高考数学 321精品系列专题11 概率与统计 理 （教师版）.doc

用心 爱心 专心 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 1111 概率与统计概率与统计 理理 教师版 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 3 变量的相关性 会作两个有关联变量的数据的散点图 会利用散点图认识变量间 的相关关系 了解最小二乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回 归方程 概率 1 事件与概率 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 了解概率的意义 了解频率与概率的区别 了解两个互斥事件的概率加法公式 2 古典概型 理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率 3 随机数与几何概型 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 了 解几何概型的意义 概率与统计 1 概率 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻 画随机现象的重要性 理解超几何分布及其导出过程 并能进行简单的应用 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布 并 能解决一些简单的实际问题 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 利用实际问题的直 方图 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 用心 爱心 专心 2 统计案例 了解下列一些常见的统计方法 并能应用这些方法解决一些实际问 题 1 独立性检验 了解独立性检验 只要求 2 2 列联表 的基本思想 方法及其简 单应用 2 回归分析 了解回归的基本思想 方法及其简单应用 概率与统计问题是每年高考必考内容 理科考查等可能事件的概率计算公式 互斥事件 的概率加法公式 对立事件的概率减法公式 相互独立事件的概率乘法公式 事件在 n 次独 立重复试验种恰好发生 k 次的概率计算公式 离散型随机变量分布列和数学期望 方差等 基本公式的应用 试题多为课本例题 习题拓展加工的基础题或中档题 只要我们理解和掌 握五个概率公式及其应用 夯实基础 借助排列组合知识和化归转化思想方法 就能顺利解答 高考概率与统计试题 最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的 12 且本部分题 多为中低档题 从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 考点一 随机事件的概率随机事件的概率 例 1 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站 包括起点站和终点站 在起点站开出的一 辆公共汽车上有 6 位乘客 假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的 求 i 这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率 ii 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下 车的概率 解 i 这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为 6 10 66 1512 1512 1010 a p ii 这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 33 6 66 91458 0 01458 1010 c p 名师点睛名师点睛 等可能性事件的概率 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基 本事件 通常此试验中的某一事件 a 由几个基本事件组成 如果一次试验中可能出现的结果 有 n 个 即此试验由 n 个基本事件组成 而且所有结果出现的可能性都相等 那么每一基本事 件的概率都是 n 1 如果某个事件 a 包含的结果有 m 个 那么事件 a 的概率 p a n m 使用公 式 p a n m 计算时 确定 m n 的数值是关键所在 其计算方法灵活多变 没有固定的模式 用心 爱心 专心 可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理 必须做到不重复不遗漏 求解等 可能性事件 a 的概率一般遵循如下步骤 1 先确定一次试验是什么 此时一次试验的可 能性结果有多少 即求出 a 2 再确定所研究的事件 a 是什么 事件 a 包括结果有多少 即 求出 m 3 应用等可能性事件概率公式 p n m 计算 例 2 设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 若 a 是从区间 0 3 任取的一个数 b 是从 区间 0 2 任取的一个数 求上述方程有实根的概率 名师点睛名师点睛 判断是否是几何概型 关键要判断试验的结果是不是无限个 每个试验的结判断是否是几何概型 关键要判断试验的结果是不是无限个 每个试验的结 果是不是等可能的 果是不是等可能的 考点二考点二互斥事件有一个发生的概率互斥事件有一个发生的概率 例 3 例 3 某市有 a b 两所示范高中响应政府号召 对该市甲 乙两个教育落后地区开 展支教活动 经上级研究决定 向甲地派出 3 名 a 校教师和 2 名 b 校教师 向乙地派出 3 名 a 校教师和 3 名 b 校教师 由于客观原因 需从拟派往甲 乙两地的教师中各自任选一 名互换支教地区 求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率 