高考数学 321精品系列专题09 立体几何 理 （教师版2）.doc

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题09 立体几何 理 （教师版2）1、（2011届江西白鹭洲中学高三期中（文）4已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中，错误的命题个数是（ a ）；若； a1b2c3d4 2、（2011届温州十校联合体高三期中（理）6设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是(d ) a若则 b若则 c若则 d若则3、（2011届温州十校联合期中（理）12一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 4、（2011届福州三中高三期中（理）m、n表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ b ）（1）（2）（3）（4）7、（2011届安徽省河历中学高三期中（文）8设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 （ c ）a若，则 b若，则c若，则 d若，则8、（2011届安徽省河历中学高三期中（文）10如图，已知球为棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（ a ）ab c d9、（2011届台州中学高三期中（文）4一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （d） a b c d310、（2011届台州中学高三期中（文）6.如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是 答案：c11、（2011届嵊州一中高三期中（文）8.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题 若，则若若若其中正确命题的个数是 ( d )a0个b1个c2个d3个12、（2011届双鸭山一中高三期中（理）6.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ b ）（a）若，则 （b）若，则，两两垂直，且，分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 15、（2011届唐山一中高三期中（文）15已知s、a、b、c是球o表面上的四个点，sa平面abc，abbc， sa=2,ab=bc=，则球o的表面积为_答案：三棱锥sabc是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同2r=，r=16、（2011届安徽省河历中学高三期中（文）14一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、左视图、俯视图的面积分别是1， 2，4，则这个几何体的体积为_4/3_。17、（2011届安徽省河历中学高三期中（理）11已知正四面体的俯视图如左图所示,其中四边形是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 cm2则该球的表面积为108；若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为其中，正确命题的序号为 (2) (4) 写出所有正确命的序号）20、（2011届江西白鹭洲中学高三期中（文）8某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ b ）ab cd12 第13题21、（2011届江西白鹭洲中学高三期中（文）9. 已知，与的夹角为，则以 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是（ a ）. a.15 b. c. 4 d. 22、（2011届安徽省河历中学高三期中（理）12如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积若,且恒成立,则正实数的最小值为_ 123、（2011届江西白鹭洲中学高三期中（文）19. （本小题满分12分）如图所示，在正三棱柱abc-a1b1c1中，底面边长是2，d是棱bc的中点，点m在棱bb1上，且bm=b1m，又cmac1. （）求证：a1b/平面ac1d；（）求三棱锥b1-adc1体积. 连接,交于点连接,则是的中位线，,又,.在正三棱锥中，的中点，则,从而,又,则内的两条相交直线都垂直，,于是,则与互余，则与互为倒数，易得， 连结，,三棱锥的体积为.方法：以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，则,， ，设平面的法向量，则，,，.