高考数学一轮复习 第二十二章 概率统计 22.1 离散型随机变量及其分布列、超几何分布课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第二十二章概率统计 22 1离散型随机变量及其分布列 超几何分布 1 2017江苏 23 10分 已知一个口袋中有m个白球 n个黑球 m n n n 2 这些球除颜色外完全相同 现将口袋中的球随机地逐个取出 并放入如图所示的编号为1 2 3 m n的抽屉内 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉 k 1 2 3 m n a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 1 试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 2 随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数 e x 是x的数学期望 证明 e x 解析本小题主要考查古典概率 随机变量及其分布 数学期望等基础知识 考查组合数及其性质 考查运算求解能力和推理论证能力 1 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 2 随机变量x的概率分布为 随机变量x的期望为 e x 所以e x 1 即e x 2 2014江苏 22 10分 0 67 盒中共有9个球 其中有4个红球 3个黄球和2个绿球 这些球除颜色外完全相同 1 从盒中一次随机取出2个球 求取出的2个球颜色相同的概率p 2 从盒中一次随机取出4个球 其中红球 黄球 绿球的个数分别记为x1 x2 x3 随机变量x表示x1 x2 x3中的最大数 求x的概率分布和数学期望e x 解析 1 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球 2个黄球或2个绿球 所以p 2 随机变量x的所有可能取值为2 3 4 x 4 表示的随机事件是 取到的4个球是4个红球 故p x 4 x 3 表示的随机事件是 取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球 故p x 3 于是p x 2 1 p x 3 p x 4 1 所以随机变量x的概率分布如下表 因此随机变量x的数学期望e x 2 3 4 思路分析 1 取出两个颜色相同的球 取出两个绿球 有种情况 取出两个黄球 有种情况 取出两个红球 有种情况 任取两个球有种情况 根据概率公式求概率即可 2 先确定x的所有可能取值 然后分别求出每个取值情况下的概率 然后可得分布列 进而求得数学期望 考点随机变量及其分布1 2017课标全国 理 18 12分 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售出的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温 单位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 20 25 需求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 b组统一命题 省 区 市 卷题组 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量x 单位 瓶 的分布列 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为y 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货量n 单位 瓶 为多少时 y的数学期望达到最大值 解析本题考查随机变量的分布列 数学期望 1 由题意知 x所有可能取值为200 300 500 由表格数据知p x 200 0 2 p x 300 0 4 p x 500 0 4 因此x的分布列为 2 由题意知 这种酸奶一天的需求量至多为500瓶 至少为200瓶 因此只需考虑200 n 500 当300 n 500时 若最高气温不低于25 则y 6n 4n 2n 若最高气温位于区间 20 25 则y 6 300 2 n 300 4n 1200 2n 若最高气温低于20 则y 6 200 2 n 200 4n 800 2n 因此ey 2n 0 4 1200 2n 0 4 800 2n 0 2 640 0 4n 当200 n 300时 若最高气温不低于20 则y 6n 4n 2n 若最高气温低于20 则y 6 200 2 n 200 4n 800 2n 因此ey 2n 0 4 0 4 800 2n 0 2 160 1 2n 所以n 300时 y的数学期望达到最大值 最大值为520元 2 2017山东理 18 12分 在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 现有6名男志愿者a1 a2 