求互换后 a 校教师派往甲地区人数不少于 3 名的概率 解 记 互换后派往两地区的两校的教师人数不变 为事 件 e 有以下两种情况 互换的是 a 校的教师 记此事件为 1 e 则 11 33 1 11 56 3 10 cc p e cc 互换的是 b 校的教师 记此事件为 2 e 则 11 32 2 11 56 1 5 cc p e cc 则互换后派往两地区的 两校的教师人数不变的概率为 12 311 1052 p ep ep e 令 甲地区 a 校教师人数不少于 3 名 为事件 f 包括两个事件 甲地区 a 校教师人 数有3 名 设为事件 1 f 甲地区 a 校教师人数有4 名 设为事件 2 f 且事件 1 f 2 f互 斥 则 1111 3332 1 1111 5656 1 2 cccc p f cccc 11 32 2 11 56 1 5 cc p f cc 甲地区 a 校教师人数不少于 3 名的概率为 12 117 2510 p fp fp f 名师点睛名师点睛 事件 a b 的和记作 a b 表示事件 a b 至少有一个发生 当 a b 为互斥事 件时 事件 a b 是由 a 发生而 b 不发生 以及 b 发生而 a 不发生 构成的 因此当 a 和 b 互斥时 事件 a b 的概率满足加法公式 p a b p a p b a b 互斥 且 有 p a a p a p a 1 当计算事件 a 的概率 p a 比较困难时 有时计算它的对立事件a的概率则要容易些 为 用心 爱心 专心 此有 p a 1 p a 对于 n 个互斥事件 a1 a2 an 其加法公式为 p a1 a2 an p a1 p a2 p an 概率加法公式仅适用于互斥事件 即当 a b 互斥时 p a b p a p b 否则公式不能使用 如果某事件 a 发生包含的情况 较多 而它的对立事件 即 a 不发生 所包含的情形较少 利用公式 p a 1 p a 计算 a 的概率则比较方便 这不仅体现逆向思维 同时对培养思维的灵活性是非常有益的 求某些稍复杂的事件的概率时 通常有两种方法 一是将所求事件的概率化成一些彼此互 斥的事件的概率的和 二是先去求此事件的对立事件的概率 考点三 考点三 相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率 例 4 例 4 一射击测试每人射击三次 每击中目标一次记 10 分 没有击中记分 0 分 每 次击中目标的概率 2 3 乙每击中目标一次记 20 分 没有击中记 0 分 每次击中目标的概率 为 1 3 i 求此人得 20 分的概率 ii 求甲乙两人得分相同的概率 名师点睛名师点睛 事件 a 与 b 的积记作 a b a b 表示这样一个事件 即 a 与 b 同时发生 当 a 和 b 是相互独立事件时 事件 a b 满足乘法公式 p a b p a p b 还要弄清 a b ba 的区别 a b表示事件a与b同时发生 因此它们的对立事件 a 与 b 同时 不发生 也等价于 a 与 b 至少有一个发生的对立事件即ba 因此有a b ba 但 a b ba 应用公式时 要注意前提条件 只有对于相互独立事件 a 与 b 来说 才能 运用公式 p a b p a p b 在学习过程中 要善于将较复杂的事件分解为互斥 事件的和及独立事件的积 或其对立事件 首先要搞清事件间的关系 是否彼此互斥 是否 互相独立 是否对立 当且仅当事件 a 和事件 b 互相独立时 才有 p a b p a p b a b 中至少有一个发生 a b 1 若 a b 互斥 p a b p a p b 否则不成立 2 若 a b 相互独立 不互斥 法一 p a b p a b p a b p a b 法二 p a b 1 p a b 法三 p a b p a p b p ab 某些事件若含有较多的互斥事件 可考虑其对立事件的概率 这样可减 少运算量 提高正确率 要注意 至多 至少 等题型的转化 n 次独立重复试验中某事件 发生 k 次的概率 pn k c k npk 1 p n k正好是二项式 1 p p n的展开式的第 k 1 项 考点四 考点四 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 例 5 在一个选拔项目中 每个选手都需要进行 4 轮考核 每轮设有一个问题 能正确回 答者进入下一轮考核 否则被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三 四轮问题的概 率分别为 5 6 4 5 3 4 1 3 且各轮问题能否正确回答互不影响 求该选手进入第三 用心 爱心 专心 轮才被淘汰的概率 求该选手至多进入第三轮考核的概率 该选手在选拔过 程中回答过的问题的个数记为x 求随机变量x的分布列和期望 名师点睛名师点睛 1 随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示 那么这样的变 量叫做随机变量 它常用希腊字母 等表示 1 离散型随机变量 如果对于随机变量 可能取的值 可以按一定次序一一列出 那么这样的随机变量叫做离散型随机变量 2 若 是随机变量 a b 其中 a b 是常数 则 也是随机变量 2 离散型随机变量的分布列 1 概率分布 分布列 设离散型随机变量 可能取的值为 x1 x2 xi 取每一个值 xi i 1 2 的概率 p xi pi 则称表 x1x2 xi pp1p2 pi 为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 2 二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p 那么在 n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生 k 次的概率是 p k c k npkqn k 其中 k 0 1 n q 1 p 于是得到随机变量 的概率分布如下 01 k n p c 0 np0qn c1 np1qn 1 c k npkqn k c n npnq0 我们称这样的随机变量 服从二项分布 