湖北省巴东一中高中数学 3.2.2立体几何中的向量方法第2课时教案 新人教版选修21.doc

3.2.2空间角与距离的计算举例【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。【教学目标】：（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.【教学难点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.【课前准备】：powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1 两个向量的数量积如何运算？2 向量的模与向量的数量积是什么关系？3 向量的加法法则。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）二、例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点a为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算a1b1c1d1abcd图1 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线bd1的长与棱长有什么关系？ 分析: （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形解： 所求的距离是练习:如图2，空间四边形oabc各边以及ac，bo的长都是1，点d，e分别是边oa，bc的中点，连结de，计算de的长 oabcde图2例2：如图3，甲站在水库底面上的点a处，乙站在水坝斜面上的点b处。从a，b到直线 （库底与水坝的交线）的距离ac和bd分别为a和b,cd的长为c, ab的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值 abcd图3解：如图 化为向量问题 根据向量的加法法则进行向量运算 设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而ab未知，其他条件不变，可以计算出ab的长吗？分析： 可算出 ab 的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点a为端点的对角线长为d，三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为. a1b1c1d1abcd（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？ 分析：二面角 平面角 向量的夹角 回归图形c1c a1b1d1adefb解：如图，在平面 ab1 内过 a1 作 a1eab 于点 e，在平面 ac 内作 cfab 于 f。 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习： （1）如图4，60的二面角的棱上有a、b两点，直线ac、bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直ab，已知ab4，ac6，bd8，求cd的长。 b图4acd 2）三棱柱abc-a1b1c1中，底面是边长为2的正三角形，a1ab45，a1ac60，求二面角b-a a1-c的平面角的余弦值。 abca1b1c1图5让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。提醒学生不能缺少这一步。转化为向量。这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.让学生体会空间距离的转化。及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。以下设计与例1类似。三、拓展与提高如图6，在棱长为a的正方体 中，e,f分别是棱 ab,bc上的动点，且ae=bf。（1）求证： ；（2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。 ocbaoab cef图6 学生进行提高训练应用.四、小结1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。2 面面距离点面距离向量的模回归图形 二面角平面角向量的夹角回归图形反思归纳五、作业课本p121 第 2、4 题。练习与测试：（基础题）1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）a75 b60 c45 d30答：c。2如图，在棱长为2的正方体中，o是底面abcd的中心，e、f分别是、ad的中点。那么异面直线oe和所成的角的余弦值等于（ ）a b c d答：b。3，把正方形abcd沿对角线ac折起,当以a、b、c、d四点为顶点的棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为 ）a90 b 60 c，45 d 30答：c。4，已知是两条异面直线的公垂线段，则所成的角为 答：或。（中等题）5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30，这条线段与