,4)1b解析 本题主要考查不等式的求解、集合的关系与运算等由于bx|x22x30x|1x3，则rbx|x3，那么a(rb)x|3x4(3,4)，故应选b.点评 不等式的求解是进一步处理集合的关系与运算的关键14a2、a3、b3、e32012北京卷 已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若同时满足条件：xr，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0.则m的取值范围是_14(4，2)解析 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能满足条件时，由g(x)2x20，可得x1，要使xr，f(x)0或g(x)0，必须使x1时，f(x)m(x2m)(xm3)0恒成立，当m0时，f(x)m(x2m)(xm3)0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m0，要满足条件，必须使方程f(x)0的两根2m，m3都小于1，即可得m(4,0)满足条件时，因为x(，4)时，g(x)0，所以要使x(，4)时，f(x)g(x)0即可，只要使4比2m，m3中较小的一个大即可，当m(1,0)时，2mm3，只要4m3，解得m1与m(1,0)的交集为空集；当m1时，两根为2；24，不符合；当m(4，1)时，2m2m，所以m(4，2)综上可知m(4，2)2e32012重庆卷 不等式0的解集为()a. b.c.1，) d.1，)2a解析 不等式等价于解得x1，选a.16b11、b12、e32012重庆卷 设f(x)a ln xx1，其中ar，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值16解：(1)因f(x)a ln xx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值e4 简单的一元高次不等式的解法e5简单的线性规划问题14e52012陕西卷 设函数f(x)d是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y在d上的最大值为_142解析 本小题主要考查了利用导数求切线方程、线性规划的知识，解题的突破口是先求出切线的方程，画出可行域对于函数在x1的导数，可只对函数ylnx求导，有y，所以在x1处的切线的斜率为k1，在x1处的切线方程为：yx1.此时可画出可行域当目标函数过点(0，1)时z取得最大值2.5e52012山东卷 已知变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()a. b. c1,6 d. 5a解析 本题考查简单的线性规划问题，考查数据处理能力，容易题可行域如图所示阴影部分当目标函数线l移至可行域中的点a(2,0)时，目标函数有最大值z3206；当目标函数线l移至可行域中的b点时，目标函数有最小值z33.10e5、h42012重庆卷 设平面点集a(x，y)(yx)y0，b，则ab所表示的平面图形的面积为()a. b.c. d.10d解析 平面点集a表示的平面区域就是不等式组与表示的两块平面区域，而平面点集b表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是ab所表示的平面图形由于圆和曲线y关于直线yx对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的，即为.8e52012辽宁卷 设变量x，y满足则2x3y的最大值为()a20 b35c45 d558d解析 本小题主要考查线性规划解题的突破口为作出可行域，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值不等式组表示的区域如图11所示，令z2x3y，目标函数变为yx，故而当截距越大，z的取值越大，故当直线z2x3y经过点a时，z最大，由于故而a的坐标为，代人z2x3y，得到zmax55，即2x3y的最大值为55.图1113e52012全国卷 若x，y满足约束条件则z3xy的最小值为_131解析 本小题主要考查线性规划最优解的应用，解题的突破口是正确作出可行域和平移目标函数曲线利用不等式组，作出可行域，则目标函数直线过(0,1)时，z取最小值1.11e52012安徽卷 若x，y满足约束条件则xy的取值范围是_11.解析 本题考查线性规划的应用设zxy.作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示(含边界)易知当直线zxy经过点a(0,3)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最小值，且zmin3，当直线zxy经过点c(1,1)时，直线在y轴上截距最小，目标函数z取得最大值，即zmax0，所以xy3,02e5、k32012北京卷 设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()a. b. c. d.2d解析 设事件a：点到坐标原点的距离大于2.如图11，p(a).图119e52012四川卷 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗a原料1千克、b原料2千克；生产乙产品1桶需耗a原料2千克、b原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗a、b原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()a1800元 b2400元c2800元 d3100元9c解析 设该公司每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则 利润函数z300x400y，如图，在 的交点(4,4)处取得最大值zmax300440042800元9e52012福建卷 若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()a. b1 c. d29b解析 根据约束条件画出可行域如下图所示，根据题意，显然当曲线y2x与直线yx3相交，交点的横坐标即为m的最大值，解方程组：解得x1，y2，所以交点的横坐标为x1，所以当m1时，曲线y2x上存在点(x，y)满足约束条件，所以m的最大值为1.5e52012广东卷 已知变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值为()a12 b11 c3 d15b解析 作出可行域，如图所示目标函数变形为：y3xz，平移目标函数线，显然当直线经过可行域中a点时，z最大，由 得a(3,2)，所以zmax33211.