高考数学二轮复习 专题五 立体几何与空间向量 第3讲 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

第3讲立体几何中的向量方法 专题五立体几何与空间向量 热点分类突破 真题押题精练 热点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量分别为 a2 b2 c2 v a3 b3 c3 则有 1 线面平行l a a 0 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 线面垂直l a a k a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 3 面面平行 v v a2 a3 b2 b3 c2 c3 4 面面垂直 v v 0 a2a3 b2b3 c2c3 0 例1如图 在直三棱柱ade bcf中 面abfe和面abcd都是正方形且互相垂直 点m为ab的中点 点o为df的中点 运用向量方法证明 1 om 平面bcf 证明 证明方法一由题意 得ab ad ae两两垂直 以点a为原点建立如图所示的空间直角坐标系 棱柱ade bcf是直三棱柱 且om 平面bcf om 平面bcf 又om 平面bcf om 平面bcf 2 平面mdf 平面efcd 证明 思维升华 证明方法一设平面mdf与平面efcd的一个法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 n1 n2 0 平面mdf 平面efcd 方法二由题意知 bf bc ba两两垂直 om cd om fc 又cd fc c cd fc 平面efcd om 平面efcd 又om 平面mdf 平面mdf 平面efcd 思维升华用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 即化归为证明线线平行 用向量方法证明直线a b 只需证明向量a b r 即可 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 跟踪演练1如图 在底面是矩形的四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 点e f分别是pc pd的中点 pa ab 1 bc 2 1 求证 ef 平面pab 证明 证明以点a为原点 ab所在直线为x轴 ad所在直线为y轴 ap所在直线为z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 2 0 d 0 2 0 p 0 0 1 点e f分别是pc pd的中点 即ef ab 又ab 平面pab ef 平面pab ef 平面pab 2 求证 平面pad 平面pdc 证明 又ap ad a ap ad 平面pad dc 平面pad dc 平面pdc 平面pad 平面pdc 热点二利用空间向量求空间角设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 平面 的法向量分别为 a3 b3 c3 v a4 b4 c4 以下相同 1 线线夹角 例2在三棱柱abc a1b1c1中 ab 平面bcc1b1 bcc1 ab bc 2 bb1 4 点d在棱cc1上 且cd cc1 0 1 建立如图所示的空间直角坐标系 1 当 时 求异面直线ab1与a1d的夹角的余弦值 解答 2 若二面角a b1d a1的平面角为 求 的值 解答 思维升华 故 的值为1 思维升华 1 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量坐标 结合公式进行论证 计算 转化为几何结论 2 求空间角注意 两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 即cos cos 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角 有可能为两法向量夹角的补角 直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值 注意函数名称的变化 跟踪演练2如图 在四棱锥s abcd中 sd 平面abcd 四边形abcd是直角梯形 adc dab 90 sd ad ab 2 dc 1 1 求二面角s bc a的余弦值 解答 解以d为坐标原点 建立如图所示空间直角坐标系dxyz 则d 0 0 0 b 2 2 0 c 0 1 0 s 0 0 2 设平面sbc的法向量为n1 x y z 得2x 2y 2z 0且y 2z 0 取z 1 得x 1 y 2 所以n1 1 2 1 是平面sbc的一个法向量 因为sd 平面abc 取平面abc的一个法向量n2 0 0 1 设二面角s bc a的大小为 由图可知二面角s bc a为锐二面角 解答 设pe与平面sad所成的角为 热点三利用空间向量求解探索性问题存在探索性问题的基本特征是要判断在某些确定条件下的某一数学对象 数值 图形 