a3 a4 a5 a6和4名女志愿者b1 b2 b3 b4 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 另5人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含a1但不包含b1的概率 2 用x表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求x的分布列与数学期望ex 解析本题考查离散型随机变量的分布列 期望 1 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含a1但不包含b1的事件为m 则p m 2 由题意知x可取的值为0 1 2 3 4 则p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 因此x的分布列为 x的数学期望是ex 0 p x 0 1 p x 1 2 p x 2 3 p x 3 4 p x 4 0 1 2 3 4 2 解后反思 1 求离散型随机变量x的分布列的步骤 理解x的含义 写出x所有可能的取值 求x取每个值时的概率 写出x的分布列 2 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率 在求解时 要注意应用计数原理 古典概型概率公式等知识 3 2013课标全国 理 19 12分 一批产品需要进行质量检验 检验方案是 先从这批产品中任取4件作检验 这4件产品中优质品的件数记为n 如果n 3 再从这批产品中任取4件作检验 若都为优质品 则这批产品通过检验 如果n 4 再从这批产品中任取1件作检验 若为优质品 则这批产品通过检验 其他情况下 这批产品都不能通过检验 假设这批产品的优质品率为50 即取出的每件产品是优质品的概率都为 且各件产品是否为优质品相互独立 1 求这批产品通过检验的概率 2 已知每件产品的检验费用为100元 且抽取的每件产品都需要检验 对这批产品作质量检验所需的费用记为x 单位 元 求x的分布列及数学期望 解析 1 设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件a1 第一次取出的4件产品全是优质品为事件a2 第二次取出的4件产品都是优质品为事件b1 第二次取出的1件产品是优质品为事件b2 这批产品通过检验为事件a 依题意有a a1b1 a2b2 且a1b1与a2b2互斥 所以p a p a1b1 p a2b2 p a1 p b1 a1 p a2 p b2 a2 2 x可能的取值为400 500 800 并且p x 400 1 p x 500 p x 800 所以x的分布列为 ex 400 500 800 506 25 4 2014重庆 18 13分 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片 其中4张卡片上的数字是1 3张卡片上的数字是2 2张卡片上的数字是3 从盒中任取3张卡片 1 求所取3张卡片上的数字完全相同的概率 2 x表示所取3张卡片上的数字的中位数 求x的分布列与数学期望 注 若三个数a b c满足a b c 则称b为这三个数的中位数 解析 1 由古典概型的概率计算公式知所求概率为p 2 x的所有可能值为1 2 3 且p x 1 p x 2 p x 3 故x的分布列为 从而e x 1 2 3 评析本题考查概率的计算 随机变量的分布列及数学期望 其中概率的计算要求较高 不过整体难度不大 属中等偏易题 5 2014北京 16 13分 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下 假设各场比赛相互独立 1 从上述比赛中随机选择一场 求李明在该场比赛中投篮命中率超过0 6的概率 2 从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场 求李明的投篮命中率一场超过0 6 一场不超过0 6的概率 3 记为表中10个命中次数的平均数 从上述比赛中随机选择一场 记x为李明在这场比赛中的命中次数 比较ex与的大小 只需写出结论 解析 1 根据投篮统计数据 在10场比赛中 李明投篮命中率超过0 6的场次有5场 分别是主场2 主场3 主场5 客场2 客场4 所以在随机选择的一场比赛中 李明的投篮命中率超过0 6的概率是0 5 2 设事件a为 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0 6 事件b为 在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0 6 事件c为 在随机选择的一个主场和一个客场中 李明的投篮命中率一场超过0 6 一场不超过0 6 则c a b a b独立 根据投篮统计数据 可知p a p b p c p a p b 所以 在随机选择的一个主场和一个客场中 李明的投篮命中率一场超过0 6 一场不超过0 6的概率为 3 ex 6 2016山东理 19 12分 甲 