（江苏专用）高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算 文.doc

第1课 集合的概念与运算(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1p10第5题改编)已知集合a=m+2，2m2+m，若3a，则实数m=.【答案】-【解析】因为3a，所以m+2=3或2m2+m=3.当m+2=3，即m=1时，2m2+m=3，此时集合a中有重复元素3，所以m=1不合题意，舍去；当2m2+m=3时，解得m=-或m=1(舍去)，此时当m=-时，m+2=3，满足题意，所以m=-.2.(必修1p17第6题改编)已知集合a=1，4)，b=(-，a)，ab，则实数a的取值范围为.【答案】4，+)【解析】在数轴上画出集合a，b，根据图象可知a4，+).3.(必修1p13习题5改编)设集合a=x|x=2k-1，kz，b=x|x=2k，kz，则ab=，ab=.【答案】z4.(必修1p14第8题改编)设全集u=1，2，3，4，5，集合a=1，2，3，b=2，3，4，则u(ab)=.【答案】1，4，5【解析】ab=2，3，所以u(ab)=1，4，5.5.(必修1p17习题8改编)满足1，3a=1，3，5的集合a共有个.【答案】4【解析】集合a必须含有元素5，元素1和3不确定，所以集合a的本质是1，3的所有子集与元素5组成的集合，共4个.1.集合的概念(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素.(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图等.(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.(5)特别地，自然数集记作n，正整数集记作n*或n+，整数集记作z，有理数集记作q，实数集记作r，复数集记作c.2.两类关系(1)元素与集合的关系，用或表示.(2)集合与集合的关系，用、或=表示.3.集合的运算(1)全集：如果集合s含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用u表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.(2)交集：由所有属于集合a且属于集合b的元素构成的集合，称为a与b的交集，记作ab，即ab=x|xa且xb.(3)并集：由所有属于集合a或者属于集合b的元素构成的集合，称为a与b的并集，记作ab，即ab=x|xa或xb.(4)补集：设as，由s中不属于a的所有元素组成的集合称为s的子集a的补集，记作sa，即sa=x|xs且xa.4.常见结论(1)a，ab=ba，aab，aba.(2)ab=aab；ab=aba.(3)u(ab)=(ua)(ub)；u(ab)=(ua)(ub).【要点导学】要点导学各个击破集合间的基本关系例1已知集合 a=x|-2x5，b=x|m+1x2m-1.(1)若 ba，求实数 m 的取值范围；(2)当 xr 时，没有元素 x 使 xa 与 xb同时成立，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)对于ba，一定要分b=和b两类讨论.(2)“没有元素x使xa与xb同时成立”表示ab=.【解答】(1)当m+12m-1，即m2m-1，得m4.综上，m4.故实数m的取值范围为m|m4.【精要点评】(1)空集是任何集合的子集，因此，当 ba 时需考虑 b=的情形；(2)当ab=时也需考虑b=的情形，当集合b不是空集时，要保证ba，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3)虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此本题综合性还是很强的.变式1已知集合a=，b=x|mx-1=0，若ab=b，则所有实数m组成的集合是.【答案】-1，0，2【解析】由ab=b，知ba.若b=，则m=0；若b=-1，则-m-1=0，解得m=-1；若b=，则m-1=0，解得m=2.综上，m的取值集合是-1，0，2.变式2已知集合a=x|x2-ax+a2-19=0，b=x|x2-5x+6=0，c=x|x2+2x-8=0.(1)若ab=ab，求实数a的值；(2)若ab，ac=，求实数a的值.【解答】由已知得b=2，3，c=2，-4.(1)因为ab=ab，所以a=b，所以2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根，则有解得a=5.