函数等 是否存在或某一结论是否成立 解决这类问题的基本策略是先假设题中的数学对象存在 或结论成立 或暂且认可其中的一部分结论 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 例3如图 在四棱锥e abcd中 平面abe 底面abcd 侧面aeb为等腰直角三角形 aeb 底面abcd为直角梯形 ab cd ab bc ab 2cd 2bc 1 求直线ec与平面abe所成角的正弦值 解答 解因为平面abe 平面abcd 且ab bc 平面abe 平面abcd ab bc 平面abcd 所以bc 平面abe 则 ceb即为直线ec与平面abe所成的角 2 线段ea上是否存在点f 使ec 平面fbd 若存在 求出 若不存在 说明理由 解答 思维升华 证明如下 取ab中点o为坐标原点 ob od oe分别为x y z轴建立空间直角坐标系 如图所示 设cd 1 则e 0 0 1 a 1 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 且ec 平面fbd 所以ec 平面fbd 思维升华空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以为使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法 解答 1 求二面角f de c的大小 解因为af ab 平面abcd 平面abef 平面abef 平面abcd ab 所以af 平面abcd 所以af ad 因为四边形abcd为正方形 所以ab ad 所以ad ab af两两垂直 以a为原点 ad ab af分别为x y z轴建立空间直角坐标系 如图 设平面cde的一个法向量为n x y z 由勾股定理可知 af 1 be 2 所以a 0 0 0 b 0 2 0 c 2 2 0 d 2 0 0 e 0 2 2 f 0 0 1 同理可得平面def的一个法向量m 1 1 2 2 若在平面def上存在点p 使得bp 平面def 试通过计算说明点p的位置 解答 所以p是线段de上靠近e的三等分点 真题体验 1 2017 浙江改编 如图 已知正四面体d abc 所有棱长均相等的三棱锥 p q r分别为ab bc ca上的点 ap pb 分别记二面角d pr q d pq r d qr p的平面角为 则 的大小关系为 答案 解析 1 2 解析如图 作出点d在底面abc上的射影o 过点o分别作pr pq qr的垂线oe of og 连接de df dg 则 deo dfo dgo 由图可知 它们的对边都是do 只需比较eo fo go的大小即可 1 2 如图 在ab边上取点p 使ap 2p b 连接oq or 则o为 qrp 的中心 设点o到 qrp 三边的距离为a 则og a of oq sin oqf oq sin oqp a oe or sin ore or sin orp a of og oe 1 2 1 2 证明 2 2017 北京 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 平面pad 平面abcd 点m在线段pb上 pd 平面mac pa pd ab 4 1 求证 m为pb的中点 证明设ac bd交于点e 连接me 如图所示 因为pd 平面mac 平面mac 平面pdb me 所以pd me 因为四边形abcd是正方形 所以e为bd的中点 所以m为pb的中点 1 2 2 求二面角b pd a的大小 1 2 解答 解取ad的中点o 连接op oe 因为pa pd 所以op ad 又因为平面pad 平面abcd 平面pad 平面abcd ad 且op 平面pad 所以op 平面abcd 因为oe 平面abcd 所以op oe 因为四边形abcd是正方形 所以oe ad 如图 建立空间直角坐标系oxyz 1 2 设平面bdp的法向量为n x y z 1 2 平面pad的法向量为p 0 1 0 由题意知 二面角b pd a为锐角 1 2 3 求直线mc与平面bdp所成角的正弦值 设直线mc与平面bdp所成的角为 则 1 2 解答 押题预测 证明 押题依据利用空间向量求二面角全面考查了空间向量的建系 求法向量 求角等知识 是高考的重点和热点 2017届太原模拟 如图 在几何体abcdef中 四边形abcd是菱形 be 平面abcd df be df 2be 2 ef 3 1 证明 平面acf 平面befd 押题依据 证明 四边形abcd是菱形 ac bd be 平面abcd be ac 又be bd b be bd 平面befd ac 平面befd ac 平面acf 平面acf 平面befd 2 若二面角a ef c是直二面角 求ae与平面abcd所成角的正切值 解答 解方法一 向量法 设ac与bd交于点o 以点o为原点 oa方向为x轴 ob方向为y轴 be方向为z轴建立空间直角坐标系 如图 取df的中点h 连接eh be綊dh dh 1 四边形behd为平行四边形 在rt ehf中 fh 1 ef 3 二面角a ef c是直二