山东省青岛市胶州市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）a3b4c6d82若直线ax+y1=0与直线4x+（a3）y2=0垂直，则实数a的值（）a1b4cd3直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）a相切b相交但直线不过圆心c直线过圆心d相离4命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）a0b1c2d45某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）ab1cd6已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）ay=2xby=xcy=xdy=x7若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）a若m，则mb若=m，=n，则c若m，m，则d若，则8圆心在曲线y=（x0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（）a2=5b2=5c2=25d2=259如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是线段ab，cc1的中点，mb1p的顶点p在棱cc1与棱c1d1上运动，有以下四个命题：平面mb1pnd1平面mb1p平面nd1a1mb1p在底面abcd上的射影图形的面积为定值；mb1p在侧面dd1c1c上的射影图形是三角形其中正确的命题序号是（）abcd10已知椭圆（ab0）上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，若afbf，设abf=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）abcd二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知：椭圆的离心率，则实数k的值为12已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是13“a1或b2”是“a+b3”成立的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）14一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，3，则这个球的表面积为15椭圆+=1的左、右焦点分别为f1，f2，弦ab过点f1，若abf2的内切圆周长为，a，b两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1y2|=三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：x0r，x02+2mx0+2m=0（）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（）求使“pq”为假命题的实数m的取值范围17已知坐标平面上一点m（x，y）与两个定点m1（26，1），m2（2，1），且=5（）求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（）记（）中的轨迹为c，过点m（2，3）的直线l被c所截得的线段的长为8，求直线l的方程18已知p（x，y）为平面上的动点且x0，若p到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1（） 求点p的轨迹c的方程；（） 设过点m（m，0）的直线交曲线c于a、b两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段ab为直径的圆恒过原点19如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为平行四边形，adb=90，ab=2ad（）求证：平面pad平面pbd；（）若pd=ad=1， =2，求二面角pade的余弦值20已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别是点f1，f2，其离心率e=，点p为椭圆上的一个动点，pf1f2面积的最大值为4（）求椭圆的方程；（）若a，b，c，d是椭圆上不重合的四个点，ac与bd相交于点f1， =0，求|+|的取值范围21已知椭圆c的两个焦点的坐标分别为e（1，0），f（1，0），并且经过点（，），m、n为椭圆c上关于x轴对称的不同两点（1）求椭圆c的标准方程；（2）若，试求点m的坐标；（3）若a（x1，0），b（x2，0）为x轴上两点，且x1x2=2，试判断直线ma，nb的交点p是否在椭圆c上，并证明你的结论2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）a3b4c6d8【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的性质求解【解答】解：椭圆的方程为+=1，a=4，b=3，此椭圆的长轴长为2a=8故选：d【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用2若直线ax+y1=0与直线4x+（a3）y2=0垂直，则实数a的值（）a1b4cd【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题；分类讨论；转化思想；直线与圆【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：当a=3时，两条直线分别化为：3x+y1=0，2x1=0，此时两条直线不垂直，舍去当a3时，由于两条直线相互垂直，a=1，解得a=综上可得：a=故选；c【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）a相切b相交但直线不过圆心c直线过圆心d相离【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d=r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心故选b【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题4命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）a0b1c2d4【考点】四种命题的真假关系；四种命题【专题】常规题型【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选c【点评】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）ab1cd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱pa底面abc，pa=1，ac=2，点b到ac的距离为1；底面abc的面积为s1=21=1，侧面pab的面积为s2=1=，侧面pac的面积为s3=21=1，在侧面pbc中，bc=，pb=，pc=，pbc是rt，pbc的面积为s4=；三棱锥pabc的所有面中，面积最大的是pbc，为故选：a【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目6已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）ay=2xby=xcy=xdy=x【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到【解答】解：由双曲线的离心率为，则e=，即c=a，b=a