山东省青岛二中高二数学下学期第三次模拟考试试题 理（解析版）新人教A版.doc

2012-2013学年高二下学期第三次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2012北京）设a，br“a=o”是“复数a+bi是纯虚数”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：常规题型分析：利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件解答：解：因为a，br“a=o”时“复数a+bi不一定是纯虚数”“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立所以a，br“a=o”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件故选b点评：本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度2（5分）（2012黑龙江）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1ap2，p3bp1，p2cp2，p4dp3，p4考点：复数的基本概念；命题的真假判断与应用专题：计算题分析：由z=1i，知，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，由此能求出结果解答：解：z=1i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为1，故选c点评：本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答3（5分）“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）a大前提错导致结论错b小前提错导致结论错c推理形式错导致结论错d大前提和小前提错都导致结论错考点：演绎推理的基本方法专题：常规题型分析：对于指数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，指数函数是一个减函数y=ax是增函数这个大前提是错误的，得到结论解答：解：当a1时，函数是一个增函数，当0a1时，指数函数是一个减函数y=ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错故选a点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查指数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的4（5分）已知，则=（）abcd考点：导数的运算专题：计算题分析：对f（x）进行求导，再将x=代入f（x），进行求解，从而求出；解答：解：，f（x）=cosx+，f（）=cos+=，f（）=，=，故选d；点评：此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；5（5分）若曲线处的切线分别为l1，l2，且l1l2，则a的值为（）a2b2cd考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用分析：两函数f（x）、g（x）在x=1处的导数即为它们在点p处切线的斜率，再根据切线垂直即可列一方程，从而可求a值解答：解：f（x）=，g（x）=axa1，则f（1）=，g（1）=a，又曲线处的切线相互垂直，所以f（1）g（1）=1，即a=1，所以a=2故选a点评：本题考查了导数的几何意义及简单应用，难度不大该类问题中要注意区分某点处的切线与过某点的切线的区别，某点处意为改点为切点，过某点则未必然6（5分）（理科做）设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y=f（x）上点（1，f（1）处的切线率为（）a2b1c1d2考点：极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；规律型分析：由导数的几何意义，求出在曲线y=f（x）上点（1，f（1）处的导数，即求得在此点处切线的斜率解答：解：，即y|x=1=1，yf（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1，故选b点评：本题考查导数及其运算，求解问题的关键，是对所给的极限极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求出曲线y=f（x）上点（1，f（1）处的切线率7（5分）如图是导函数y=f（x）的图象，则下列命题错误的是（）a导函数y=f（x）在x=x1处有极小值b导函数y=f（x）在x=x2处有极大值c函数y=f（x）在x=x3处有极小值d函数y=f（x）在x=x4处有极小值考点：函数的单调性与导数的关系专题：应用题分析：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值解答：解：根据如图所示的导函数的图象可知函数f（x）在（，x3）单调递增，在（x3，x4）单调递减，（x4，+）单调递增函数在处x3有极大值，在x4处有极小值故选c点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了识别函数图形的能力，属基础题8（5分）（2009临沂一模）=2，则实数a等于（）a1b1cd考点：定积分专题：计算题分析：根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式=2，列出关于a的方程，从而求解解答：解：=2，=（cosx）+（asinx）=0（1）+a=2，a=1，故选b点评：此题考查定积分的定义及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数9（5分）函数y=xlnx在（0，5）上是（）a单调增函数b在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减c单调减函数d在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；导数的综合应用分析：由y=xlnx，知y=lnx+1，由y=lnx+1=0，得极值点x=，由此能判断函数y=xlnx在（0，5）上的单调性解答：解：y=xlnx，y=lnx+1，由y=lnx+1=0，得极值点x=，x（0，5），当x（0，）时，f（x）0，函数是单调递减函数当x（，5）时，f（x）0，函数是单调递增函数故选d点评：本题考查函数的单调的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