乙两人组成 星队 参加猜成语活动 每轮活动由甲 乙各猜一个成语 在一轮活动中 如果两人都猜对 则 星队 得3分 如果只有一人猜对 则 星队 得1分 如果两人都没猜对 则 星队 得0分 已知甲每轮猜对的概率是 乙每轮猜对的概率是 每轮活动中甲 乙猜对与否互不影响 各轮结果亦互不影响 假设 星队 参加两轮活动 求 1 星队 至少猜对3个成语的概率 2 星队 两轮得分之和x的分布列和数学期望ex 解析 1 记事件a 甲第一轮猜对 记事件b 乙第一轮猜对 记事件c 甲第二轮猜对 记事件d 乙第二轮猜对 记事件e 星队 至少猜对3个成语 由题意 e abcd bcd acd abd abc 由事件的独立性与互斥性 得p e p abcd p bcd p acd p abd p abc p a p b p c p d p p b p c p d p a p p c p d p a p b p p d p a p b p c p 2 所以 星队 至少猜对3个成语的概率为 2 由题意 随机变量x可能的取值为0 1 2 3 4 6 由事件的独立性与互斥性 得p x 0 p x 1 2 p x 2 p x 3 p x 4 2 p x 6 可得随机变量x的分布列为 所以数学期望ex 0 1 2 3 4 6 评析本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望 确定随机变量可能的取值是解题的关键 属于中档题 7 2015湖南 18 12分 某商场举行有奖促销活动 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖 每次抽奖都是从装有4个红球 6个白球的甲箱和装有5个红球 5个白球的乙箱中 各随机摸出1个球 在摸出的2个球中 若都是红球 则获一等奖 若只有1个红球 则获二等奖 若没有红球 则不获奖 1 求顾客抽奖1次能获奖的概率 2 若某顾客有3次抽奖机会 记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为x 求x的分布列和数学期望 解析 1 记事件a1 从甲箱中摸出的1个球是红球 a2 从乙箱中摸出的1个球是红球 b1 顾客抽奖1次获一等奖 b2 顾客抽奖1次获二等奖 c 顾客抽奖1次能获奖 由题意 得a1与a2相互独立 a1与a2互斥 b1与b2互斥 且b1 a1a2 b2 a1 a2 c b1 b2 因为p a1 p a2 所以p b1 p a1a2 p a1 p a2 p b2 p a1 a2 p a1 p a2 p a1 p p p a2 p a1 1 p a2 1 p a1 p a2 故所求概率为p c p b1 b2 p b1 p b2 2 顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验 由 1 知 顾客抽奖1次获一等奖的概率为 所以x b 于是p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 故x的分布列为 x的数学期望为e x 3 8 2015四川 17 12分 某市a b两所中学的学生组队参加辩论赛 a中学推荐了3名男生 2名女生 b中学推荐了3名男生 4名女生 两校所推荐的学生一起参加集训 由于集训后队员水平相当 从参加集训的男生中随机抽取3人 女生中随机抽取3人组成代表队 1 求a中学至少有1名学生入选代表队的概率 2 某场比赛前 从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛 设x表示参赛的男生人数 求x的分布列和数学期望 解析 1 由题意 参加集训的男 女生各有6名 参赛学生全从b中学抽取 等价于a中学没有学生入选代表队 的概率为 因此 a中学至少有1名学生入选代表队的概率为1 2 根据题意 x的可能取值为1 2 3 p x 1 p x 2 p x 3 所以x的分布列为 因此 x的数学期望为e x 1 p x 1 2 p x 2 3 p x 3 1 2 3 2 评析本题主要考查随机事件的概率 古典概型 随机变量的分布列 数学期望等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力 9 2015陕西 19 12分 设某校新 老校区之间开车单程所需时间为t t只与道路畅通状况有关 对其容量为100的样本进行统计 结果如下 1 求t的分布列与数学期望et 2 刘教授驾车从老校区出发 前往新校区作一个50分钟的讲座 结束后立即返回老校区 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 解析 1 由统计结果可得t的频率分布为 以频率估计概率得t的分布列为 从而et 25 0 2 30 0 3 35 0 4 40 0 1 32 分钟 2 设t1 t2分别表示往 返所需时间 t1 t2的取值相互独立 且与t的分布列相同 设事件a表示 刘教授共用时间不超过120分钟 由于讲座时间为50分钟 所以事件a对应于 刘教授在路途中的时间不超过70分钟 解法一 p a p