(2)由abab，又因为ac=，所以3a，2a，-4a，由3a，得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2.当a=5时，a=x|x2-5x+6=0=2，3，与2a矛盾，不符合题意；当a=-2时，a=x|x2+2x-15=0=3，-5，符合题意.所以实数a的值为-2.集合间的运算例2设全集 u=x|x20的质数，mun=3，5，num=7，19，(um)(un)=2，17，求集合m与n.【思维引导】对于离散型数集的交、并、补运算，常利用venn图，化抽象为具体，其解题关键是认清m，n，将全集u分成的四个区域的集合形式.【解答】由(um)(un)=2，17，可知m，n中都没有元素2，17.由num=7，19，可知n中有元素7，19，m中没有元素7，19.由mun=3，5，可知m中有元素3，5，n中没有元素3，5.(例2)如图所示，由图象知剩下的元素11，13 不在mun，num，(um)(un)三部分中，只能11(mn)，13(mn)，所以m=3，5，11，13，n=7，11，13，19.【精要点评】集合问题大都比较抽象，对连续数集间的运算，要借助数轴的直观性，进行合理转化；对离散数集间的运算，要借助venn图，这是数形结合思想的具体体现.运算结果要注意端点能否取得.当然本题还要注意的就是1既不是质数也不是合数.【高频考点题组强化】1.(2016苏州期中)设集合a=x|-1x2，b=x|0x4，则ab=.【答案】x|0x2【解析】由题意知，ab=x|0x2.2.(2014淮安、宿迁摸底)已知全集u=1，2，3，4，集合a=2，3，b=3，4，则u(ab)=.【答案】1【解析】由题意可得ab=2，3，4，故u(ab)=1.3.(2015黄山模拟)若集合m=，p=y|y=，那么mp=.【答案】(0，+)【解析】因为集合m=y|y0，p=y|y=y|y0，所以mp=(0，+).4.已知集合a=-4，2a-1，a2，b=a-5，1-a，9，分别求适合下列条件的a的值.(1)9(ab)；(2)9=ab.【解答】(1)因为9(ab)，所以9b且9a.所以2a-1=9或a2=9，所以a=5或a=3.根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3.(2)因为9=ab，所以9(ab)，所以a=5或a=-3.当a=5时，a=-4，9，25，b=0，-4，9，此时ab=-4，9，与ab=9矛盾，故舍去.当a=-3时，a=-4，-7，9，b=-8，4，9，此时ab=9，满足题意.综上，a的值为-3.5.已知集合a=x|x2-2x-30，b=x|x2-2mx+m2-40，xr，mr.(1)若ab=0，3，求实数m的值；(2)若arb，求实数m的取值范围.【解答】由已知得a=x|-1x3，b=x|m-2xm+2.(1)因为ab=0，3，所以所以m=2.(2)rb=x|xm+2，因为arb，所以m-23或m+25或m0，其中kr.(1)当k变化时，试求不等式的解集a.(2)对于不等式的解集a，若满足az=b.试探究集合b能否为有限集，若能，求出使得集合b中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合b；若不能，请说明理由.【思维引导】(1)由二次项的系数k的符号对解集的影响对应方程的根的大小确定讨论标准求得解集.(2)由不等式的解集当k0且k2时，a=(-，4)；当k=2时，a=(-，4)(4，+)；当k0时，a=.(2)由(1)知，当k0时，集合b中的元素的个数无限；当k0时，集合b中的元素的个数有限，此时集合b为有限集.因为k+-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合b中的元素个数最少，此时a=(-4，4)，故集合b=-3，-2，-1，0，1，2，3.【精要点评】(1)描述法表示集合时要注意集合中的代表元素是什么，代表元素满足的条件是什么.(2)分类讨论是一种重要的数学思想，它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的过程中，要从简单的讨论着手，并注意讨论的完整性，最后更不要忘记总结结论.变式已知集合m中的元素为自然数，且满足：如果xm，则8-xm，试回答下列问题：(1)写出只有一个元素的集合m；(2)写出元素个数为2的所有集合m；(3)满足题设条件的集合m共有多少个?【解答】(1)m中只有一个元素，根据题意知必须满足x=8-x，所以x=4.故含有一个元素的集合m=4.