记作 b n p 其中 n p 为参数 并 记 c k npkqn k b k n p 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内 各个值的概率和 求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题 一是求出 的所有取 值 二是求出 取每一个值时的概率 求一些离散型随机变量的分布列 在某种程度上就 是正确地求出相应的事件个数 即相应的排列组合数 所以学好排列组合是学好分布列的 基础与前提 考点五 考点五 离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望与方差 例 6 2011 年 3 月 11 日日本发生 9 0 级地震后 某国派遣了由 9 名医护人员和 27 名搜救 人员组成的救援队到日本救援 谁知日本福岛核电站连续爆炸 使该救援队 2 3 的医护人员 用心 爱心 专心 24131452 185 190 180 185 175 180 170 175 165 170 160 165 分分 分分 分cm分 分分 分cm分 分分 150 155 165 170 170 175 175 180 155 160 160 165 1712631 和 1 3 的搜救人员遭轻微核辐射 在该救援队中随机抽查 3 名救援队员 求恰有 1 名遭 轻微核辐射的医护人员且至多 1 名遭轻微核辐射的搜救人员的概率 在该救援队中 随机抽查 3 名医护人员 设其中遭轻微核辐射的人数为随机变量 求 的分布列及数学 期望e 解 i 设 所抽查的 3 人中 恰有 1 名遭轻微核辐射的医护人员 至多 1 名遭轻微核辐 射的搜救人员 为事件a 所抽查的 3 人中 恰有 1 名遭轻微核辐射的医护人员 0 名遭 轻微核辐射的搜救人员 为事件 1 b 所抽查的 3 人中 恰有 1 名遭轻微核辐射的医护人 员 1 名遭轻微核辐射的搜救人员 1 名正常的救援队员 为事件 2 b 则 12 p ap bp b 12111 6216921 33 3636 c cc c c cc 4 分 21018957 11901190170 在该救援队中随机抽查 3 名救援队员 恰有 1 名遭轻微核辐射的医护人员且至多 1 名 遭轻微核辐射的搜救人员的概率是 57 170 的可能取值为 0 1 2 3 3 3 3 9 1 0 84 c p c 12 63 3 9 3 1 14 c c p c 21 63 3 9 15 2 28 c c p c 3 6 3 9 5 3 21 c p c 每个 1 分 的分布列为 0123 p 1 84 3 14 15 28 5 21 13155 01232 84142821 e 名师点睛名师点睛 1 期望 若离散型随机变量 当 xi的概率为 p xi pi i 1 2 n 则称 e xi pi为 的数学期望 反映了 的平均值 2 方差 称 d xi e 2pi为随机变量 的均方差 简称方差 d叫标准差 反映了 的离散程度 3 性质 1 e a b ae b d a b a2d a b 为常数 2 若 b n p 则 e np d npq q 1 p 对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题 首先应仔细地分析题意 当概率分布 不是一些熟知的类型时 应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件 并准确判断各事 件的 相互关系 从而求出各随机变量相应的概率 考点六 考点六 抽样方法 总体分布的估计抽样方法 总体分布的估计 例 7 为了解高中一年级学生身高情况 某校按 10 的比例对全校 700 名高中一年级学生 按性别进行抽样检查 测得身高频数分布表如下表 1 表 2 表 1 男生身高频数分布表 表 2 女生身高频数分布表 用心 爱心 专心 分分分 分分分分 分分分分 0185180175170165160190 0 03 0 02 0 01 分分 分分 分分 cm 0 06 0 07 0 05 0 04 6 5 4 5 6 3 4 5 6 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1 分 分 分 分 分 分 分 分 分 分 分 0185180175170165160190 0 03 0 02 0 01 分分 分分 分分 cm 0 06 0 07 0 05 0 04 1 求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图 2 估计该校学生身高在165180cm 的概率 3 从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中 任选 2 人 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间 的概率 解 1 样本中男生人数为 40 由分层抽样比例 为 10 可得全校男生人数为 400 频率分布直方图如右图示 2 由表 1 表 2 知 样本中身高在165180cm 的 学生人数为 5 14 13 6 3 1 42 样本容量为 70 所以样本中学生身高在165180cm 的频率 423 705 f 故由f估计该校学生身高在165180cm 的概率 3 5 p 3 样本中身高在 180 185cm 之间的男生有 4 人 设其编号为 样本中身高在 185 190cm 之间 的男生有 2 人 设其编号为 从上述 6 人中任取 2 人的树状图为 故从样本中身高在 180 190cm 之间的男生中任选 2 人得所有可能结果数为 15 求至少有 1 人身高在 185 190cm 之间的可能结果数为 9 因此 所求概率 93 155 p 名师点睛名师点睛 1 简单随机抽样 一般地 设一个总体的个体数为 n 如果通过逐个抽 取的方法从中抽取一个样本 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等 就称这样的抽样 为简单随机抽样 2 