t1 t2 70 p t1 25 t2 45 p t1 30 t2 40 p t1 35 t2 35 p t1 40 t2 30 0 2 1 0 3 1 0 4 0 9 0 1 0 5 0 91 解法二 p p t1 t2 70 p t1 35 t2 40 p t1 40 t2 35 p t1 40 t2 40 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 09 故p a 1 p 0 91 1 2013浙江理 19 14分 设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出一个红球得1分 取出一个黄球得2分 取出一个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取 有放回 且每球取到的机会均等 2个球 记随机变量 为取出此2球所得分数之和 求 的分布列 2 从该袋子中任取 每球取到的机会均等 1个球 记随机变量 为取出此球所得分数 若e d 求a b c c组教师专用题组 解析 1 由题意得 2 3 4 5 6 故p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 所以 的分布列为 2 由题意知 的分布列为 所以e d 化简得解得a 3c b 2c 故a b c 3 2 1 评析本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列 期望 方差等概念 同时考查抽象概括 运算求解能力和应用意识 2 2015重庆 17 13分 端午节吃粽子是我国的传统习俗 设一盘中装有10个粽子 其中豆沙粽2个 肉粽3个 白粽5个 这三种粽子的外观完全相同 从中任意选取3个 1 求三种粽子各取到1个的概率 2 设x表示取到的豆沙粽个数 求x的分布列与数学期望 解析 1 令a表示事件 三种粽子各取到1个 则由古典概型的概率计算公式有p a 2 x的所有可能值为0 1 2 且p x 0 p x 1 p x 2 综上知 x的分布列为 故e x 0 1 2 个 3 2013湖南理 18 12分 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点 指纵 横直线的交叉点以及三角形的顶点 处都种了一株相同品种的作物 根据历年的种植经验 一株该种作物的年收获量y 单位 kg 与它的 相近 作物株数x之间的关系如下表所示 这里 两株作物 相近 是指它们之间的直线距离不超过1米 1 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 求它们恰好 相近 的概率 2 从所种作物中随机选取一株 求它的年收获量的分布列与数学期望 解析 1 所种作物总株数n 1 2 3 4 5 15 其中三角形地块内部的作物株数为3 边界上的作物株数为12 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 36种 选取的两株作物恰好 相近 的不同结果有3 3 2 8种 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 它们恰好 相近 的概率为 2 先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量y的分布列 因为p y 51 p x 1 p y 48 p x 2 p y 45 p x 3 p y 42 p x 4 所以只需求出p x k k 1 2 3 4 即可 记nk为其 相近 作物恰有k k 1 2 3 4 株的作物株数 则n1 2 n2 4 n3 6 n4 3 由p x k 得p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 故所求的分布列为 所求的数学期望为e y 51 48 45 42 46 4 2014四川 17 12分 一款击鼓小游戏的规则如下 每盘游戏都需击鼓三次 每次击鼓要么出现一次音乐 要么不出现音乐 每盘游戏击鼓三次后 出现一次音乐获得10分 出现两次音乐获得20分 出现三次音乐获得100分 没有出现音乐则扣除200分 即获得 200分 设每次击鼓出现音乐的概率为 且各次击鼓出现音乐相互独立 1 设每盘游戏获得的分数为x 求x的分布列 2 玩三盘游戏 至少有一盘出现音乐的概率是多少 3 玩过这款游戏的许多人都发现 若干盘游戏后 与最初的分数相比 分数没有增加反而减少了 请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 解析 1 x可能的取值为10 20 100 200 根据题意 有p x 10 p x 20 p x 100 p x 200 所以x的分布列为 2 设 第i盘游戏没有出现音乐 为事件ai i 1 2 3 则p a1 p a2 p a3 p x 200 所以 三盘游戏中至少有一次出现音乐 的概率为1 p a1a2a3 1 1 因此 玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 3 x的数学期望为ex 10 20 100 200 这表明 获得的分数x的均值为负 因此 多次游戏之后分数减少的可能性更大 评析本题主要考查随机事件的概率 古典概型 独立重复试验 随机变量的分布列 数学期望等基础知识 考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力 考查运算求解能力 应用意识和创新意识 5 2013天津理 16 13分 一个盒子里装有7张卡片 其中有红色卡片4张 编号分别为1 2 3 4 白色卡片3张 编号分别为2 3 4 从盒子中任取4张卡片 假设取到任何一张卡片的可能性相同 1 求取出的4张卡片中 含有编号为3的卡片的概率 2 在取出的4张卡片中 红色卡片编号的最大值设为x 求随机变量x的分布列和数学期望 解析 1 设 取出的4张卡片中 含有编号为3的卡片 为事件a 则p a 所以取出的4张卡片中 含有编号为3的卡片的概率为 2 随机变量x的所有可能取值为1 2 3 4 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 所以随机变量x的分布列是 随机变量x的数学期望ex 1 2 3 4 评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式 互斥事件 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 6 2014江西 21 14分 随机将1 2 2n n n n 2 这2n个连续正整数分成a b两组 每组n个数 a组最小数为a1 最大数为a2 b组最小数为b1 最大数为b2 记 a2 a1 b2 b1 1 当n 3时 求 的分布列和数学期望 2 令c表示事件 与 的取值恰好相等 求事件c发生的概率p c 3 对 2 中的事件c 表示c的对立事件 判断p c 和p 的大小关系 并说明理由 解析 1 当n 3时 的所有可能取值为2 3 4 5 将6个正整数平均分成a b两组 不同的分组方法共有 20种 所以 的分布列为 e 2 3 4 5 2 和 恰好相等的所有可能取值为n 1 n n 1 2n 2 又 和 恰好相等且等于n 1时 不同的分组方法有2种 和 恰好相等且等于n时 不同的分组方法有2种 和 恰好相等且等于n k k 1 2 n 2 n 3 时 不同的分组方法有2种 所以当n 2时 p c 3 由 2 知当n 2时 p 因此p c p 而当n 3时 p c p 理由如下 用数学归纳法来证明 i 当n 3时 式左边 4 2 4 2 2 16 式右边 20 所以 式成立 那么 当n m 1时 即当n m 1时 式也成立 综合 i ii 得 对于n 3的所有正整数 都有p c p 成立 评析本题主要考查随机变量的分布列 数学期望及概率和数学归纳法 同时考查学生的逻辑推理能力及分析 解决问题的能力 属难题 解答题 共70分 1 2017江苏扬州高三第一学期期中 22 某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖 学生来源人数如下表 若要求从10名学生中选出两名学生介绍学习经验 设其中来自高一 1 班的人数为 求随机变量 的分布列及数学期望e 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 60分钟分值 70分 解析随机变量 的取值可能为0 1 2 p 0 p 1 p 2 则随机变量 的分布列为 e 0 1 2 2 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 22 已知袋中装有大小相同的2个白球 2个红球和1个黄球 某项游戏规定 每个白球 红球和黄球的分值分别是0分 1分和2分 每一局从袋中一次性取出三个球 将3个球对应的分值相加后称为该局的得分 计算完得分后将球放回袋中 当出现第n局得n分 n n 的情况时就算游戏过关 同时游戏结束 若四局过后仍未过关 游戏也结束 1 求在一局游戏中得3分的概率 2 求游戏结束时局数x的分布列和数学期望e x 解析 1 设在一局游戏中得3分为事件a 则p a 故在一局游戏中得3分的概率为 2 x的所有可能取值为1 2 3 4 在一局游戏中得2分的概率为 则p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 x的分布列为 e x 1 2 3 4 3 2016江苏南京六校联考 22 袋中装有黑色和白色棋子共7枚 从中任取2枚棋子 都是白色的概率为 现甲 乙两人从袋中轮流取一枚棋子 甲先取 乙后取 然后甲再取 取后均不放回 直到有一人取到白棋即终止 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的 用x表示取棋子终止时取棋子的次数 1 求随机变量x的概率分布列和数学期望e x 2 求甲取到白棋的概率 解析设袋中白棋共有x枚 x n 则依题意知 即x2 x 6 0 解得x 