(2)当m中只含两个元素时，其元素只能是x和8-x，从而含两个元素的集合m应为0，8，1，7，2，6，3，5.(3)满足条件的m是由集合4，0，8，1，7，2，6，3，5中的元素组成，它包括以下五种情况：由以上1个集合组成的有4，0，8，1，7，2，6，3，5，共5个.由2个集合组成的有4，0，8，4，1，7，4，2，6，4，3，5，0，8，1，7，0，8，2，6，0，8，3，5，1，7，2，6，1，7，3，5，2，6，3，5，共10个.由3个集合组成的有4，0，8，1，7，4，0，8，2，6，4，0，8，3，5，4，1，7，2，6，4，1，7，3，5，4，2，6，3，5，0，8，1，7，2，6，0，8，1，7，3，5，1，7，2，6，3，5，0，8，2，6，3，5，共10个.由4个集合组成的有4，0，8，1，7，2，6，4，0，8，1，7，3，5，4，0，8，2，6，3，5，4，1，7，2，6，3，5，0，8，1，7，2，6，3，5，共5个.由5个集合组成的有4，0，8，1，7，2，6，3，5，共1个.综上可知，满足题设条件的集合m共有31个.1.(2015郑州质量预测)已知集合m=x|-1x2，n=x|xa，若mn，则实数a的取值范围是.【答案】2，+)【解析】因为mn，所以a2.2.(2015南通期末)若全集u=1，2，3，4，5，6，集合m=1，2，4，n=2，3，6，则u(mn)=.【答案】5【解析】由并集定义可得mn=1，2，3，4，6，由补集定义可得u(mn)=5.3.已知全集u=r，集合a=x|0x9，xr和b=x|-4x4，xz关系的韦恩图如图所示，则图中阴影部分所示集合包含的元素共有个.(第3题)【答案】4【解析】ra=x|x9或x0，所以阴影部分表示的集合为bra=x|-4x0，xz=-3，-2，-1，0，所以共有4个元素.4.(2015启东中学)设数集m同时满足条件：(1)m中不含元素-1，0，1，(2)若am，则m.有下列结论：集合m中至多有2个元素；集合m中至多有3个元素；集合m中有且仅有4个元素；集合m中元素的个数是4的倍数.则其中正确的结论是.(填序号)【答案】【解析】由题意，若am，则m，则=-m，=m，则=am，若a=，则a2=-1，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合m中每四个元素一组成队出现，故正确的选项是.5.(2015文登一模)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn，则在此定义下，集合m=(a，b)|ab=16中的元素个数是.【答案】17【解析】因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16，116=16，集合m中的元素是有序数对(a，b)，所以集合m中的元素共有82+1=17个.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第12页.【检测与评估】第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算一、 填空题1.(2014深圳一调)已知全集u=2，0，1，5，集合a=0，2，则ua=.2.(2015福州联考)若集合a=2a，3，a2-6，且aa，则实数a的值为.3.(2015陕西卷)设集合m=x|x2=x，n=x|lg x0，则mn=.4.已知集合m=0，1，2，3，4，n=1，3，5，p=mn，那么p的子集共有个.5.对于集合m，n，定义m-n=x|xm且xn，mn=(m-n)(n-m).若a=y|y=3x，xr，b=y|y=-(x-1)2+2，xr，则ab=.6.已知集合a=1，2，3，4，集合b=x|x(4-x)0，那么ab=.8.(2015盐城月考)若对任意的xa，且a，就称集合a是“和谐”集合，则在集合m=的所有非空子集中，“和谐”集合的个数是.二、 解答题 9.已知集合m=0，1，a=(x，y)|xm，ym，b=(x，y)|y=-x+1.(1)请用列举法表示集合a；(2)求ab，并写出集合ab的所有子集.10.已知集合a=x|x2-4x+30，b=x|x2-6x+80，c=x|2x2-9x+m0，b=y|y2，所以a-b=y|y2，b-a=y|y0，所以ab=(-，0(2，+).6.1，2，3，4【解析】因为b=x|x(4-x)0=x|x4，所以rb=x|0x4，所以a(rb)=1，2，3，4.7. 0，1(2，+)【解析】a=0，2，b=(1，+)，ab=0，+)，ab=(1，2，所以ab=0，1(2，+).8. 15【解析】根据题意，知m中共有8个元素，则m的非空子集个数为28-1=255，