高考数学 321精品系列专题07 直线与圆的方程（教师版）.doc

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题07 直线与圆的方程（教师版）【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布2012考纲解读（3）空间直角坐标系了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. 会推导空间两点间的距离公式.考纲解读：直线问题难度不大，单独命题可能性不大，常与圆、圆锥曲线相结合，要注意数形结合、分类讨论思想的应用；直线的平行与垂直常与充要条件的判断相结合；直线方程要注意适用的条件，特别是点斜式与斜截式应用较多，要注意分类讨论.直线与圆的位置关系一直是命题的热点，多在选择、填空题中出现；会用待定系数法求圆的方程；注意利用圆的性质解题（相切、弦长、位置关系等）近几年考点分布 直线与圆的方程考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。直线与圆的方程所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。【考点pk】名师考点透析考点一、直线的方程例1.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点a（-3，4）；（2）斜率为. (2)若（x1,y1），（x,y），则。2.直线的方程a.点斜式：； b.斜截式：；c.两点式：； d.截距式：；e.一般式：，其中a、b不同时为0.考点二、两直线的位置关系例2.求过两直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.=，故直线l2也是符合条件的一解.综上所述，所求直线方程为x+5y+5=0或5x-y-1=0.【名师点睛】1.直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若 若a1、a2、b1、b2都不为零。l1/l2；l1l2 a1a2+b1b2=0；l1与l2相交；l1与l2重合；注意：若a2或b2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.2.夹角与到角：l1到l2的角：直线l1绕交点依逆时针旋转到l2所转的角有tan=（k1k2-1）。l1与l2的夹角，有tan=|（k1k2-1）。2 3.距离考点三、曲线与方程例3、已知o的半径为3，直线l与o相切，一动圆与l相切，并与o相交的公共弦恰为o的直径，求动圆圆心的轨迹方程.解：取过o点且与l平行的直线为x轴，过o点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为m（x，y），o与m的公共弦为ab，m与l切于点c，则|ma|=|mc|.ab为o的直径，mo垂直平分ab于o.由勾股定理得|ma|2=|mo|2+|ao|2=x2+y2+9，而|mc|=|y+3|，=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.【名师点睛】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法 待定系数法；（2）双动点的轨迹问题代入法；（3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。考点四、圆的方程例4.已知半径为5的动圆c的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆c过点(-5,0),求圆c的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆c中满足与圆o:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆c的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组可得或故所求圆c的方程为 (x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆o的圆心(0,0)到直线l的距离d=.当r满足r+5d时，动圆c中不存在与圆o：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5d时，r每取一个数值，动圆c中存在两个圆与圆o：x2+y2=r2相外切；当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆c中有且仅有1个圆与圆o：x2+y2=r2相外切.【名师点睛】（1）圆方程的三种形式参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是（其中为参数）以（a，b）为圆心、r为半径的圆的参数方程为（为参数），的几何意义是：以垂直于y轴的直线与圆的右交点a与圆心c的连线为始边、以c与动点p的连线为终边的旋转角，如图所示三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：2二元二次方程是圆方程的充要条件“a=c0且b=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件二元二次方程表示圆的充要条件为“a=c0、b=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得3参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，考点五、直线、圆的位置关系例5.从点a（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点b（b,0)，则kab=,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=.方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.消去b得=1.即12k2+25k+12=0,k1=-,k2=-.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.【名师点睛】1.直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心c到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0)上,n2=2pm,l2=2pk.为定值.2（河北省唐山一中2011届高三理）已知过点（1,1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.3(福建省三明市2011年高三三校联考文科)（本小题满分12分）已知可行域的外接圆与轴交于点、，椭圆以线段为长轴，离心率 （1）求圆及椭圆的方程（2）设椭圆的右焦点为，点为圆上异于、的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。 解：（ 1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形1分因为 为直角三角形外接圆是以原点o为圆心，线段为直径的圆故其方程为3分设椭圆的方程为 又 ，可得故椭圆的方程为5分所以直线的方程为，因此点的坐标为（2, 9分10分当，当， 综上，当时，故直线始终与圆相切12分【一年原创】 原创试题及其解析1、直线yx.与圆x2y24x10的位置关系是 ()a直线与圆相切 b直线与圆相交但不过圆心c直线与圆相离 d直线过圆心解析：圆的标准方程为(x2)2y23.又圆心(2,0)到直线yx的距离dr，直线与圆相切答案：a2、直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是 ()a(0，1) b(1，1)c(1，1) d(0，1)解析：圆心(0，a)，半径ra.a，0a1.答案：a3、若p(2，1)为圆(x1)2y225的弦ab中点，则直线ab的方程是 ()axy30 b2xy30 cxy10 d2xy50 答案：a4、圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为的点共有 ()a1个 b2个 c3个 d4个解析：圆的圆心(1，2)，半径r2，而圆心到直线xy10的距离为.答案：c5、若直线2xyc0按向量a(1，1)平移后与圆x2y25相切，则c的值为 ()a8或2 b6或4 c4或6 d2或8答案：a6、若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为解析：选d如图所示，直线与圆相切之间的情形符合题意，计算圆心（2，0）到直线的距离等于圆半径1，即，解得，所以.7、过点a(4,1)的圆c与直线相切于点b(2,1)则圆c的方程为 .【答案】8、过点（2,3）作圆x2y24的切线，则切线方程为_ _9、若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 。1610、一直线经过点p(3，)被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在直线方程解：(1)直线l的方程可化为yx，直线l的斜率k，因为|m|(m21)，所以|k|，当且仅当|m|1时等号成立所以斜率k的取值范围是，(2)不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆c的圆心为c(4，2)，半径r2.圆心c到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.从而，若l与圆c相交，则圆c截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆c分割成弧长的比值为的两段弧12、已知圆c经过p(4，2)，q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线pq与圆c的方程；(2)若直线lpq，且l与圆c交于点a、b，aob90，求直线l的方程【考点预测】 2013高考预测（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；复习建议抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面：（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍（m0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论；（4）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终【母题特供】母题一： 金题引路：已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称，（1）求k、b的值；（2）若这时两圆的交点为a、b，求aob的度数.母题二： 金题引路：已知圆c经过p（4， 2），q（ 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5（1）求直线pq与圆c的方程（2）若直线lpq，且l与圆c交于点a、b，求直线l的方程解：(1) pq为，c在pq的中垂线 所求圆的方程为 (2) 设l为由，得设a（x1，y1），b（x2，y2），则 ， m = 3或 4（均满足） l为母题三： 金题引路： 已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，的面积为（1）试将表示成的函数，并求出其定义域；（2）求的最大值，并求取得最大时的值（2