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l 设p0，q0，且p3+q3=2，求证：p+q2.考查 不等式的证明 基本不等式 导数在函数中的应用 解答1 利用一元二次方程有实根的判别式法方法一：设p+q=k，则有q=k-p，两边立方，得q3=(k-p)3=k3-3k2p+3kp2-p3，即p3+q3=k3-3k2p+3kp2，又因为p3+q3=2，所以得到3kp2-3k2p+k3-2=0 因为p0，q0，所以k0，从而关于p的方程（）有实根，故=(3k2)2-12k(k3-2)0，解得k2，即p+q2.方法二：利用p3+q3=(p+q)3-3pq(p+q)=2,pq=； 设p+q=k，从而pq=，故p、q是关于x的方程x2-kx+=0的两个实根，从而=k2-40，即，解得（说明：亦可以由k0，得到k3-80），所以p+q2.2 利用简易逻辑中的反证法方法三：假设p+q2，则p2-q，两边立方得p38-12q+6q2-q3，而p3+q3=2，6q2-12q+60，即6(q-1)22，则p2-q，两边立方得p38-12q+6q2-q3，即得p3+ q38-12q+6q2=6(q-1)2+22，从而p3+ q32，这与已知条件“p3+q3=2”矛盾，故p+q2.3 利用基本不等式或均值不等式方法五：pq=，又p+q0，所以得到4(p+q)3-83(p+q)3，即(p+q)38，从而p+q2.方法六：因为p0，q0，所以p+q，两边平方得pq ； 又因为(p+q)3=p3+q3+3pq(p+q)=2+3pq(p+q) 2+3，解得p+q2.方法七：因为p0，q0，所以，两式相加，因为p3+q3=2，得.4 用导数在函数中的应用来求解方法八：设x=p，则根据条件有q3=2-x3，从而q=，设函数，其中(0, )，求导，；令，得，列表得x(0,1)1(1, )+0-f(x)极大值（最大值）从而，即p+q2.（说明：事实上，通过上面的分析，得到.方法九：由于p3+q3=2，所以1-p3=q3-1，故p3,1,q3成等差数列，设公差为d，则有p3=1-d，q3=1+d，其中d(-1,1)，p+q=；记，可见函数在区间(-1,0)上是增函数，在区间(0,1)上是减函数，从而，即p+q2.方法十：根据条件有，又，设即，其中然后求导（略）.5 利用向量来求解方法十一：设m=(,)，n=(,)，则有mn|m|n|， 即p2+q2，即p2+q2，而，所以，解得p+q2.6 利用函数的凸性来解方法十二：考
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