平面的法向量为，点到平面的距离，.24、（2011届温州十校联合体高三期中（理）20（本小题满分14分） 已知在四棱锥p-abcd中，底面abcd是边长为4的正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，e、f、g分别是pa、pb、bc的中点（i）求证：ef平面pad；（ii）求平面efg与平面abcd所成锐二面角的大小；解：方法1：（i）证明：平面pad平面abcd，m平面pad，（4分）e、f为pa、pb的中点，ef/ab，ef平面pad；（6分）（ii）解：过p作ad的垂线，垂足为o，则po 平面abcd 取ao中点m，连og，,eo,em, ef /ab/og,og即为面efg与面abcd的交线（8分）又em/op,则em平面abcd且ogao,故ogeo 即为所求（11分） ，emtan故 设平面efg的一个法向量为 则， ， （11分）平面abcd的一个法向量为（12分）平面efg与平面abcd所成锐二面角的余弦值是：，锐二面角的大小是；（14分）25、（2011届台州中学高三期中（文）如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，e是bc的中点 （1）求异面直线ae与a1c所成的角； （2）若g为c1c上一点，且ega1c，试确定点g的位置；（3）在（2）的条件下，求二面角c-ag-e的正切值解：（1）取b1c1的中点e1，连a1e1，e1c，则aea1e1，e1a1c是异面直线a与a1c所成的角。设，则中， 。所以异面直线ae与a1c所成的角为。 -5分 （2）由（1）知，a1e1b1c1,又因为三棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱bcc1b1,又ega1c ce1eg=gec 即得所以g是cc1的中点 - -9分 （3）连结ag ,设p是ac的中点，过点p作pqag于q,连ep,eq,则epac又平面abc平面acc1a1 ep平面acc1a1而pqag eqagpqe是二面角c-ag-e的平面角由ep=a,ap=a,pq=,得所以二面角c-ag-e的平面角正切值是 -14分26、（2011届台州中学高三期中（理）19（本小题满分14分）如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，（i）求证：平面bcd；（ii）求异面直线ab与cd所成角余弦值的大小；（iii）求点e到平面acd的距离方法一：（i）证明：连结oc在中，由已知可得而即平面（ii）解：取ac的中点m，连结om、me、oe，由e为bc的中点知直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角在中，是直角斜边ac上的中线，异面直线ab与cd所成角的大小为（iii）解：设点e到平面acd的距离为在中，而点e到平面acd的距离为方法二：（ii）：以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线ab与cd所成角的大小为（iii）解：设平面acd的法向量为则令得是平面acd的一个法向量。又点e到平面acd的距离27、（2011届嵊州一中高三期中（文）19（本题14分）如图，四棱锥pabcd中，paabcd，四边形abcd是矩形. e、f分别是ab、pd的中点.若pa=ad=3，cd=.（i）求证：af/平面pce；（ii）求点f到平面pce的距离；（iii）求直线fc与平面pce所成角的大小.解法一： （i）取pc的中点g，连结eg，fg，又由f为pd中点，则fg/.又由已知有四边形aegf是平行四边形.平面pce，eg5分 （ii）.10分 （iii）由（ii）知14分10分（iii）， 直线fc与平面pce所成角的大小为.14分28、（2011届唐山一中高三期中（文）（本题满分12分）已知四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd异面直线pb与cd所成的角为45求：（1）二面角bpcd的大小；（2）直线pb与平面pcd所成的角的大小解：（1）abcd，pba就是pb与cd所成的角，即pba=45 于是pa=ab作bepc于e，连接ed，在ecb和ecd中，bc=cd，ce=ce，ecb=ecd， ecbecd，ced=ceb=90bed就是二面角bpcd的平面角4分注：也可不还原成正方体,利用体积求出点b到平面pcd的距离，或用向量法解答【一年原创】 一、选择题1.正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为（ ） a. b. c. d. 解析：选d.由正三棱锥的性质，它的侧棱长为，且两两垂直，所以其体积为，故选d.2.一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积比是3：2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ）a. 1:1 b . c . d. 3:2解析：选a.设圆柱的底面半径为，球的半径为，由于圆柱的轴截面为正方形，因此圆柱的母线长为，所以,即,故选a.3.已知两条不同的直线、，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是a 若，则 b若，则c若，则d若，则解析：选a. a对，在b中有m与n不垂直的情况，在c中，还有m与n相交、异面的情况，在d中，还有m与n相交、异面的情况，故选a.4、圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）a. b.18 c. d. 9解析：选b.设截面等腰三角形的顶角为，则截面面积为，因为，所以，故选b.5、某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆dc的高度，在旗杆的正西方向的点a测得旗杆顶端d的仰角为30度，沿点a向北偏东60度前进18米到达b点，测得旗杆顶端d的仰角为45度，经目测ab小于ac,则旗杆的高度为（ ）a.9米 b.16米 c.18米 d.9米或18米 解析：选c.