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2015-2016学年山东省青岛市平度市高三(上)12月月考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共10小题每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1集合m=x|lg(1x)0,集合n=x|x21,则mn=()a(0,1)b0,1)c1,1d1,0)2已知命题p、q,则“p且q为假”是“p或q为真”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3向量,且,则cos2=()abcd4设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,下列命题中错误的是()a若m,mn,n,则b若,m,m,则mc若m,m,则d若,m,n,则mn5函数f(x)=的大致图象是()abcd6设实数数列an,bn分别为等差数列与等比数列,且a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确的是()aa1b2ba3b3ca5b5da6b67若正实数a,b满足a+b=1,则()a有最大值4bab有最小值c有最大值da2+b2有最小值8已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“x00,f(x0)0”为真,则m的取值范围是()a(,2b2,+)c(,2)d(2,+)9设定义在r上的奇函数y=f(x),满足对任意tr都有f(t)=f(1t),且时,f(x)=x2,则f(2015)的值等于()abc0d10设,sn=a1+a2+an,在s1,s2,s50中,正数的个数是()a25b30c40d50二、填空:本大题共5小题,每小题5分,共25分11已知函数f(x)=,则f(f()的值是=12在abc中,若=3,b2a2=ac,则cosb的值为13观察下列等式:12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律,第n个等式可为14一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为15若函数f(x)满足:存在非零常数a,使f(x)=f(2ax),则称f(x)为“准奇函数”,给出下列函数:f(x)=x2;f(x)=(x1)3;f(x)=ex1;f(x)=cosx则以上函数中是“准奇函数”的序号是三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数(0)的最小正周期为()求函数f(x)的单调增区间;()将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)在区间0,10上零点的个数17把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为v(x)()写出函数v(x)的解析式,并求出函数的定义域;()求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积18如图,在三棱柱abca1b1c1中,aa1底面abc,且abc为正三角形,aa1=ab=6,d为ac的中点(1)求证:直线ab1平面bc1d;(2)求证:平面bc1d平面acc1a;(3)求三棱锥cbc1d的体积19设函数的图象在点(x,f(x)处的切线的斜率为k(x),且函数为偶函数若函数k(x)满足下列条件:k(1)=0;对一切实数x,不等式恒成立()求函数k(x)的表达式;()求证:(nn*)20设等比数列an的前n项和为sn,且()求k的值及数列an的通项公式;()在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列,求数列的前n项和tn,并求使成立的正整数n的最大值21已知函数f(x)=lnxax2+x,ar()若f(1)=0,求函数f(x)的最大值;()令g(x)=f(x)(ax1),求函数g(x)的单调区间;()若a=2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明x1+x22015-2016学年山东省青岛市平度市高三(上)12月月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1集合m=x|lg(1x)0,集合n=x|x21,则mn=()a(0,1)b0,1)c1,1d1,0)【考点】交集及其运算【专题】计算题;函数的性质及应用;集合【分析】分别求出m与n中不等式的解集确定出m与n,找出两集合的交集即可【解答】解:由m中不等式变形得:lg(1x)0=lg1,且1x0,解得:0x1,即m=(0,1),由n中不等式解得:1x1,即n=1,1,则mn=(0,1),故选:a【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知命题p、q,则“p且q为假”是“p或q为真”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】根据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系,得出判断【解答】解:“p且q为假”,p、q都可为假,故充分性不成立;“p或q为真”,p、q都