山东省青岛市胶州市高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年山东省青岛市胶州市高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1（5分）（2015春胶州市期中）甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有（） a 6种 b 12种 c 30种 d 36种考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 计算题；排列组合分析： 直接利用乘法原理，可得结论解答： 解：甲、乙两人从4门课程中各选修1门，由乘法原理，可得甲、乙所选的课程不相同的选法有43=12种故选：b点评： 本题考查排列组合知识，正确分步是解题的关键2（5分）（2005广东）函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（） a （2，+） b （，2） c （，0） d （0，2）考点： 利用导数研究函数的单调性专题： 计算题分析： 求出f（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间解答： 解：由f（x）=3x26x0，得0x2函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（0，2）故答案为d点评： 考查学生利用导数研究函数的单调性的能力3（5分）（2013秋黄州区校级期末）已知函数f（x）=（x3）ex，则f（0）=（） a 2 b 2 c 3 d 4考点： 导数的运算专题： 导数的综合应用分析： 根据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f（0）的值解答： 解：f（x）=（x3）ex，f（x）=ex+（x3）ex=（x2）ex，f（0）=（02）e0=2，故选：b点评： 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础4（5分）（2014春城关区校级期末）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（） a b c d 考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有c943，得到至少有1件次品的不同取法用所有减去不合题意的解答： 解：在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，共有c1003种结果，至少有1件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有c943，至少有1件次品的不同取法有c1003c943，故选：b点评： 本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时可以从正面来考虑，至少有一件次品包括有一件次品，有两件次品，有三件次品，分别写出结果再相加5（5分）（2014金州区校级模拟）设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a3）x的导函数为f（x），且f（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为（） a 9xy16=0 b 9x+y16=0 c 6xy12=0 d 6x+y12=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的概念及应用分析： 先由求导公式求出f（x），根据偶函数的性质，可得f（x）=f（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程解答： 解：f（x）=3x2+2ax+（a3），f（x）是偶函数，3（x）2+2a（x）+（a3）=3x2+2ax+（a3），解得a=0，f（x）=x33x，f（x）=3x23，则f（2）=2，k=f（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，切线方程为y2=9（x2），即9xy16=0故选：a点评： 本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，同时考查了运算求解的能力，属于中档题6（5分）（2013秋临淄区校级期末）下列函数中x=0是极值点的函数是（） a f（x）=x3 b f（x）=cosx c f（x）=sinxx d f（x）=考点： 函数在某点取得极值的条件专题： 导数的概念及应用分析： 结合极值的定义，分别判断各个函数是否满足（，0）与（0，+）有单调性的改变，若满足则正确，否则结论不正确解答： 解：a、y=3x20恒成立，所以函数在r上递减，无极值点b、y=sinx，当x0时函数单调递增；当0x时函数单调递减且y|x=0=0，故b符合c、y=cosx10恒成立，所以函数在r上递减，无极值点d、y=在（，0）与（0，+）上递减，无极值点故选b点评： 本题主要考查了极值的定义，函数在x0处取得极值f（x0）=0且在的x0两侧发生单调性的改变7（5分）（2013春内江期末）如图为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，f（x）为函数f（x）的导函数，则不等式xf（x）0的解集为（） a （，） b （0，） c （，+） d （，）（0，）考点： 导数的运算；函数的图象专题： 数形结合法分析： 先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式xf（x）0的解集解答： 解：由图可知：是函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a0即是导函数f（x）的两个零点，导函数的图象如图，当x时，f（x）0，则x0，故是解集的一部分；同理也是解集的一部分故选d点评： 本小题主要考查函数的图象、一元二次不等式的解法、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8（5分）（2011福建）若a0，b0，且函数f（x）=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（） a 2 b 3 c 6 d 9考点： 函数在某点取得极值的条件；基本不等式专题： 计算题分析： 求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解答： 解：f（x）=12x22ax2b，又因为在x=1处有极值，a+b=6，a0，b0，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9故选：d点评： 