（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练3 新人教A版.doc

名校专题-圆锥曲线培优训练31、点p在以为焦点的双曲线上，已知，o为坐标原点（）求双曲线的离心率；（）过点p作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，求双曲线e的方程；（）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线e相交于不同于双曲线顶点的两点m、n，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点g，使？若存在，求出所有这种定点g的坐标；若不存在，请说明理由解：（i）（ii）渐近线为设，代入化简 （iii）假设在轴上存在定点使，设联立与的方程得故由（3）即为，将（4）代入（1）（2）有代入（5）得故在轴上存在定点使。2、已知f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点n，并且满足，设a、b是上半椭圆上满足的两点，其中 （1）求此椭圆的方程及直线ab的斜率的取值范围； （2）设a、b两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点p，求证：点p在一条定直线上，并求点p的纵坐标的取值范围.解：（1）由于， 解得，从而所求椭圆的方程为 三点共线，而点n的坐标为（2，0）.设直线ab的方程为，其中k为直线ab的斜率，依条件知k0.由消去x得， 即根据条件可知 解得设，则根据韦达定理，得又由 从而 消去令，则由于 上的减函数，从而， 即， ，而因此直线ab的斜率的取值范围是（2）上半椭圆的方程为求导可得 ，所以两条切线的斜率分别为 解法一：切线pa的方程是又，从而切线pa的方程为 同理可得切线pb的方程为 由 可解得点p的坐标 再由 又由（1）知 ，因此点p在定直线上，并且点p的纵坐标的取值范围是1， 解法二：设点p的从标为，则可得切线pa的方程是而点在此切线上，所以有即 所以有 ， 同理可得 根据和可知直线ab的方程为， 而直线ab过定点n（2，0）直线ab的方程为 又由（1）知 ，所以有因此点p在定直线上，并且点p的纵坐标的取值范围是 。3、设双曲线c：的左、右顶点分别为a1、a2，垂直于x轴的直线m与双曲线c交于不同的两点p、q。 （）若直线m与x轴正半轴的交点为t，且，求点t的坐标； （）求直线a1p与直线a2q的交点m的轨迹e的方程； （）过点f（1，0）作直线l与（）中的轨迹e交于不同的两点a、b，设，若（t为（）中的点）的取值范围。解：（）由题，得，设则由 又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点t的坐标为（2，0） 3分（）设直线a1p与直线a2q的交点m的坐标为（x，y）由a1、p、m三点共线，得 1分由a2、q、m三点共线，得 1分联立、，解得 1分在双曲线上，轨迹e的方程为 1分（）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为 中，得 设 则由根与系数的关系，得 2分 有将式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 4、在平面直角坐标系内有两个定点f1、f2和动点p，f1、f2的坐标分别为f1（1，0），f2（1，0），动点p满足动点p的轨迹为曲线c，曲线c关于直线y=x的对称曲线为曲线c，直线与曲线c交于a、b两点，o是c的对称中心，abo的面积为。 （）求曲线c的方程； （）求m的值。解：（1）设p点坐标为（x,y）则所以曲线c的方程为（2）曲线c是以（3，0）为圆心，为半径的圆，曲线c也应该是一个半径为 的圆，点（3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，3），所以曲线c的方程为又o是c对称中心，则o（0，3）到直线的距离d为 所以，。5、 如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点（）若，求点的轨迹方程；（）求的取值范围解：（）若直线轴，则点为； 设直线，并设点的坐标分别是，由消去，得 ， 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以 由及方程，得，即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，代入到方程，得，整理，得（综上所述，点的轨迹方程为（ （）当轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，所以，； 由方程，得所以，所以 因为，所以，所以，所以综上所述，6、 已知椭圆的焦点是，和，离心率为（1）求椭圆上的点到直线距离的最大值；（2）若p在椭圆上，求的面积解：设椭圆，半焦距为c，则椭圆方程为设椭圆上的点为，p到直线的距离，当且仅当时取“”（其中），椭圆上的点到直线的最大值为（2），又，即，7、已知动圆过定点p（1，0），且与定直线l：x=1相切，点c在l上. （i）求动圆圆心的轨迹m的方程； （ii）设过点p，且斜率为的直线与曲线m相交于a、b两点. （i）问：abc能否为正三角形？若能，求点c的坐标；若不能，说明理由； （ii）当abc为钝角三角形时，求这种点c的纵坐标的取值范围.图712（1）解法一，依题意，曲线m是以点p为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线m的方程为y2=4x.解法二：设m（x，y），依题意有|mp|=|mn|，所以|x+1|=.化简得：y2=4x. （2）（i）由题意得，直线ab的方程为y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3.所以a点坐标为（），b点坐标为（3，2），|ab|=x1+x2+2=.假设存在点c（1，y），使abc为正三角形，则|bc|=|ab|且|ac|=|ab|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=.但y=不符合，所以由，组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点c，使得abc是正三角形. （ii）解法一：设c（1，y）使abc成钝角三角形，由得y=2，即当点c的坐标为（1，2）时，a、b、c三点共线，故y2.又|ac|2=（1）2+（y）2=+y2，|bc|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2， |ab|2=（）2=.当cab为钝角时，cosa=|ac|2+|ab|2，即，即y时，cab为钝角.当|ac|2|bc|2+|ab|2，即，即y|ac|2+|bc|2，即，即.该不等式无解，所以acb不可能为钝角.因此，当abc为钝角三角形时，点c的纵坐标y的取值范围是.解法二：以ab为直径的圆的方程为（x）2+（y+）2=（）2.圆心（）到直线l：x=1的距离为，所以，以ab为直径的圆与直线l相切于点g（1，）.当直线l上的c点与g重合时，acb为直角，当c与g点不重合，且a、b、c三点不共线时，acb为锐角，即abc中，acb不可能是钝角.因此，要使abc为钝角三角形，只可能是cab或cba为钝角.过点a且与ab垂直的直线方程为.令x=1得y=.过点b且与ab垂直的直线方程为y+2（x3）.令x=1得y=.又由解得y=2，所以，当点c的坐标为（1，2）时，a、b、c三点共线，不构成三角形.因此，当abc为钝角三角形时，点c的纵坐标y的取值范围是y （y2）.8、已知椭圆的离心率为，f为椭圆在x轴正半轴上的焦点，m、n两点在椭圆c上，且，定点a（4，0）. （i）求证：当时； （ii）若当时有，求椭圆c的方程； （iii）在（2）的条件下，当m、n两点在椭圆c运动时，试判断 是否有最大值，若存在求出最大值，