如图，设,则，,所以在中，应用余弦定理得，解这个方程得，当时，,与已知矛盾，故舍去. 当时符合题意，所以选c.6、如图是一个六棱柱的三视图，俯视图是一个周长为3的正六边形，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，那么这个球的体积为（ ）a b c d 解析：选b.这是一个正六棱柱，上下两个底面的中心连线的中点就是球心，因为六棱柱的高为，所以球心到底面的距离为.因为底面正六边形的周长为3，所以底面正六边形的边长为，即底面外接圆的半径为，由球的截面性质得球半径，所以这个球的体积为,故选b.7.等边三角形abc的边长为4，m、n分别为ab、ac的中点，沿mn将amn折起，使得面amn与面mncb所成的二面角为30，则四棱锥amncb的体积为 （ ）a、 b、 c、 d、3 解析：选 a.在平面图中，过a作albc，交mn于k，交bc于l.则akmn，klmn.akl是面amn与面mncb所成的二面角的平面角，即有akl30.则四棱锥amncb的高h. .故选 a.8由棱长为2的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为（ ）a.2 b.4 c. d.解析：选d构成的几何体是两个有公共底面的正四棱锥，它的底面边长为，高为1，所以一个正四棱锥的体积为，新几何体的体积为，故选d.9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则,其中真命题的个数是 （ ）a1 b2 c3 d4解析：选b.也有相交的情况；要保证相交，才有；由面面平行的性质定理可知正确；因，同样，从而，故对故选b10.矩形abcd中，ab=4，bc=2，e、f分别为ab、cd的中点，沿ef把bcfe折起后与adfe垂直，p为矩形adfe内一动点，p到面bcfe的距离与它到点a的距离相等，设动点p的轨迹是曲线l，则曲线l是（ ）a. 圆的一部分 b.椭圆的一部分 c.抛物线的一部分 d.双曲线的一部分解析：选c.如图，过点p作pq垂直于fe，则pq垂直于平面bcfe，所以pq=pa，所以动点p的轨迹（即曲线l）为以a为焦点，以fe为准线的抛物线在矩形内的部分,故选c.二、填空题11.如图是一个几何体的三视图，俯视图是顶角为120度的等腰三角形，则这个几何体的表面积为 .解析：根据三视图的知识，这个几何体是底面边长分别为的等腰三角形，高为2的直三棱柱.它的侧面积是，为，轴截面为正三角形，故圆锥的最高点离桌面的距离为厘米.答案：厘米13在一个棱长为6厘米的密封正方体盒子中，放一个半径为1厘米的小球，任意摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间为g,则这个正方体盒子中的一点属于g的概率为 .解析：在正方体盒子中，不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到达的空间，其体积为.小球沿每条棱运动不能到达的空间（除去两端的两个角）的体积，即为高为4的一个正四棱柱的体积与其内接圆柱体积差的四分之一（如图二），即，正方体有12条棱，所以在盒子中小球不能到达的空间g的体积为，又正方体盒子的体积为63=216，所这以个正方体盒子中的一点属于g的概率为.答案：14等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 解：设，作，则，为二面角的平面角，结合等边三角形与正方形可知15直角三角形abc中，ad是斜边bc上的高，则ab是bd与bc的等比中项.请利用类比推理给出：三棱锥p-abc中，侧棱pa、pb、pc两两垂直，点p在底面上的射影为o，则 .解析：连接co，并延长交ab于d，连接pd，则pdpc,cdab,所以pd2=dodc,所以.即三角形pab的面积是三角形aob的面积与三角形abc的面积的等比中项.答案：三角形pab的面积是三角形aob的面积与三角形abc的面积的等比中项.三、解答题16如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，pcad.底面abcd为梯形，abdc，abbc.pa=ab=bc,点e在棱pb上，且pe=2eb. (1)求证：平面pab平面pcb； (2)求证：pd平面eac.证明：(1)pa平面abcd，pabc. 又abbc，paab=a, bc平面pab.又bc平面pcb，所以平面pab平面pcb.(2)pa底面abcd，paad,又pcad，papc=p， ad平面pac，acad. 在梯形abcd中，由abbc，ab=bc，得bac=45，dca=bac=45，又acad，故dac为等腰直角三角形，dc=ac=（ab）=2ab.连结bd，交ac于点m，则.连结em，在bpd中，,pdem,又em在平面eac内，pd平面eac.17.在abc中，ab=ca=6，bc=8，点d、e、f分别是bc、ab、ca的中点，以三条中位线为折痕，折成一个三棱锥p-def，点m,n分别是pd,ef的中点.(1)求证:mnpd,mnef；(2)求这个三棱锥p-def的体积.解析:(1)连接dn、nm、pn，因为df=de,pf=pe，所以pnef，dnef，pn=dn=，又pndn=n，所以ef平面pdn，所以efmn，pdmn.(2)由（1）知ef平面pdn，在直角三角形pmn中，pm=2，pn =，由勾股定理得mn=1,所以pdn的面积为，所以这个三棱锥p-def的体积.18.