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时 为了使样本更充分地反映总体 的情况 常将总体分成几部分 然后按照各部分所占的比进行抽样 这种抽样叫做分层抽 样 分层抽样的步骤 1 分层 2 按比例确定每层抽取个体的个数 3 各层抽样 方法可以不同 4 汇合成样本 3 总体 在数理统计中 通常把被研究的对象的全体叫做总体 4 频率分布 用样本估计总体 是研究统计问题的基本思想方法 样本中所有数据 或数据组 的频数和样本容量的比 就是该数据的频率 所有数据 或数据组 的频率的 分布变化规律叫做样本的频率分布 可以用样本频率表 样本频率分布条形图或频率分布直 方图来表示 解决总体分布估计问题的一般程序如下 1 先确定分组的组数 最大数据 与最小数据之差除以组距得组数 2 分别计算各组的频数及频率 频率 总数 频数 用心 爱心 专心 3 画出频率分布直方图 并作出相应的估计 三年高考三年高考 10 10 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 一 选择题 1 2012 年高考 辽宁理 在长为 12cm 的线段 ab 上任取一点c 现作一矩形 领边长 分别等于线段 ac cb 的长 则该矩形面积小于 32cm2的概率为 a 1 6 b 1 3 c 2 3 d 4 5 2 2012 年高考 湖北理 如图 在圆心角为直角的扇形oab中 分别 以oa ob为直径作两个半圆 在扇形oab内随机取一点 则此点取自阴影 部分的概率是 a 2 1 b 11 2 c 2 d 1 解析 令1 oa 扇形oab为对称图形 acbd围成面积为 1 s 围成oc为 2 s 作对称轴od 则过c点 2 s即为以oa为直径的 半圆面积减去三角形oac的面积 8 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 s 在扇形oad中 2 1 s 为扇形面积减去三角形oac面积和 2 2 s 16 2 28 1 1 8 1 2 2 2 1 ss 4 2 21 ss 扇形oab面积 4 1 s 选 a 3 2012 年高考 广东理 概率 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 a 4 9 b 1 3 c 2 9 d 1 9 用心 爱心 专心 解析 两位数共有 90 个 其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个 个位数为 0 的有 5 个 所以概率为 51 459 4 2012 年高考 北京理 设不等式组 02 02 x y 表示的平面区域为d 在区 域 d 内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 a 4 b 2 2 c 6 d 4 4 解析 题目中 02 02 x y 表示的区域表示正方形区域 而动点d可以存在的位置为正方 形面积减去四分之一的圆的面积部分 因此 2 1 2 22 4 4 2 24 p 故选 d 考点定位 本小题是一道综合题 它涉及到的知识包括 线性规划 圆的概念和面积公式 概率 5 2012 年高考 上海理 设 4 4321 1010 xxxx 5 5 10 x 随机变量 1 取值 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x的概率均为 0 2 随机变量 2 取值 2 21 xx 2 32 xx 2 43 xx 2 54 xx 2 15 xx 的概率也为 0 2 若记 1 d 2 d分别为 1 2 的方差 则 a 1 d 2 d b 1 d 2 d c 1 d 2 d而迅即攻下此题 二 填空题 6 2012 年高考 上海理 三位同学参加跳高 跳远 铅球项目的比赛 若每人都选择 其中两个项目 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 结果用最简分数 表示 解析 设概率 k p n 则27 2 3 2 3 2 3 cccn 求k 分三步 选二人 让他们选择的项 目相同 有 2 3 c种 确定上述二人所选择的相同的项目 有 1 3 c种 确定另一人所选的项目 有 1 2 c种 所以18 1 2 1 3 2 3 ccck 故 182 273 p 7 2012 年高考 上海春 某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的 志愿者工作 则在选出的志愿者中 男 女都有的概率为 结果用数值表示 解析 14 15 8 2012 年高考 江苏 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比数 列 若从这 10 个数中随机抽取一个数 则它小于8 的概率是 解析 以 1 为首项 3 为公比的等比数列的10 个数为 1 3 9 27 其中有 5 个 负数 1 个正数 1 计 6 个数小于8 从这 10 个数中随机抽取一个数 它小于 8 的概率是 63 105 9 2012 年高考 新课标理 某个部件由三个元件按下图方式连接而成 元件 1 或元件 2 正常工作 且元件 3 正常工作 则部件正常工作 设三个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布 2 1000 50 n 且各个元件能否正常相互独立 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时 的概率为 元件1 元件2 元件3 元件1 元件2 元件3 用心 爱心 专心 解析 使用寿命超过 1000 小时的概率为 3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 n 得 三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 1 4 pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 