用10（5分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由“k推导k+1”时，不等式的左边增加了（）abcd以上都不对考点：数学归纳法分析：准确写出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果注意分母及项数的变化解答：解：当n=k时，左边的代数式为，（共k项）当n=k+1时，左边的代数式为+（共k+1项）故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果，即为不等式的左边增加的项故选b点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n相关的性质，其步骤为：设p（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基） p（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在p（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立11（5分）（2003天津）设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则p到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）a0，b0，c0，|d0，|考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系专题：压轴题分析：先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围解答：解：过p（x0，f（x0）的切线的倾斜角的取值范围是0，f（x0）=2ax0+b0，1，p到曲线y=f（x）对称轴x=的距离d=x0（）=x0+x0，d=x0+0，点评：本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心12（5分）已知函数y=f（x）是定义在实数集r上的奇函数，且当x0，f（x）+xf（x）0（其中f（x）是f（x）的导函数），a=4f4，b=f（）设c=（lg），则a，b，c的大小关系是（）acabbcbacabcdacb考点：导数的运算；不等关系与不等式专题：计算题分析：我们可以令函数f（x）=xf（x），证明其为偶函数，再研究其单调性，分别求出a，b，c，再利用f（x）的单调性进行判断；解答：解：令函数f（x）=xf（x），则函数f（x）=f（x）f（x）=f（x），f（x）=xf（x）为偶函数当x0时，f（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数递增，则，因为，所以abc，故选c点评：此题主要考查对数函数的性质及其图象，以及利用函数的单调性进行比较数的大小关系，是一道基础题；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13（4分）若z为复数，且（1i）z=1+i，则|z|=1考点：复数求模专题：计算题分析：由（1i）z=1+i可得 z=i，由此求得|z|的值解答：解：由（1i）z=1+i可得 z=i，故|z|=1，故答案为 1点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题14（4分）由曲线围成区域面积为考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题分析：先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可解答：解：如图，曲线围成区域面积为：=sinxdx=cosx=（）=故答案为：点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题15（4分）德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形，单位分数是分子为1，分母为正整数的分数称为莱布尼兹三角形：根据前5行的规律，写出第6行第3个数是考点：归纳推理专题：规律型；探究型分析：认真观察图形的组成，规律：任意一个小三角形里，底角两数相加=顶角的数，整个三角形的两条侧边是自然数的倒数列解答：解：第6行第一个数和最后一个数都是，第2个数加要等于 ，所以求出第二个数是，同理第三个数加等于，求出第三个数是故答案为：点评：此题考查的知识点是数字的变化类问题，也考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键16（4分）已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4x2在x轴上方的曲线上，则矩形的面积最大为考点：抛物线的简单性质专题：导数的概念及应用分析：先设点b的坐标，将面积s表达为变量的函数，再利用导数法求出函数的最大值解答：解：设点b（x，4x2） （ox2），则s=2x（4x2）=2x3+8xs=6x2+8，令s=6x2+8=0，可得x=ox2，由s0，可得0x；由s0，可得x=时，s=2x3+8x取得最大值为故答案为点评：本题解题的关键是利用点在抛物线上设点，从而构建函数，由于函数是单峰函数，所以在导数为0处一定取最值三、解答题：本大题共6个小题，共74分.17（12分）（）已知zc，且|z|i=+2+3i（i为虚数单位），求复数的虚部（）已知z1=a+2i，z2=34i（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数a的值考点：复数的基本概念；复数代数形式的混合运算专题：计算题分析：（）设z=x+yi，代入方程|z|i=+2+3i，整理后利用复数相等的概念求出引入的参数x，y的值，即可求得复数z，再求出复数确定其虚部（）将化为代数形式，再令其实部为0，虚部不为0即可解答：解：（）设z=x+yi，代入方程|z|i=+2+3i，得出i=xyi+2+3i=（x+2）+（3y）i，故有，解得，z=3+4i，复数=2+i，虚部为1（）=，且为纯虚数则3a8=0，且4a+60，解得a=点评：本题考查了复数中的基本知识和计算：纯虚数、实部、虚部的概念，复数的加减乘除混合运算属于基础题18（12分）已知函数f（x）=x2alnx（ar）（1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x+b，求a，b的值（2）若函数f（x）在（1，+）上为增函数，求a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；综合题；导数的综合应用分析：（1）根据切线的斜率为1，得到f（2）=1，解之得a=2；从而得