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x故选d【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题7若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）a若m，则mb若=m，=n，则c若m，m，则d若，则【考点】命题的真假判断与应用【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案【解答】解：若m，则m与的夹角不确定，故a错误；若=m，=n，则与可能平行与可能相交，故b错误；若m，则存在直线n，使mn，又由m，可得n，故，故c正确；若，则与的夹角不确定，故d错误，故选：d【点评】本题以命题地真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系的判定，熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答的关键8圆心在曲线y=（x0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（）a2=5b2=5c2=25d2=25【考点】圆的标准方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项【解答】解：设圆心为（a，）（a0），则r=，当且仅当a=1时等号成立当r最小时，圆的面积s=r2最小，此时圆的方程为2=5；故选a【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力9如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是线段ab，cc1的中点，mb1p的顶点p在棱cc1与棱c1d1上运动，有以下四个命题：平面mb1pnd1平面mb1p平面nd1a1mb1p在底面abcd上的射影图形的面积为定值；mb1p在侧面dd1c1c上的射影图形是三角形其中正确的命题序号是（）abcd【考点】棱柱的结构特征【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何【分析】由正方体的几何性质对四个命题时行判断，戡别正误，平面mb1pnd1；可用极限位置判断，平面mb1p平面nd1a1；可以证明mb1平面nd1a1；mb1p在底面abcd上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是mb，再由点p在底面上的投影到mb的距离不变即可证得；mb1p在侧面d1c1cd上的射影图形是三角形，由图形判断即可【解答】解：在中，平面mb1pnd1；可用极限位置判断，当p与n重合时，mb1pnd1垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；在中，平面mb1p平面nd1a1；可以证明mb1平面nd1a1，由图形知mb1与nd1和d1a1都垂直，故可证得mb1平面nd1a1，进而可得平面mb1p平面nd1a1，故是正确命题；在中，mb1p在底面abcd上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是mb，再由点p在底面上的投影在dc上，故其到mb的距离不变即可证得，故命题正确；在中，mb1p在侧面d1c1cd上的射影图形是三角形，由于p与c1重合时，p、b1两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误综上正确故选：c【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养10已知椭圆（ab0）上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，若afbf，设abf=，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）abcd【考点】椭圆的简单性质【专题】三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：ab=nf，再根据椭圆的定义：|af|+|an|=2a，由离心率公式e=由的范围，进一步求出结论【解答】解：已知椭圆（ab0）上一点a关于原点的对称点为点b，f为其右焦点，设左焦点为：n则：连接af，an，af，bf所以：四边形afnb为长方形根据椭圆的定义：|af|+|an|=2aabf=，则：anf=所以：2a=2ccos+2csin利用e=所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为故选：a【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知：椭圆的离心率，则实数k的值为或3【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】当k5时，由 e=求得k值，当0k5时，由 e=，求得k值【解答】解：当k5时，e=，k=当0k5时，e=，k=3综上，k=或3故答案为：或3【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，易漏讨论焦点在y轴上的情形12已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是11【考点】简单线性规划【专题】数形结合；转化思想；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=3x+4y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点a时，直线y=x+的截距最大，此时u最大，由，解得，即a（1，2），此时u=3+24=11，故答案为：11【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用u的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键13“a1或b2”是“a+b3”成立的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】阅读型【分析】根据互为逆否命题的真假一致，将判断“a1或b2”是“a+b3”成立的什么条件转换为判断a+b=3是a=1且b=2成立的什么条件【解答】解：由题意得命题若a1或b2则a+b3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题因为当a=3，b=0有a+b=3所以“命题若a+b=3则a=1且b=2”显然是假命题所以命题若a1或b2则a+b3是假命题所以a1或b2推不出a+b3“若a=1且b=2则a+b=3”是真命题命题若a+b3则1或b2是真命题a+b3a1或b2“a1或b2”是“a+b3”的必要不充分条件故答案为必要不充分【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）14一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，3，则这个球的表面积为16【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径： =4，所以外接球的半径为：2所以这个球的表面积：422=16故答案为：16【点评】本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力15椭圆+=1的左、右焦点分别为f1，f2，弦ab过点f1，若abf2的内切圆周长为，a，b两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1y2|=【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