可为真,故必要性不成立;故选d【点评】本题考查充分、必要与充要条件的判断,属于基础题,要掌握判断充要条件的方法3向量,且,则cos2=()abcd【考点】两角和与差的余弦函数【专题】计算题;三角函数的求值【分析】根据向量平行的条件建立关于的等式,利用同角三角函数的基本关系算出sin=,再由二倍角的余弦公式加以计算,可得cos2的值【解答】解:,且,即,化简得sin=,cos2=12sin2=1=故选:d【点评】本题给出向量含有三角函数的坐标式,在向量互相平行的情况下求cos2的值着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识,属于基础题4设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,下列命题中错误的是()a若m,mn,n,则b若,m,m,则mc若m,m,则d若,m,n,则mn【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解:若m,mn,n,则由平面与平面垂直的判定定理得,故a正确;若,m,m,则由直线与平面平行的判定定理得m,故b正确;若m,m,则由平面与平面垂直的判定定理得,故c正确;若,m,n,则m与n相交、平行或异面,故d错误故选:d【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养5函数f(x)=的大致图象是()abcd【考点】函数的图象【专题】常规题型;函数的性质及应用【分析】函数图象题一般用排除法【解答】解:由函数f(x)=可知,函数值都不小于0,故排除a、c、d,故选b【点评】本题考查了函数图象的性质,利用排除法解答,属于中档题6设实数数列an,bn分别为等差数列与等比数列,且a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确的是()aa1b2ba3b3ca5b5da6b6【考点】等比数列的通项公式;等差数列的通项公式【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出【解答】解:设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,a1=b1=4,a4=b4=1,4+3d=4q3=1,解得d=1,q3=an=4(n1)=5n,bn=4qn1=由于b2=4=a1,a正确,故选:a【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题7若正实数a,b满足a+b=1,则()a有最大值4bab有最小值c有最大值da2+b2有最小值【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】由于=2+4,故a不正确由基本不等式可得 a+b=12,可得 ab,故b不正确由于 =1+22,故,故 c 正确由a2+b2 =(a+b)22ab1=,故d不正确【解答】解:正实数a,b满足a+b=1,=2+2+2=4,故有最小值4,故a不正确由基本不等式可得 a+b=12,ab,故ab有最大值,故b不正确 由于 =a+b+2=1+22,故有最大值为,故c正确a2+b2 =(a+b)22ab=12ab1=,故a2+b2有最小值,故d不正确故选:c【点评】本题考查基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子的变形是解题的关键,属于基础题8已知函数f(x)=x2+mx+1,若命题“x00,f(x0)0”为真,则m的取值范围是()a(,2b2,+)c(,2)d(2,+)【考点】特称命题;命题的否定【专题】不等式的解法及应用【分析】根据“命题“x00,f(x0)0”为真”,不等式对应的是二次函数,利用二次的图象与性质加以解决即可【解答】解:因为函数f(x)=x2+mx+1的图象过点(0,1),若命题“x00,f(x0)0”为真,则函数f(x)=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧,且与x轴有两个交点,=m240,且0,即m2,则m的取值范围是:(,2)故选c【点评】本题考查特称命题、二次不等式恒成立,解决此类问题要结合二次函数的图象处理9设定义在r上的奇函数y=f(x),满足对任意tr都有f(t)=f(1t),且时,f(x)=x2,则f(2015)的值等于()abc0d【考点】函数的值【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用【分析】根据已知可得函数y=f(x)是周期为2的周期函数,结合时,f(x)=x2,可得答案【解答】解:函数y=f(x)是定义在r上的奇函数,且f(t)=f(1t),f(x+2)=f1(x+2)=f(x1)=f(x+1)=f1(x+1)=f(x)=f(x),即函数y=f(x)是周期为2的周期函数,故f(2015)=f(1)=f(0),又时,f(x)=x2,f(2015)=f(1)=f(0)=0,故选:c【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性,函数的对称性,函数的周期性,函数求值,根据已知分析出函数y=f(x)是周期为2的周期函数,是解答的关键10设,sn=a1+a2+an,在s1,s2,s50中,正数的个数是()a25b30c40d50【考点】数列的求和【专题】计算题;点列、递归数列与数学归纳法;三角函数的求值【分析】由可知当0n25时,an