三 解答题 10 2012 年高考 天津理 现有 4 个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可 供参加者选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游 戏 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 求这 4 个 人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙 游戏的人数的概率 用 x y分别表示这 4 个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 xy 求随机变量 的分布列与数学期望e 命题意图 本小题主要考查古典概型及其计算公式 互斥事件 事件的相互独立性 离散 型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 解析 依题意 这 4 个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 1 3 去参加乙游戏的概率为 2 3 设 这 4 个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件 0 1 2 3 4 i a i 则 4 4 12 33 iii i p ac 1 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 222 24 128 3327 p ac 2 设 这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 不事件b 则 34 baa 由于 3 a与 4 a互斥 故 3344 3444 1211 3339 p bp ap acc 所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 3 的所有可能的取值为0 2 4 由于 1 a与 3 a互斥 0 a与 4 a互斥 故 21304 84017 0 2 4 278181 pp app ap app ap a 所以 的分布列为 024 p 8 27 40 81 17 81 用心 爱心 专心 随机变量 的数学期望 84017148 024 27818181 e 点评 应用性问题是高考命题的一个重要考点 近年来都通过概率问题来考查 且常考 常新 对于此类考题 要注意认真审题 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质 将问 题成功转化为古典概型 独立事件 互斥事件等概率模型求解 因此对概率型应用性问题 理解是基础 转化是关键 11 2012 年高考 新课标理 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然 后以每枝10元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天 购进16枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 nn 的函 数解析式 2 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 以 100 天记 录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 i 若花店一天购进16枝玫瑰花 x表示当天的利润 单位 元 求x的分布列 数学期望及方差 ii 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 你认为应购进 16 枝 还是 17 枝 请说明理由 解析 1 当16n 时 16 105 80y 当15n 时 55 16 1080ynnn 得 1080 15 80 16 nn ynn n 2 i x可取60 70 80 60 0 1 70 0 2 80 0 7p xp xp x x的分布列为 x607080 p0 10 20 7 60 0 1 70 0 280 0 776ex 222 160 1 60 240 744dx ii 购进 17 枝时 当天的利润为 14 53 5 0 1 15 52 5 0 2 16 5 1 5 0 16y 17 5 0 5476 4 76 476 得 应购进 17 枝 12 2012 年高考 浙江理 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 且规定 取出一个白球的 2 分 取出一个黑球的 1 分 现从该箱中任取 无放回 且每球取到的机会均等 3 个球 记 随机变量x为取出 3 球所得分数之和 用心 爱心 专心 求x的分布列 求x的数学期望e x 解析 本题主要考察分布列 数学期望等知识点 x的可能取值有 3 4 5 6 3 5 3 9 5 3 42 c p x c 21 54 3 9 20 4 42 c c p x c 12 54 3 9 15 5 42 c c p x c 3 4 3 9 2 6 42 c p x c 故 所求x的分布列为 x3456 p 5 42 2010 4221 155 4214 21 4221 所求x的数学期望e x 为 e x 6 4 13 3 i i p xi 13 2012 年高考 重庆理 本小题满分 13 分 小问 5 分 小问 8 分 甲 乙两 人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 一直到有人获胜或每人都 已投球 3 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 1 3 乙每次投篮投中的概率为 1 2 且各次投篮互不影响 求甲获胜的概率 求投篮结束时甲的投篮次数 的分 布列与期望 解析 设 kk a b分别表示甲 乙在第k次投篮投中 则 1 3 k p a 1 2 