到f（x）=x22lnx，算出切点坐标为（2，22ln2），再代入直线y=x+b，即可求出实数b的值（2）根据题意，f（x）0在（1，+）上恒成立，由此得到关于x的不等式ax2在（1，+）上恒成立，再讨论x2的取值范围，即可得到a的取值范围解答：解：（1）f（x）=x2alnx，f（x）=x，其中（x0）f（x）在x=2处的切线方程为y=x+bf（2）=2=1，解之得a=2，由此可得函数表达式为f（x）=x22lnx，得f（2）=22ln2切点（2，22ln2）在直线y=x+b上，可得22ln2=2+b，解之得b=2ln2综上所述，a=2且b=2ln2；（2）f（x）在（1，+）上为增函数，f（x）0，即x0在（1，+）上恒成立结合x为正数，可得ax2在（1，+）上恒成立而在区间（1，+）上x21，故a1满足条件的实数a的取值范围为（，1点评：本题给出含有二次式和对数式的基本函数，求函数图象的切线并讨论不等式恒成立，着重考查了运用导数研究函数的单调性和导数的几何意义等知识，属于中档题19（12分）已知a、b、c是互不相等的非零实数求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根考点：反证法与放缩法专题：反证法分析：假设要证的结论的反面成立，即三个方程中都没有两个相异实根，则他们的判别式都小于0，利用不等式的性质可得（ab）2+（bc）2+（ca）20，由于a、b、c互不相等，进而可得矛盾，原命题得到证明解答：证明：反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20由题意a、b、c互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根点评：本题考查反证法证题的方法和步骤，假设结论的反面成立，依据定义、定理和性质推出矛盾，说明假设不对，从而要证的结论成立20（12分）已知等差数列an和等比数列bn，a1=b1=2，a2=b2=4（i）求an、bn；（）对于nn*，试比较an、bn的大小并用数学归纳法证明你的结论考点：数学归纳法；等比数列的性质专题：证明题分析：（i）利用等差数列，等比数列定义求出d，q，得出通项公式an=2n，bn=2n即可（）直接作差或作商不易比较，考虑到与自然数n有关，可先比较几组，进行大小关系的猜想，用数学归纳法证明解答：解：（i）a1=b1=2，a2=b2=4等差数列an的公差d=2，等比数列bn的公比q=2所以an=2+（n1）2=2n，bn=22n1=2n（）由已知，当n=1，2时，an=bn，当n=3时，a3=6，b=8，anbn当n=4时，a3=8，b=16，anbn当n=5时，a3=10，b=25，anbn猜测当n3时，anbn下面用数学归纳法证明（1）当n=3时，a3=6，b=8，anbn成立（2）假设当n=k（k3）时成立，即2k2k，则当n=k+1时，2k+1=22k22k=2k+2k2k+2=2（k+1），即an+1bn+1，所以当n=k+1时也成立由（1）（2）可知当n3时，anbn都成立点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n相关的性质，其步骤为：设p（n）是关于自然数n的命题，若（1）（奠基） p（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在p（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数n都成立21（12分）设函数f（x）=4lnx（x1）2（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的方程f（x）+x24xa=0在区间1，e内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：（i）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f（x）0的x的取值区间；（ii）利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围解答：解：（i）函数f（x）=4lnx（x1）2f（x）=2x+2=（x0）令f（x）0，解得x（0，2）故函数f（x）的单调递增区间为（0，2）（ii）关于x的方程f（x）+x24xa=0可化为4lnx（x1）2+x24xa=4lnx2x1a=0令g（x）=4lnx2x1a则g（x）=2令g（x）=0，则x=2，则当0x2时，g（x）0，g（x）为增函数当x2时，g（x）0，g（x）为减函数故当方程f（x）+x24xa=0在区间1，e内恰有两个相异的实根时解得32ea4ln25故实数a的取值范围为32e，4ln25）点评：本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型22（14分）函数f（x）=x2mln+mx2m，其中m0（）试讨论函数f（x）的单调性；（）已知当m（其中e是自然对数的底数）时，在x（，至少存在一点x0，使f（x0）e+1成立，求m的取值范围；（）求证：当m=1时，对任意x1，x2（0，1），x1x2，有考点：利用导数研究函数的单调性；函数的最值及其几何意义；不等式的证明专题：计算题；证明题分析：（）先求出函数的定义域，并求出f（x）=0时x的值，在定义域内取m的值讨论导函数的正负决定函数的增减性，得到函数的单调区间即可；（）在x（，至少存在一点x0，使f（x0）e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范围所以在根据第一问函数的增减性得到在x（，区间f（x）的最大值即可；（）把m=1代入求出f（x），然后构造辅助函数g（x）=f（x）x，求出g（x）并讨论得到g（x）在（0，1）为减函数，对任意0x1x21，都有g（x1）g（x2）成立，即f（x1）x1f（x2）x2即f（x2）f（x1）（x2x1）解出即可得证解答：解：（）易知f（x）的定义域为x（，+）f（x）=x+m=由f（x）=0得：x=0或x=mm0，m（，+）（1）当m0时，则x（，m）时，f（x）0，f（x）为增函数；x（m，0）时，f（x）0，f（x）为减函数；x（0，+）时，f（x）0，f（x）为增函数（2）当m时，则x（，0）时，f（x）0，f（x）为增函数；x（0，m）时，f（x）0，f（x）为减函数；x（m，+）时，f（x）0，f（x）为增函数（）在x（，上至少存在一点x0，使f（x0）g+1成立，等价于当x（，时，f（x）maxg+1m，m由（）知，x（，0时，f（x）为增函数，x0，）时，f（x）为减函数在x（，时，f（x）max=f（0）=2m2mg+1，即m检验，上式满足m，所以m是所求范围（）当m=1时，函数f（x）=x2+lnx+2构造辅助函数g（x）=f（x）x，并求导得g（x）=