3 x 2舍去 所以袋中的7枚棋子中3白4黑 1 随机变量x的所有可能取值是1 2 3 4 5 p x 1 p x 2 p x 3 p x 4 p x 5 所以随机变量x的分布列为 所以e x 1 2 3 4 5 2 2 记事件a 甲取到白棋 则事件a包括以下三个互斥事件 a1 甲第1次取棋子时取出白棋 a2 甲第2次取棋子时取出白棋 a3 甲第3次取棋子时取出白棋 依题意知p a1 p x 1 p a2 p x 3 p a3 p x 5 所以 甲取到白棋的概率p a p a1 a2 a3 p a1 p a2 p a3 4 2016江苏如皋中学阶段检测 24 一个袋中装有大小和质地都相同的10个球 其中黑球4个 白球5个 红球1个 1 从袋中任意摸出3个球 记摸到白球的个数为x 求随机变量x的概率分布列和数学期望e x 2 每次从袋中随机地摸出一球 记下颜色后放回 求3次摸球后 摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率 解析 1 随机变量x的所有可能取值为0 1 2 3 且p x i i 0 1 2 3 所以分布列是 x的数学期望e x 0 1 2 3 2 记3次摸球中 摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件a 则p a 所以3次摸球后 摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为 5 2016江苏苏州一模 23 一位网民在网上光顾某淘宝小店 经过一番浏览后 对该店铺中的a b c d e五种商品有购买意向 已知该网民购买a b两种商品的概率均为 购买c d两种商品的概率均为 购买e种商品的概率为 假设该网民是否购买这五种商品相互独立 1 求该网民至少购买4种商品的概率 2 用随机变量h表示该网民购买商品的种数 求h的概率分布列和数学期望 解析 1 记 该网民购买i种商品 为事件ai i 4 5 则p a5 p a4 所以该网民至少购买4种商品的概率为p a5 p a4 答 该网民至少购买4种商品的概率为 2 随机变量h的可能取值为0 1 2 3 4 5 p h 0 p h 1 p h 2 p h 4 p a4 p h 5 p a5 p h 3 1 p h 0 p h 1 p h 2 p h 4 p h 5 1 所以随机变量h的概率分布列为 故e h 0 1 2 3 4 5 6 2015江苏连云港 徐州 宿迁 淮安一模 22 某校开设8门校本课程 其中4门为人文科学 4门为自然科学 学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程 假设学生选修每门课程的概率均等 1 求小明至少选修1门自然科学课程的概率 2 已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学 2门自然科学 若该同学通过人文科学课程的概率都是 通过自然科学课程的概率都是 且各门课程通过与否相互独立 用 表示该同学所选的3门课程通过的门数 求随机变量 的分布列和数学期望 解析 1 记 小明至少选修1门自然科学课程 为事件a 则p a 1 1 所以小明至少选修1门自然科学课程的概率为 2 随机变量 的所有可能取值有0 1 2 3 p 0 p 1 p 2 p 3 所以 的分布列为 所以e 0 1 2 3 2 3 解答题 共35分 1 2017扬州中学高三月考 24 设某校新 老校区之间开车单程所需时间为t 单位 分钟 t只与道路畅通状况有关 对其容量为200的样本进行统计 结果如下 1 求t的分布列与数学期望e t 2 唐教授驾车从老校区出发 前往新校区进行一个50分钟的讲座 结束后立即返回老校区 求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 35分 解析由统计结果可得t的频率分布如下表 以频率估计概率得t的分布列为 所以e t 25 0 2 30 0 3 35 0 4 40 0 1 32 2 设t1 t2 单位 分钟 分别表示往 返所需的时间 t1 t2的取值相互独立 且与t的分布列相同 设事件a表示 唐教授共用时间不超过120分钟 由于讲座时间为50分钟 所以事件a对应 唐教授在途中的时间不超过70分钟 解法一 p a p t1 t2 70 p t1 25 t2 45 p t1 30 t2 40 p t1 35 t2 35 p t1 40 t2 30 0 2 1 0 3 1 0 4 0 9 0 1 0 5 0 91 解法二 p p t1 t2 70 p t1 35 t2 40 p t1 40 t2 35 p t1 40 t2 40 0 4 0 1 0 1 0 4 0 1 0 1 0 09 故p a 1 p 0 91 2 2016江苏扬州中学质检 23 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水库年入流量x 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立