高中数学 第二章 推理与证明章末复习课课件 新人教B版选修12.ppt

章末复习课 第二章推理与证明 学习目标1 理解合情推理和演绎推理 2 会用直接证明和间接证明方法证明问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 1 合情推理 1 归纳推理 由到 由到的推理 2 类比推理 由到的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 2 演绎推理 1 演绎推理 由到的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 一般 特殊 大前提 小前提 结论 3 直接证明和间接证明 1 直接证明的两类基本方法是和 是从已知条件推出结论的证明方法 是从结论追溯到条件的证明方法 2 间接证明的一种方法是 是从结论反面成立出发 推出矛盾的方法 综合法 分析法 综合法 分析法 反证法 题型探究 例1 1 有一个奇数列1 3 5 7 9 现在进行如下分组 第一组含一个数 1 第二组含两个数 3 5 第三组含三个数 7 9 11 第四组含四个数 13 15 17 19 试观察每组内各数之和f n n n 与组的编号数n的关系式为 类型一合情推理的应用 f n n3 解析由于1 13 3 5 8 23 7 9 11 27 33 13 15 17 19 64 43 猜想第n组内各数之和f n 与组的编号数n的关系式为f n n3 答案 解析 2 在平面几何中 对于rt abc ac bc 设ab c ac b bc a 则 a2 b2 c2 cos2a cos2b 1 rt abc的外接圆半径为r 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论 试对其中一个猜想进行证明 解答 解选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 下面对 的猜想进行证明 如图在四面体a bcd中 ab ac ad两两垂直 面abc 面abd 面acd为三个两两垂直的侧面 设ab a ac b ad c 即所证猜想为真命题 1 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容 通过观察给定的规律 得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法 2 类比推理重在考查观察和比较的能力 题目一般情况下较为新颖 也有一定的探索性 反思与感悟 跟踪训练1 1 观察下列图形中小正方形的个数 则第n个图形中有 个小正方形 答案 解析 解析第1个图有3个正方形记作a1 第2个图有3 3个正方形记作a2 第3个图有6 4个正方形记作a3 第4个图有10 5个正方形记作a4 正方形的个数构成数列 an 则a2 a1 3 1 a3 a2 4 2 a4 a3 5 3 an an 1 n 1 n 1 1 2 n 1 得an a1 3 4 5 n 1 类型二综合法与分析法 证明 证明方法一 综合法 因为a 0 b 0 a b 1 方法二 分析法 因为a 0 b 0 a b 1 所以原不等式成立 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 二者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 综合法条件清晰 易于表述 因此对于难题常把二者交互运用 互补优缺 形成分析综合法 其逻辑基础是充分条件与必要条件 证明 证明要证明 x2 y2 x3 y3 只需证 x2 y2 3 x3 y3 2 只需证x6 3x4y2 3x2y4 y6 x6 2x3y3 y6 只需证3x4y2 3x2y4 2x3y3 又x 0 y 0 x2y2 0 只需证3x2 3y2 2xy 3x2 3y2 x2 y2 2xy 3x2 3y2 2xy成立 故 x2 y2 x3 y3 证明 类型三反证法 因为x 0且y 0 所以1 x 2y且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知x y 2矛盾 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 涉及 都是 都不是 至少 至多 等形式的命题时 也常用反证法 跟踪训练3已知 ac 2 b d 求证 方程x2 ax b 0与方程x2 cx d 0中至少有一个方程有实数根 证明 证明假设两方程都没有实数根 则 1 a2 4b2ac 即ac 2 b d 与已知矛盾 故原命题成立 当堂训练 1 观察按下列顺序排序的等式 9 0 1 1 9 1 2 11 9 2 3 21 9 3 4 31 猜想第n n n 个等式应为a 9 n 1 n 10n 9b 9 n 1 n 10n 9c 9n n 1 10n 1d 9 n 1 n 1 10n 10 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析由已知中的式子 我们观察后分析 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号 等式右边是一个等差数列 根据已知可以推断 第n n n 个等式为9 n 1 n 10n 9 故选b 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 3 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实数c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根 2 3 4 5 1 答案 解析 解析方程x3 ax b 0至少有一个实根的反面是方程x3 ax b 0没有实根 故选a 4 如图 这是一个正六边形的序列 2 3 4 5 1 答案 解析 则第n个图形的边数为 5n 1 解析图 1 共6条边 图 2 共11条边 图 3 共16条边 其边数构成以6为首项 5为公差的等差数列 则图 n 的边数为an 6 n 1 5 5n 1 2 3 4 5 1 证明 证明因为a b 所以a b 0 平方得 a 2 b 2 2 a b 2 a 2 b 2 只需证 a 2 b 2 2 a b 0成立 即只需证 a b 2 0 它显然成立 故原不等式得证 规律与方法 1 归纳和类比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整体的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推测未知 都能用于猜想 推理的结论不一定为真 有待进一步证明 2 演绎推理与合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是数学中证明的基本推理形式 也是公理化体系所采用的推理形式 另一方面 合情推理与演绎推理又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论证前者的可靠性 3 直接