k p b 1 2 3k 综上知 有分布列 用心 爱心 专心 123 p2 3 2 9 1 9 从而 22113 123 3999 e 次 考点定位 本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率 考查运用概率 知识解决实际问题的能力 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响 注意应用相互独 立事件同时发生的概率公式 14 2012 年高考 四川理 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 简称系统 a和 b 系统a和b在任意时刻发生故障的概率分别为 1 10 和p 若在任意时刻至少有 一个系统不发生故障的概率为 49 50 求p的值 设系统a在 3 次相互独立的检测中 不发生故障的次数为随机变量 求 的概率分布列及数学期望e 解析 1 设 至少有一个系统不发生故障 为事件 c 那么 1 1 p c 1 10 1 p 50 49 解 得 p 5 1 4 分 2 由题意 p 0 1000 1 10 1 30 3 c p 1 1000 27 10 1 1 10 1 21 3 c p 2 1000 243 10 1 1 10 1 22 3 c p 3 1000 729 10 1 1 10 1 303 3 c 所以 随机变量 的概率分布列为 0123 p1000 1 1000 27 1000 243 1000 729 故随机变量 x 的数学期望为 e 0 10 27 1000 729 3 1000 243 2 1000 27 1 1000 1 0 点评 本小题主要考查相互独立事件 独立重复试验 互斥事件 随机变量的分布列 数 学期望等概念及相关计算 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力 15 2012 年高考 陕西理 某银行柜台设有一个服务窗口 假设顾客办理业务所需的时 间互相独立 且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下 从第一个顾客开始办理业务时计时 1 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 的概率 2 x表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数 求x的分布列及数学期望 用心 爱心 专心 解析 1 设 至少有一个系统不发生故障 为事件 c 那么 1 1 p c 1 10 1 p 50 49 解 得 p 5 1 4 分 2 由题意 p 0 1000 1 10 1 30 3 c p 1 1000 27 10 1 1 10 1 21 3 c p 2 1000 243 10 1 1 10 1 22 3 c p 3 1000 729 10 1 1 10 1 303 3 c 所以 随机变量 的概率分布列为 0123 p1000 1 1000 27 1000 243 1000 729 故随机变量 x 的数学期望为 e 0 10 27 1000 729 3 1000 243 2 1000 27 1 1000 1 0 点评 本小题主要考查相互独立事件 独立重复试验 互斥事件 随机变量的分布列 数学 期望等概念及相关计算 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力 设y表示顾客办理 业务所需的时间 用频率估计概率 得y的分布列如下 y12345 p0 10 40 30 10 1 1 a表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则事件 a 对应三种情形 第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分 钟 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以 1 3 3 1 2 2 p ap yp yp yp yp yp y 0 1 0 30 3 0 1 0 4 0 40 22 2 解法一x所有可能的取值为0 1 2 0x 对应第一个顾客办理业务所需的时间 超过 2 分钟 所以 0 2 0 5p xp y 1x 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客 办理业务所需的时间超过 1 分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟 所以 1 1 1 2 p xp yp yp y 0 1 0 90 40 49 2x 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟 所以 2 1 1 0 1 0 10 01p xp yp y 所以x的分布列为 用心 爱心 专心 x012 p0 50 490 01 0 0 5 1 0 492 0 010 51ex 解法二 x所有可能的取值为0 1 2 0x 对应第一个顾客办理业务所需的时间超 过 2 分钟 所以 0 2 0 5p xp y 2x 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟 所以 2 1 1 0 1 0 10 01p xp yp y 1 1 0 2 0 49p xp xp x 所以x的分布列为 x012 p0 50 490 01 0 0 5 1 0 492 0 010 51ex 16 2012 年高考 山东理 先在甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 3 4 命 中得 1 分 没有命中得 0 分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 2 3 每命中一次得 2 分 没 有命中得 0 分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击 