在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=2,aa1=ad=1,点e,f,g分别是棱aa1、c1d1、bc的中点.(1)在直线a1d1上是否存在点q，使得eq平面fb1g；(2)求四面体efgb1的体积.解析：(1)如图取ad的中点m,连接a1m，则a1mb1g,所以eq平面fb1g的充要条件是a1meq，延长qe交ad于点n，因为e为aa1中点，所以n为am的中点，所以4a1q=ad,所以在线段d1a1延长线上存在点q，使得eq平面fb1g； (2)由(1)知如图,所以.19.如图是三棱柱abc-a1b1c1的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，d为ac的中点. (1)求证：ab1平面bdc1；(2)设ab1垂直于bc1，bc=2,求这个三棱柱的表面积.解析：(1)由三视图画出直观图，如图，这是一个正三棱柱，连接bc1和b1c，交点为o,则o为b1c的中点，连接od,因为d为中点，所以odab1,又od在平面bdc1内，ab1不在平面bdc1内，所以ab1平面bdc1. (2)过a作afbc,垂足为f,连接b1f，因为侧面垂直于底面，所以af侧面bcc1b1，所以ab1在侧面bcc1b1内的射影为b1f，因为ab1垂直于bc1，所以bc1b1f，rtb1bfrtbcc1,b1b:bc=bf:c1c,所以b1b2=bcbf=2，所以侧棱,所以表面积为.20如图，平行四边形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab=1，ad=2，adc=60，af=3. (1)求证：acbf； (2)求四面体bdef的体积.解析：(1)如图，在abc中，ab=1，bc=2，abc=60，由余弦定理得=，,bac=90，即acab.又在矩形acef中，acaf，且afab=a, ac平面abf，又bf平面abf，acbf. (2)设ac、bd交于点o,连接eo,fo,ed,eb,平面acef平面abcd，平面acef平面abcd=ac,faac，fa平面abcd，又baac，所以ba平面acef,所以.21.如图，ab为圆o的直径，点e,f在圆上，已知abef，ab=bc=4,ae=ef=bf=2，ad=2，直角梯形abcd所在的平面与圆o所在的平面互相垂直. (1)求证：平面cbe平面dae；(2)在db上是否存在一点g，使gf平面dae? 若不存在，请说明理由；若存在，请找出这一点，并证明之.20.解析：(1)如图，连结be，因为四边形abcd是直角梯形，所以adab，又平面abcd平面abfe，所以ad平面abfe,所以adbe.因为ab为圆o的直径，所以aebe，又aead=a，所以be平面dae. 又be平面cbe，所以平面cbe平面dae. (2)存在，点g是bd的中点. 证明：连结og，of,gf,则ogad,又因为og平面dae,所以og平面dae,因为abef，ao=ab=2,ef=2,所以四边形aofe是平行四边形，所以ofae,又of平面dae，所以of平面dae，又ogof=o,所以平面ogf平面dae,所以gf平面dae.（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。复习建议1、三视图是新课标新增的内容，2010、2011、2012年课改区的高考题都有体现，因此，三视图的内容应重点训练。2证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路.3空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围.异面直线所成角的范围是090，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是090，其解法是作垂线、找射影；二面角0180。4与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用5平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【母题特供】母题一：金题引路：如图，平面平面，为正方形，且分别是线段的中点。()求证：/平面； ()求异面直线与所成角的余弦值。解：() 1分， 而5分6分（）9分所以 母题二：金题引路：如图，一简单几何体的一个面abc内接于圆o，ab是圆o的直径，四边形dcbe为平行四边形，且dc平面abc。（1） 证明：平面acd平面；（2）若，试求该几何体的体积v解：（）证明： dc平面abc ,平面abc -2分ab是圆o的直径且 平面adc -4分四边形dcbe为平行四边形de/bc 平面adc -6分又平面ade 平面acd平面-7分（2）解法：所求简单组合体的体积：-9分， ,-11分-12分-13分该简单几何体的体积-14分解法2：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱-8分如图， ,-10分=-12分 =-14分母题三：如图， 在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，点d是ab的中点 （）求证：acbc1； （）求二面角的平面角的正切值证明（）：直三棱柱abca1b1c1，底面三边长ac=3，bc=4，ab=5， acbc， 2分又 ac，且 ac平面bcc1 ，又平面bcc14分 acbc1 5分（）解法一：取中点，过作于，连接6分