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地图投影论文 学号： 院系： 班号： 姓名： 等角圆锥投影的分析、变换及其应用等角圆锥投影 指在地图上没有角度变形的圆锥投影。它是德国数学家兰勃脱所拟定，故又称兰勃脱正形圆锥投影，由于这种投影是一圆锥切割地球的两条标准纬线，又称双标准纬线等角圆锥投影。很多中纬度国家和地区多采用这种投影来编制中、小比例尺地图。在图上，为了保持等角条件，必须使图上任一点的经线比与纬线比相等。圆锥面展平后，经线为交于圆心的直线束，但经线之间的夹角小于纬线呈同心圆弧，纬线的间距从中间向南向北逐渐增大。在此，因为投影又是等角圆锥投影，所以必须满足等角投影条件，用数学关系式表示：1、经纬线投影后正交即 2、一点上任一方向的方位角投影后保持相等即 而在将椭球面投影在平面时，图形如下： C点对A方位角 为 ，经纬线投影后夹角 的表达式：，方位角 投影后对应的 投影方位角为 ，其正弦和余弦表达式为：，因为 由 , 可推出： 或 又因为 由 即 所以 上式即为等角条件的表达式。由 得：由（1）式求出 代入 （2）式得到等角条件：在等角圆锥中，同一点上各方向的长度比相等，与方向无关。又由等角条件 m=n或=0则，代M和r并积分得： 其中esin=sin。式中K为积分常数，当=0时，=K,K的几何意义为赤道的投影半径，上式可写成： ，其中a,K为投影常数。等角圆锥投影的一般公式如下：当=0，上式有极值，在一般情况下,，M,r不为0，则 即=sin0 0为长度比最小的纬线的纬度，可求n对的二阶导数证明0处的长度比为最小值。 之后再指定制图区域一条纬度无长度变形，使通过0处长度比n0为最小，即在该纬线上保持主比例尺不变的条件（n0=1）来决定投影常数。则a=sin0由n0=1即 ，此过程便是等角圆锥投影的定义过程。 现如今，等角圆锥投影的使用非常广泛，在我国的分省地图边多采用这种投影。中学使用的地图册中，中国地理的所有分区地图，以及世界地图中的朝鲜、蒙古、日本、南亚、西亚、南欧、西欧、北欧、中欧、美国、墨西哥及西印度群岛等均用这种投影。 我国新编的1:100 万地图, 以及航空图、省（区） 图等均采用了等角圆锥投影。由于其投影常数的不同, 故其平面坐标系也不一致,这种差别都可归结为投影参数、的不同1。参数、的不同可以看作是投影带不同, 不同投影带的同一地区的地图资料是难以拼接的。为了利用不同带的地图资料, 并为统一不同平面坐标系的点位信息, 这就需要进行不同带等角圆锥投影的坐标变换。实现不同带等角圆锥投影坐标变换的方法之一是根据在旧带中点的平面直角坐标反解出地理坐标, 再计算求出该点在新带中的平面直角坐标, 即圆锥雄影的反解变换方法2 ;方法之二是直接推求由旧带平面直角坐标变换到新带平面直角坐标的关系式, 即圆锥投影间的正解变换公式。下面介绍一种利用墨卡托坐标作中间变量, 推求出的一组等角圆锥投影不同带间的正解变换公式。一、 等角圆锥投影间的正解变换公式墨卡托投影的坐标公式为 （1）式中 ，是割纬线半径，e是第一偏心率。等角圆锥投影的坐标公式为： （2）式中： 为投影常数。 墨卡托投影到等角圆锥投影的正解变换公式为 ： （3）式中：。而又等角圆锥投影到墨卡托投影的正解变换公式为 （4）式中：设等角圆锥投影旧带之中中央经线经度为，投影常数为、C、；而新带分别为、。下面利用墨卡托坐标作中间变量来推求等角圆锥投影由旧带到新带的坐标变换公式。第一步，将旧带之等角圆锥投影坐标（x,y）变换为墨卡托投影坐标，由（4）式有 ， （5）式中：第二步，变换墨卡托投影坐标基准点 （6）式中：、 以弧度计。第三步，再由墨卡托坐标 变换为新带等角投影坐标 （X、Y），由（3）式有 （7） 式中： 最后将（5）、（6）式代入（7）式，经简单整理后得到等角圆锥投影间正解变换公式，如下：， （8）式中: , 下面便举一例子利用公式来变换计算： 已知旧带等角圆锥投影之坐标为 x=290.136 cm,y=114.915 cm.其投影常数为 =0.4719381，C=3009.818 cm，=2613.462；而 新带等角圆锥投影常数为 =0.44636409，=3163.6409 cm，=2750 cm。求新带等角圆锥投影坐标 X、Y。按（8）式计算结果为 X=273.2512 cm，Y=1158496 cm。 上述算例结果表明，只要知道两等角投影之常数 、C、，则可按（8）式直接进行两等角圆锥投影间点位坐标的变换。变换公式（8）是严密公式，它不受制图区域大小的影响。地图上点位坐标的变换不仅是地图制图中经常遇到的一个实际问题，而且随着计算机技术日益运用于各部