求该 射手恰好命中一次得的概率 求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex 解析 36 7 3 2 3 1 4 1 3 1 4 3 1 2 2 cp 5 4 3 2 1 0 x 9 1 3 2 3 1 4 1 2 12 1 3 1 4 3 1 36 1 3 1 4 1 0 1 2 22 cxpxpxp 3 1 3 2 4 3 5 9 1 3 2 4 1 4 3 1 3 2 3 1 4 3 3 221 2 xpxpcxp x012345 p 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 ex 0 36 1 1 12 1 2 9 1 3 3 1 4 9 1 5 3 1 12 5 3 12 41 17 2012 年高考 辽宁理 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收 视情况 随机抽取了 100 名观众进行调查 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该 体育节目时间的频率分布直方图 用心 爱心 专心 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 体育迷 根据已知条件 完成下面的2 2 列联表 并据此资料你是否认为 体育迷 与性别有关 将上述调查所得到的频率视为概率 现在从该地区大量电视观众中 采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众 抽取 3 次 记被抽取的 3 名观众中的 体育迷 人数为x 若 每次抽取的结果是相互独立的 求x的分布列 期望 e x和方差 d x 附 2 2 11221221 1212 n n nn n n n n n 解析 i 由频率颁布直方图可知 在抽取的 100 人中 体育迷 有 25 人 从而 2 2 列 联表如下 由 2 2 列联表中数据代入公式计算 得 用心 爱心 专心 因为 3 0302 0 023 则 p 2 z 2 a 0 477 b 0 625 c 0 954 d 0 9 77 答案 c 解析 因为随机变量 服从正态分布 2 n 0 所以正态曲线关于直线x 0对称 又 p 2 0 023 所以p 2 p 4 a 0 1588 b 0 1587 c 0 1586 d0 1585 答案 b 解析 1 34 24 2 pxpx 0 3413 4 0 5 24 p xpx 0 5 0 3413 0 1587 二 填空题 二 填空题 1 20102010 年福建理年福建理 1313 某次知识竞赛规则如下 在主办方预设的 5 个问题中 选手若能连 续正确回答出两个问题 即停止答题 晋级下一轮 假设某选手正确回答每个问题的概率 都是0 8 且每个问题的回答结果相互独立 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮 的概率等于 答案 0 128 解析 命题意图 2 20102010 年安徽理年安徽理 1515 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 用心 爱心 专心 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 a a和 3 a表示由甲罐取 出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以b表示由乙罐取出的球 是红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 p b 1 5 11 p b a 事件b与事件 1 a相互独立 123 a a a是两 两互斥的事件 p b的值不能确定 因为它与 123 a a a中哪一个发生有关 解析 易见 123 a a a是两两互斥的事件 而 123 5524349 10111011101122 p bp b ap b ap b a 方法总结 本题是概率的综合问题 掌握基本概念 及条件概率的基本运算是解决问题 的关键 本题在 123 a a a是两两互斥的事件 把事件 b 的概率进行转化 123 p bp b ap b ap b a 可知事件 b 的概率是确定的 3 20102010 年湖北理年湖北理 1414 某射手射击所得环数 的分布列如下 已知 的期望8 9e 则 y 的值为 答案 0 4 解析 由表格可知 0 10 39 780 190 3108 9xyxy 联合解得0 4y 4 2010 2010 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 11 11 在区间 1 2 上随机取一个数 x 则 x 1 的概率为 答案 2 3 解析 p x 1 1 1 2 2 1 3 命题意图 本题考察几何概率 属容易题 5 2010 2010 年安徽理年安徽理 15 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个 用心 爱心 专心 白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以 12 a a和 3 a表示由甲罐取出 的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以b表示由乙罐取出的球是 红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 2 5 p b 1 5 11 p b a 事件b与事件 1 a相互独立 123 a a a是两两互斥的事件 p b的值不能确定 因为它与 123 a a a中哪一个 发生有关 6 20102010 年江苏年江苏 3 3 盒子中有大小相同的 3 只白球 1 只黑球 若从中随机地摸出两只球 两只球颜色不同的概率是 答案 1 2 解析 考查古典概型知识 31 62 p 7 2010 2010 