本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等9（5分）（2013西城区一模）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事a，b，c，d四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二人均不能从事a工作，则不同的工作分配方案共有（） a 60种 b 72种 c 84种 d 96种考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 概率与统计分析： 根据题意中“甲、乙只能从事后三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，分两种情况讨论：甲、乙中只有1人被选中，、甲、乙两人都被选中，由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目，进而由分类计数原理，即可得答案解答： 解：根据题意，分两种情况讨论：、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有c21c31a33=36种选派方案、甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有c32a22c32a22=36种选派方案，综上可得，共有36+36=72中不同的选派方案，故选b点评： 本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作”这一条件，进行分类讨论，属于中档题10（5分）（2015郴州模拟）定义在r上的函数f（x）满足：f（x）+f（x）1，f（0）=4，则不等式exf（x）ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（） a （0，+） b （，0）（3，+） c （，0）（0，+） d （3，+）考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算专题： 导数的综合应用分析： 构造函数g（x）=exf（x）ex，（xr），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答： 解：设g（x）=exf（x）ex，（xr），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0=41=3，g（x）g（0），x0故选：a点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题（共5小题，每小题5，满分25分）11（5分）（2013广宁县校级模拟）函数的导数为考点： 导数的运算分析： 根据导数的运算法则可得答案解答： 解：y=故答案为：点评： 本题主要考查导数的运算法则属基础题求导公式一定要熟练掌握12（5分）（2015春胶州市期中）若（2x+k）dx=2，则k的值为1考点： 定积分专题： 导数的概念及应用分析： 根据积分公式直接计算即可得到结论解答： 解：（2x+k）dx=（x2+kx）|=1+k=2，解得k=1，故答案为：1点评： 本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础13（5分）（2013宣武区校级模拟）6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为576种考点： 排列、组合及简单计数问题专题： 计算题；概率与统计分析： 6人站成一排，总的排法种数为，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为，由此能求出6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数解答： 解：6人站成一排，总的排法种数为，6人站成一排，甲、乙、丙3个人都站在一起的排法种数为，6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为：=576故答案为：576点评： 本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法14（5分）（2011钟祥市校级模拟）已知函数f（x）的导数f（x）=a（x+1）（xa），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（1，0）考点： 利用导数研究函数的极值专题： 压轴题分析： 根据题意，由f（x）在x=a处取到极大值，分析可得有xa时，f（x）0，xa时，f（x）0，分3种情况讨论xa时与xa时的f（x）的符号，综合可得答案解答： 解：f（x）=a（x+1）（xa）且f（x）在x=a处取到极大值，则必有xa时，f（x）=a（x+1）（xa）0，且xa时，f（x）=a（x+1）（xa）0，当a0时，不成立，当1a0时，有xa时，f（x）0，xa时，f（x）0，符合题意；当a1时，有xa时，f（x）0，xa时，f（x）0，f（x）在x=a处取到极小值，综合可得：1a0，故答案为（1，0）点评： 掌握函数的极值与导数的关系15（5分）（2011秋南京期末）设函数f（x）在其定义域d上的导函数为f（x）如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的xd都有h（x）0，使得f（x）=h（x）（x2ax+1），则称函数f（x）具有性质p（a）给出下列四个函数：f（x）=x3x2+x+1；f（x）=lnx+；f（x）=（x24x+5）ex；f（x）=，其中具有性质p（2）的函数是（写出所有满足条件的函数的序号）考点： 命题的真假判断与应用专题： 导数的综合应用分析： 因为a=2，所以先求出函数f（x）的导函数f（x），然后将其配凑成f（x）=h（x）（x22x+1）这种形式，分别求出h（x），然后确定h（x）是否满足对任意的xd都有h（x）0解答： 解：f（x）=x22x+1，若f（x）=h（x）（x22x+1），即x22x+1=h（x）（x22x+1）， 所以h（x）=10，满足条件，所以具有性质p（2）函数f（x）=lnx+的定义域为（0，+），所以，当x（0，+）时，h（x）0，所以具有性质p（2）f（x）=（2x4）ex+（x24x+5）ex=（x22x+1）ex，所以h（x）=ex，因为h（x）0，所以具有性质p（2），若，则，因为h（1）=0，所以不满足对任意的xd都有h（x）0，所以不具有性质p（2）故答案为：点评： 本题的考点是导数的运算以及通过条件求h（x），本题的关键是通过关系式确定函数h（x）的表达式，然后判断条件是否成立运算量较大三、解答题（共6小题，满分75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）16（12分）（2015春胶州市期中）设函数f（x）=2x3+ax2+bx+1的图象在（1，f（1）处的切线方程为12x+y2=0（1）求实数a、b的值；（2）求函数f（x）的极值考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综合应用分析： （）求出导函数，然后利用切线方程，得到方程组，即可求解a，b（）求出极值点，通过列表判断函数的导函数符号，判断函数的单调性，然后求解极值解答： （本题满分12分）解：（）f（x）=6x2+2ax+b（1分）因为f（x）在（1，f（1）处的切线方程为12x+y2=0所以f（1）=12，f（1）=14（2分）所以（4分）即：所以（6分）（）由（）f（x）=2x3+3x212x+1，所以f（x）=6x2+6x12令f（x）=6x2+6x12=0，解得：x1=2，x2=1（8分）x （，2） 2 （2，1） 1 （1，+）f（x） + 0 1 0 +f（x） 21 6 （10分）所以函数f（x）在x=2处取得极大值f（2）=21，在x=1处取得极小值f（1）=6（12分）点评： 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力17（12分）（2011安徽模拟）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在r上有三个零点，且1是其中一个零点（1）求b的值；（2）求a的取值范围考点： 函数的单调性与导数的关系专题： 计算题分析： （1）根据函数的单调性判断出x=0是函数的一个极值点，求出函数的导函数，令f（0）=0，求出b的值（2）将b的值代入f（x），将x=1代入f（x）的解析式令其值为0，得到a，c的关系，求出导函数，令导函数为0，得到函数的两个极值点，据函数的三个根，令求出a的范围解答： 解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+cf（x）=3x2+2ax+b因为f（x）在（，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，所以当x=0时，f（x）取到极小值，即f（0）=0b=0（2）由（1）知，f（x）=x3+ax2+c1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，c=1af（x）=3x2+2ax=0的两个根分别为又f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在r上有三个零点，即点评： 函数在极值点处的导数值为0，导函数大于0对应函数的单调递增区间；导函数小于0对应函数的单调递减区间18（12分）（2015春胶州市期中）已知（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112（1）求m，n的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）求的展开式中含x2项的系数考点： 二项式定理的应用；二项式系数的性质专题： 计算题分析： （1）由题意可得 2n=256，由此解得n=8再根据含x项的系数为 ，求得m的值（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，再根据 二项式系数的性质求得结果（3），可得含x2的系数为，运算求得结果解答： 解：（1）由题意可得 2n=256，解得n=8（3分）含x项的系数为 ，（5分）解得m=2，或m=2（舍去） 故m，n的值分别为2，8（6分）（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 （9分）（3），（11分）所以含x2的系数为（15分）点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题19（12分）（2014商丘三模）已知函数f（x）=lnxax22x（a0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=且关于x的方程f（x）=x+b在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围考点： 函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值专题： 计算题分析： （1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x0上恒成立即可（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题解答： 解：（1）f（x）=（x0）依题意f（x）0 在x0时恒成立，即ax2+2x10在x0恒成立则a=在x0恒成立，即a1min x0当x=1时，1取最小值1a的取值范围是（，1（2）a=，f（x）=x+b设g（x）=则g（x）=列表：x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4）g（x） + 0 0 +g（x） 极大值 极小值 g（x）极小值=g（2）=ln2b2，g（x）极大值=g（1）=b，又g（4）=2ln2b2方程g（x）=0在1，4上恰有两个不相等的实数根则 ，得ln22b点评： 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减20（13分）（2015春胶州市期中）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a0（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x21，e（e为自然对数的底数）都有f（x1）g（x2）成立，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的概念及应用分析： （1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a0，可得，再检验即可； （2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max结合当x1，e时及可知g（x）max=g（e）=e+1利用，且x1，e，a0，分0a1、1ae、ae三种情况讨论即可解答： 解：（1），g（x）=x+lnx，其定义域为（0，+）， x=1是函数h（x）的极值点，h（1）=0，即3a2=0a0， 经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，；（2）对任意的x1，x21，e都有f（x1）g（x2）成立等价于对任意的x1，x21，e都有f（x）ming（x）max当x1，e时，函数g（x）=x+lnx在1，e上是增函数g（x）max=g（e）=e+1，且x1，e，a0当0a1且x1，e时，函数在1，e上是增函数，由1+a2e+1，得a，又0a1，a不合题意；当1ae时，若1xa，则，若axe，则函数在1，a）上是减函数，在（a，e上是增函数f（x）min=f（a）=2a由2ae+1，得a，又1ae，ae；当ae且x1，e时，函数在1，e上是减函数由e+1，得a，又ae，ae；综上所述：a的取值范围为点评： 本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等