意作图辅助，易知abf2的内切圆的半径长r=，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可【解答】解：由题意作图如下，abf2的内切圆周长为，abf2的内切圆的半径长r=，又abf2的周长l=4a=16，故sabf2=16=4，且sabf2=|f1f2|y1y2|=3|y1y2|，故|y1y2|=，故答案为：【点评】本题考查了数形结合的思想应用及等面积法的应用属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：x0r，x02+2mx0+2m=0（）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（）求使“pq”为假命题的实数m的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑【分析】（）命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（12m）（m+2）0时的解集即可；（）命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2m=0有解，0，求出解集即可；（）“pq”为假命题时，p、q都是假命题，求出m的取值范围即可【解答】解：（）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，（12m）（m+2）0，解得m2，或m，实数m的取值范围是m|m2，或m； （4分）（）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2m=0有解，=4m24（2m）0，解得m2，或1；实数m的取值范围是|m2，或1；（6分）（）当“pq”为假命题时，p，q都是假命题，解得2m；m的取值范围为（2， （12分）【点评】本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目17已知坐标平面上一点m（x，y）与两个定点m1（26，1），m2（2，1），且=5（）求点m的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（）记（）中的轨迹为c，过点m（2，3）的直线l被c所截得的线段的长为8，求直线l的方程【考点】轨迹方程【专题】综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）直接利用距离的比，列出方程即可求点m的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程【解答】解：（）由题意，得=5.，化简，得x2+y22x2y23=0（3分）即2=25点m的轨迹方程是2=25，轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆（6分）（）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，此时所截得的线段的长为2=8，l：x=2符合题意（8分）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3=k（x+2），即kxy+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=直线l的方程为xy+=0，即5x12y+46=0综上，直线l的方程为x=2，或5x12y+46=0（12分）【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力18已知p（x，y）为平面上的动点且x0，若p到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1（） 求点p的轨迹c的方程；（） 设过点m（m，0）的直线交曲线c于a、b两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段ab为直径的圆恒过原点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由题意得：，化简得：y2=4x（x0）求得p的轨迹方程（）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线ab方程为y=k（xm），a（x1，y1），b（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解当斜率不存在时，m=0或m=4成立【解答】解：（）由题意得：，化简得：y2=4x（x0）点p的轨迹方程为y2=4x（x0）（）当斜率存在时，设直线ab方程为y=k（xm），a（x1，y1），b（x2，y2），由，得ky24y4km=0，以线段ab为直径的圆恒过原点，oaob，x1x2+y1y2=0即m24m=0m=0或m=4当斜率不存在时，m=0或m=4存在m=0或m=4，使得以线段ab为直径的圆恒过原点【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及19如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为平行四边形，adb=90，ab=2ad（）求证：平面pad平面pbd；（）若pd=ad=1， =2，求二面角pade的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明平面pbd平面pad；（）以d为原点，da所在直线为x轴，db所在直线为y轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角【解答】（）证明：pd底面abcd，bd底面abcd，pdbd（2分）adb=90，adbd（3分）adpd=dbd平面pad（5分）bd平面pbd，平面pad平面pbd（7分）（）解：以d为原点，da所在直线为x轴，db所在直线为y轴建立直角坐标系d（0，0，0），p（0，0，1），a（1，0，0），b（0，0），设p（0，x，y），（9分）bd平面pad，平面pad的一个法向量（10分）设平面ade的一个法向量，解得（13分）设为所求的角，cos=（15分）【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用向量法进行求解是解决空间二面角的常用方法20已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别是点f1，f2，其离心率e=，点p为椭圆上的一个动点，pf1f2面积的最大值为4（）求椭圆的方程；（）若a，b，c，d是椭圆上不重合的四个点，ac与bd相交于点f1， =0，求|+|的取值范围【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）容易知道当p点为椭圆的上下顶点时，pf1f2面积最大，再根据 椭圆的离心率为可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；（）先容易求出ac，bd中有一条直线不存在斜率时|+|=14，当直线ac存在斜率k且不为0时，写出直线ac的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k2）x2+16k2x+16k248=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到所以用k表示出，这时候设k2+1=t，t1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围【解答】解：（）由题意知，当p是椭圆的上下顶点时pf1f2的面积取最大值；即；由离心率为得：；联立解得a=4，c=2，b2=12；椭圆的方程为；（）由（