年全国高考宁夏卷年全国高考宁夏卷 1313 设 yf x 为区间 0 1 上的连续函数 且恒有 0 1f x 可以用随机模拟方法近似计算积分 1 0 f x dx 先产生两组 每组 n 个 区 间 0 1 上的均匀随机数 12 n x xx 和 12 n y yy 由此得到 n 个点 11 1 2 x yin 再数出其中满足 11 1 2 yf xin 的点数 1 n 那么由随 机模拟方案可得积分 1 0 f x dx 的近似值为 答案 1 n n 解析解析 1 0 f x dx 的几何意义是函数 0 1 f xf x 其中的图像与x轴 直线0 x 和 直线1x 所围成图形的面积 根据几何概型易知 1 1 0 n f x dx n 8 20102010 年陕西理年陕西理 1313 从如图所示的长方形区域内任取一个点 用心 爱心 专心 yxm 则点m取自阴影部分的概率为 解析解析 本题属于几何概型求概率 13 1 0 3 1 0 2 xdxxs阴影 331 长方形 s 所求概率为 3 1 长方形 阴影 s s p 9 20102010 年高考上海市理科年高考上海市理科 6 6 随机变量 的概率分布率由下图给出 则随机变量 的均值是 答案 8 2 10 20102010 年上海理年上海理 9 9 从一副混合后的扑克牌 52 张 中随机抽取 1 张 事件 a 为 抽 得红桃 k 事件 b 为 抽得为黑桃 则概率 p a b 结果用最简分数 表示 答案 7 26 11 2010 2010 年重庆理年重庆理 13 13 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同 且在两次罚球中至少 命中一次的概率为 16 25 则该队员每次罚球的命中率为 答案 3 5 解析 由 25 16 1 2 p得 5 3 p 12 20102010 年上海春年上海春 9 9 连续掷两次骰子 出现点数之和等于 4 的概率为 结 果用数值表示 答案 1 12 解析 点数和为的结果为 1 3 2 2 3 1 共 3 个 而总的试验结果为 36 个 由古典概型概率计算公式可得 31 3612 m p n 13 2010 2010 年天津理年天津理 11 11 甲 乙两人在 10 天中每天加工零件 的个数用茎叶图表示下图 中间一列的数字表示零件个数 两边的数字表示零件个数的位数 则这 10 天甲 乙两人日 加工零件的平均数分别为 和 答案 24 23 解析 甲加工零件的平均数为 用心 爱心 专心 1 18 1920 221222331 235 10 24 乙加工零件的平均数为 1 11 17 19212224 230 232 23 10 命题意图 本题考查茎叶图的基础知识 属容易题 14 2010 2010 年湖南理年湖南理 9 9 已知一种材料的最佳加入量在 110g 到 210 g 之间 若用 0 618 法安 排试验 则第一次试点的加入量可以是 g 15 20102010 年高考江苏卷试题年高考江苏卷试题 4 4 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量 从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度 棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标 所得数据都在区间 5 40 中 其频率分布直方图如图所示 则其抽样的 100 根中 有 根在 棉花纤维的长度小于 20mm 答案 30 解析 考查频率分布直方图的知识 100 0 001 0 001 0 004 5 30 16 20102010 年北京理年北京理 1111 从某小学随机抽取 100 名同学 将他们的 身高 单位 厘米 数据绘制成频率分布直方图 如图 由图中数据可知 a 若要从身高在 120 130 130 140 140 150 三 组内的学生中 用分层抽 样的方法选取 18 人参加一项活动 则从身高在 140 150 内 的学生中选取的人数应为 答案 0 030 3 解析 由各个小组的频率之和为 1 可得 a 0 030 而三 组身高区间的人数比为 3 2 1 由分层抽样的原理不难得到 140 150 区间内的人数为 3 人 17 20102010 年上海春高考年上海春高考 6 6 某社区对居民进行上海世博会 知晓情况的分层抽样调查 已知该社区的青年人 中年人和老年人分别有 800 人 1600 人 1400 人 若在老年人中的抽样人数是 70 则在中年人中的抽样人数应该是 答案 80 解析 由题可知抽取的比例为 701 140020 k 故中年人应该抽取人数为 1 160080 20 n 三 解答题 三 解答题 1 20102010 年山东理年山东理 2020 本小题满分 12 分 某学校举行知识竞赛 第一轮选拔共设有 用心 爱心 专心 a b c d四个问题 规则如下 每位参加者计分器的初始分均为 10 分 答对问题 a b c d分别加 1 分 2 分 3 分 6 分 答错任一题减 2 分 每回答一题 计分器显示 累计分数 当累计分数小于 8 分时 答题结束 淘汰出局 当累计分数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出局 当 累计分数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出局 每位参加者按问题 a b c d顺序作答 直至答题结束 假设 甲同学对问题 a b c d回答正确的概率依次为 3 1 1 1 4 2 3 4 且各题回答正确与否相互之 间没有影响 求甲同学能进入下一轮的概率 用 表示甲同学本轮答题结束时答 题的个数 求 的分布列和数学的e 记 甲同学能进入下一轮 为事件q 则 123123412341234 qm m mn m m mm n m mm m n m 1234 n m n m 由于每题答题结果相互独立 因此 1231234 p qp m m mn m m m 1234 m n m m 1234 m m n m 1234 n m n m 123123