所以选择b.8e52012江西卷 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()a50,0 b30,20 c20,30 d0,508b解析 考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的实际应用、数形结合思想，以及阅读理解和数学建模能力；解题的突破口是按照线性规划解决实际问题的步骤求解，即设出 x、y、z；列出约束条件，确定目标函数；画出可行域；判断最优解；求出目标函数的最值，并回到原问题中作答设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件 下，求z0.554x0.36y1.2x0.9yx0.9y的最大值画出可行域如图利用线性规划知识可知，当x，y取的交点(30,20)时，z取得最大值故选b.14e52012课标全国卷 设x，y满足约束条件则zx2y的取值范围为_14答案 3,3解析 作出不等式组 表示的平面区域(如下图阴影部分所示，含边界)，平移直线zx2y，可知当直线zx2y经过点m(1,2)时，zx2y取得最小值3，经过点n(3,0)时，zx2y取得最大值3，所以z3,3e6基本不等式5e1、e62012福建卷 下列不等式一定成立的是()alglgx(x0)bsinx2(xk，kz)cx212|x|(xr)d.1(xr)5c解析 本题考查不等式的性质以及基本不等式的应用，解题时注意使用不等式的性质以及基本不等式成立的条件对于a选项，当x时，lglgx；所以a不一定正确；b命题，需要满足当sinx0时，不等式成立，所以b也不正确；c命题显然正确；d命题不正确，x211，0c2，则c2c，则c；若a3b3c3，则c；若(ab)c；若(a2b2)c2.15解析 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等对于，由c2a2b22abcosc2，则cosc，因为0c，所以c，故正确；对于，由4c24a24b28abcosc3即8cosc236，则cosc，因为0c，所以c，故正确；对于，a3b3c3可变为331，可得01,01，所以13322，所以c2a2b2，故c，故正确；对于，c，可得c，所以abc2，因为a2b22ababc2，所以c，错误；对于，c22a2b2可变为，所以c2，所以c，故错误故答案为.e7 不等式的证明方法e8不等式的综合应用14e82012江苏卷 已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，clnbaclnc，则的取值范围是_14e,7解析 本题考查多元问题的求解以及线性规划思想的运用解题突破口为将所给不等式条件同时除以c，三元换成两元题设条件可转化为记x，y，则且目标函数为z，上述区域表示第一象限内两直线与指数函数的图象围成如图所示的曲边形由方程组得交点坐标为c，此时zmax7.又过原点作曲线yex的切线，切点为(x0，y0)，因yex，故切线斜率kex0，切线方程为yex0x，而y0ex0且y0ex0x0，解之得x01，故切线方程为yex，从而zmine，所求取值范围为e,721 b12、b14 、e8 2012广东卷 设a0，bxr|2x23(1a)x6a0，dab.(1)求集合d(用区间表示)；(2)求函数f(x)2x33(1a)x26ax在d内的极值点21解：(1)xdx0且2x23(1a)x6a0.令h(x)2x23(1a)x6a，9(1a)248a3(3a1)(a3)当a1时，0，br.于是daba(0，)当a时，0，此时方程h(x)0有唯一解，x1x21，b(，1)(1，)于是dab(0,1)(1，)当a0，此时方程h(x)0有两个不同的解x1，x2.x10，b(，x1)(x2，)又x10a0，所以i)当0a时，dab(0，x1)(x2，)；ii)当a0时，d(x2，)(2)f(x)6x26(1a)x6a6(x1)(xa)当a1时，f(x)在r上的单调性如下表：x(，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当a1时，d(0，)由表可得，xa为f(x)在d内的极大值点，x1为f(x)在d内的极小值点当a时，d(0,1)(1，)由表可得，x为f(x)在d内的极大值点当0aa且x11，ad,1d.由表可得，xa为f(x)在d内的极大值点当a0时，d(x2，)且x21.由表可得，f(x)在d内单调递增因此f(x)在d内没有极值点21b9、b12、e82012陕西卷 设函数fn(x)xnbxc(nn，b，cr)(1)设n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；(2)设n2，若对任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范围；(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，xn，的增减性21解：(1)b1，c1，n2时，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在上是单调递增的，fn(x)在内存在唯一零点(2)当n2时，f2(x)x2bxc.对任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等价于f2(x)在1,1上的最大值与最小值之差m4.据此分类讨论如下：当1，即|b|2时，m|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾当10，即0b2时，mf2(1)f224恒成立当01，即2b0时，mf2(1)f224恒成立综上可知，2b2.注：，也可合并证明如下：用maxa，b表示a，b中的较大者当11，即2b2时，mmaxf2(1)，f2(1)f2f21c|b|24恒成立(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2)fn(xn)xxn10，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1)，又由(1)知fn(x)在上是递增的，故xnxn1(n2)，所以，数列x2，x3，xn，是递增数列法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10，则fn1(x)的零点xn1在(xn,1)内，故xn0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6 km时，可击中目标21h10、e92012四川卷 如图17所示，动点m与两定点a(1,0)、b(2,0)构成mab，且mba2mab，设动点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程；(2)设直线y2xm与y轴相交于点p，与轨迹c相交于点q、r，且|pq|pr|，求的取值范围图1721解：(1)设m的坐标为(x，y)，显然有x0，且y0.当mba90时，点m的坐标为(2，3)当mba90时，x2，由mba2mab，有tanmba，即.化简可得，3x2y230.而点(2，3)在曲线3x2y230上，综上可知，轨迹c的方程为3x2y230(x1)(2)由消去y，可得x24mxm230.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，)内，设f(x)x24mxm23.所以解得，m1，且m2.设q、r的坐标分别为(xq，yq)，(xr，yr)，由|pq|1，且m2，有111，命题为真，于是，xn1，由于xn和都是整数，故xn111，正确；对于，当xk1xk时，得xk，从而xk0，即xk0，xkxk0，即xk0，解得xk，结合得：1xk，故xk. 正确15a2、c8、e6、e92012安徽卷 设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)若abc2，则c2c，则c；若a3b3c3，则c；若(ab)c；若(a2b2)c2.15解析 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等对于，由c2a2b22abcosc2，则cosc，因为0c，所以c，故正确；对于，由4c24a24b28abcosc3即8cosc236，则cosc，因为0c，所以c，故正确；对于，a3b3c3可变为331，可得01,01，所以13322，所以c2a2b2，故c，故正确；对于，c，可得c，所以abc2，因为a2b22ababc2，所以c，错误；对于，c22a2b2可变为，所以c2，所以c4n(13)n1c3c32c331c3c32c3312n3n5(n2)2(2n5)2n31.当n0,1,2时，显然()n2n31.故a时，对所有自然数n都成立所以满足条件