0,当25n50时,an0;再结合s1=sin0,s500,从而判断即可【解答】解:,当0n25时,an0,当25n50时,an0;sn在1,25上单调递增,在(25,50上单调递减;s1=sin0,s50=sin+sin+0+sin+sin+0=(1)sin+()sin+()sin+00,s1,s2,s50都是正数,故选d【点评】本题考查了数列的递减性的判断与数列前n和的求法,同时考查了三角函数诱导公式的应用二、填空:本大题共5小题,每小题5分,共25分11已知函数f(x)=,则f(f()的值是=2【考点】对数的运算性质;函数的值【专题】计算题;函数的性质及应用【分析】利于抑制投机求出f()的值,然后求解所求表达式的值【解答】解:函数,f()=2+=4=f(4)=2故答案为:2【点评】本题考查函数值的求法,指数以及对数的运算法则,解题方法是由里及外逐步求解,考查计算能力12在abc中,若=3,b2a2=ac,则cosb的值为【考点】正弦定理;余弦定理【专题】方程思想;转化思想;解三角形【分析】由=3,利用正弦定理可得,代入b2a2=ac,可得b2=再利用余弦定理即可得出【解答】解:在abc中, =3,c=3a,代入b2a2=ac,解得b2=则cosb=故答案为:【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题13观察下列等式:12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律,第n个等式可为【考点】归纳推理【专题】压轴题;规律型【分析】等式的左边是正整数的平方和或差,根据这一规律得第n个等式左边为1222+3242+(1)n1n2再分n为奇数和偶数讨论,结合分组求和法求和,最后利用字母表示即可【解答】解:观察下列等式:12=11222=31222+32=61222+3242=10分n为奇数和偶数讨论:第n个等式左边为1222+3242+(1)n1n2当n为偶数时,分组求和(1222)+(3242)+(n1)2n2=,当n为奇数时,第n个等式左边=(1222)+(3242)+(n2)2(n1)2+n2=+n2=综上,第n个等式为故答案为:【点评】本题考查规律型中的数字变化问题,找等式的规律时,既要分别看左右两边的规律,还要注意看左右两边之间的联系14一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为11【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合;数形结合法;立体几何【分析】该几何体为长方体切去一个棱锥得到的,作出直观图,使用作差法求体积【解答】解:由三视图可知该几何体为长方体切去一个棱锥aamd得到的,直观图如图所示,v=223123=11故答案为11【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,对于不规则几何体常采用作差法,分解法等求体积15若函数f(x)满足:存在非零常数a,使f(x)=f(2ax),则称f(x)为“准奇函数”,给出下列函数:f(x)=x2;f(x)=(x1)3;f(x)=ex1;f(x)=cosx则以上函数中是“准奇函数”的序号是【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题;新定义;数形结合;函数的性质及应用【分析】根据准奇函数的定义,先求f(2ax),并判断它能否等于f(x),并根据f(2ax)=f(x)求出a,若a0便得到该函数是准奇函数,若a=0便不是按照这个方法即可判断每个选项的函数是否为准奇函数【解答】解:af(2ax)=(2ax)20,f(x)=x20,f(x)=x2不是准奇函数;b由f(2ax)=(2ax1)3=(x2a+1)3=(x1)3得,2a+1=1,a=1,即存在a=1,使f(x)=f(2ax);该函数为准奇函数;cf(2ax)=e2ax10,而f(x)=ex10,该函数不是准奇函数;d存在非零常数,使f(2x)=cos(2x)=cosx=f(x),该函数是准奇函数故答案为:【点评】考查对新概念准奇函数的理解程度,以及根据准奇函数的定义判断一个函数是否为准奇函数的过程三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16已知函数(0)的最小正周期为()求函数f(x)的单调增区间;()将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)在区间0,10上零点的个数【考点】两角和与差的正弦函数;函数的零点;正弦函数的单调性;函数y=asin(x+)的图象变换【专题】计算题;三角函数的图像与性质【分析】(i)根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得,利用周期公式算出=1,得函数解析式为再由正弦函数单调区间的公式,解关于x的不等式即可得到函数f(x)的单调增区间;(ii)根据函数图象平移的公式,得出函数g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1由此解g(x)=0得sin2x=,利用正弦函数的图象解出或,可见g(x)在每个周期上恰有两个零点,即可算出g(x)在区间0,10上零点的个数【解答】解:()由题意,可得f(x)=函数的最小正周期为, =,解之得=1由此可得函数的解析式为令,解之得函数f(x)的单调增区间是 ()将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,可得函数y=f(x+)+1的图象,g(x)=+1=2sin2x+1,可得y=g(x)的解析式为g(x)=2sin2x+1令g(x)=0,得sin2x=,可得2x=或2x=解之得或函数g(x)在每个周期上恰有两个零点,函数y=g(x)在0,10恰好有10个周期,g(x)在0,10上有20个零点【点评】本题给出三角函数式满足的条件,求函数的单调区间并依此求函数g(x)在0,10上零点的个数着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识,属于中档题17把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形(如图阴影部分)后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为v(x)()写出函数v(x)的解析式,并求出函数的定义域;()求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数模型的选择与应用【专题】综合题【分析】()根据容器的高为x,求得做成的正三棱柱形容器的底边长,从而可得函数v(x)的解析式,函数的定义域;()实际问题归结为求函数v(x)在区间上的最大值点,先求v(x)的极值点,再确定极大值就是最大值即可【解答】解:()因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为则函数的定义域为()实际问题归结为求函数v(x)在区间上的最大值点先求v(x)的极值点在开区间内,令v(x)=0,即令,解得(舍去)因为在区间内,x1可能是极值点当0xx1时,v(x)0;当时,v(x)0因此x1是极大值点,且在区间内,x1是唯一的极值点,所以是v(x)的最大值点,并且最大值 即当正三棱柱形容器高为时,容器的容积最大为【点评】本题考查函数模型的构建,考查导数知识的运用,解题的关键是求出体积,利用导数知识求解单峰函数,极值就是最值18如图,在三棱柱abca1b1c1中,aa1底面abc,且abc为正三角形,aa1=ab=6,d为ac的中点(1)求证:直线ab1平面bc1d;(2)求证:平面bc1d平面acc1a;(3)求三棱锥cbc1d的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定【专题】综合题;空间位置关系与距离【分析】(1)连接b1c交bc1于点o,连接od,则点o为b1c的中点可得do为ab1c中位线,a1bod,结合线面平行的判定定理,得a1b平面bc1d;(2)由aa1底面abc,得aa1bd正三角形abc中,中线bdac,结合线面垂直的判定定理,得bd平面acc1a1,最后由面面垂直的判定定理,证出平面bc1d平面acc1a;(3)利用等体积转换,即可求三棱锥cbc1d的体积【解答】(1)证明:连接b1c交bc1于点o,连接od,则点o为b1c的中点d为ac中点,得do为ab1c中位线,a1bodod平面ab1c,a1b平面bc1d,直线ab1平面bc1d;(2)证明:aa1底面abc,aa1bd,底面abc正三角形,d是ac的中点bdacaa1ac=a,bd平面acc1a1,bd平面bc1d,平面bc1d平面acc1a;(3)解:由(2)知,abc中,bdac,bd=bcsin60=3,sbcd=,vcbc1d=vc1bcd=6=9【点评】本题给出直三棱柱,求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积,着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了锥体体积公式的应用,属于中档题19设函数的图象在点(x,f(x)处的切线的斜率为k(x),且函数为偶函数若函数k(x)满足下列条件:k(1)=0;对一切实数x,不等式恒成立()求函数k(x)的表达式;()求证:(nn*)【考点】综合法与分析法(选修);函数奇偶性的性质;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】证明题【分析】()由已知得:k(x)=f(x),根据g(x)的奇偶性求出b,根据k(1)=0,求出,再由对一切实数x恒成立,解得a、c的值,即得函数k(x)的表达式()根据,即证,把代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立【解答】解:()由已知得:k(x)=f(x)=ax2+bx+c由为偶函数,得为偶函数,显然有又k(1)=0,所以ab+c=0,即又因为对一切实数x恒成立,即对一切实数x,不等式恒成立显然,当时,不符合题意当时,应满足,注意到,解得 所以 ()证明:因为,所以要证不等式成立,即证因为,所以=所以成立【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用,函数的恒成立问题,利用导数研究曲线在某点的切线斜率,以及用裂项法对数列进行求和,属于难题20设等比数列an的前n项和为sn,且()求k的值及数列an的通项公式;()在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列,求数列的前n项和tn,并求使成立的正整数n的最大值【考点】数列的求和;数列递推式【专题】方程思想;转化思想;分类法;等差数列与等

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