湖北省武汉市吴家山中学高中数学 3.1函数与方程同步辅导 新人教A版必修1.doc

第三章 函数的应用章前概览内容提要：学法指导：1.针对本章内容的重点及难点，学习本章应抓好以下几个方面学习方法、学习思想及学习工具.（1）抓方法：抓住方程的根与函数的零点的联系；抓住二分法求方程近似解的步骤和求解实质；抓住解决函数应用问题的基本方法设、建、解、答四个步骤；（2）抓思想：抓住解决函数与方程问题的数形结合、转化与化归、函数与方程、分类讨论的数学思想；（3）抓工具：注意现代化的教学工具及信息技术的运用（如计算机、计算器等）.2.通过本章学习，要深刻理解并掌握运用函数与方程、数形结合、转化与化归以及分类讨论的思想解决问题，并及时对同类型问题进行归纳总结.第一节 函数与方程 学点：探究与梳理自主探究探究问题1： 方程的解为 ,函数的图像与轴有 个交点，横坐标为 ；方程的解为 ，函数的图像与轴有 个交点，横坐标为 .根据以上结果，你能得到什么结论？此结论能推广到任意函数吗？探究问题2： 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有0，那么函数在区间内一定有零点吗？零点的个数一定是一个吗？反过来成立吗？试结合图形分析探究问题3： 有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球？要求次数越少越好重点把握1函数的零点就是方程的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根函数的零点又是函数的图像与轴交点的横坐标，因此判断时常借助函数的图象2判断一个函数是否有零点，首先看函数在区间上的图像是否连续，然后看是否有0，若存在，那么在区间内必有零点，当只有一个零点时称此零点为变号零点，且相邻两个零点之间的函数值保持同号；反过来，若，那么函数在区间内不一定没有零点。函数零点存在性定理的逆定理不一定成立，例如函数在区间上有零点，但对于较复杂的函数，证明其恰有个零点时，可以先借助图像找出有个零点，再利用函数单调性证明仅有个零点.3二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法， 二分法求方程近似解的步骤可简单概括为：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间，周而复始怎么办？精确度上来判断。用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.题例：解析与点拨例1 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为_ x-101230.3712.727.3920.0912345解析：令由表格知，由于所以根所在的区间为（1,2）.点拨：解题的关键是与差的符号，构造函数将求方程的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解变式训练1： 若函数为定义在r上的奇函数，且当时，试判断函数的零点个数.例2 已知关于的方程分别求的取值范围，使得：（1）方程仅有一根或有两个相等的根；（2）方程有一正一负两根；（3）方程有两个不相等的根，且都大于1；（4）方程有两根，且一根大于1,另一根小于1.解析：（1）当时，方程即为解得符合题意：当时，方程为一元二次方程，因为方程有两个相等的根，所以 解得综上可知，当或时，关于的方程有一根或 有两个相等的根.（2）因为方程有一正一负两根，由根与系数的关系得两根之积，解得即当时，方程有一正一负两根.（3）当方程两根都大于1时，函数的图象大致如下图所示.所以必须满足或此时不等式组无解. 所以不存在实数，使方程有两个不相等的根，且都大于1.（4）因为方程有一根大于1,一根小于1,所以函数的图象大致如下图所示， 所以必须满足或解得即当时，方程有两根，且一根大于1,一根小于1.点拨：函数的零点将函数与方程联系起来，实现了函数与方程之间的转化，因此函数零点的应用，特别是用于研究一元二次方程实根的分布问题，是高考考查的一个热点内容，应重点掌握.解一元二次方程实根的分布问题应从以下四点来考虑：开口方向；判别式；对称轴；端点处的函数值符号。变式训练2： 当取何值时，关于的方程的一个根在区间内，另一个根在区间内？例3. 用二分法求方程的近似解（精确度0.1）.解析：作出的图象，可以发现方程有唯一解，记为，并且（1,2）.设，用计算器计算得 .所以方程的近似解可取为1.8125.点拨：用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求（达到给定的精确度），以决定是停止计算还是继续计算.变式训练3： 用二分法求方程的一个正实数近似解（精确度0,1）.例4 设，试讨论关于的方程的实根的个数.解析：原方程等价于整理得在同一坐标系中分别作出函数及的图象，（1）当或时，函数图象无交点，故原方程无实数解；（2）当或时，函数图象有一个交点，故原方程有一个实数解；（3）当时，函数图象有两个交点，故原方程有两个实数解.点拨：方程实数根的个数，即为函数的图象与的图象交点的个数.通常采用分离参数转化为的结构，讨论直线与函数的图象交点的个数，求解时应注意函数的定义域.变式训练4： 方程的解可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标.若方程的各个实根所对应的点均在直线的同侧，则实数的取值范围是 .学业水平测试巩固基础1 若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）a 若，不存在实数使得；b 若，存在且只存在一个实数使得；c 若，有可能存在实数使得；d 若，有可能不存在实数使得；2 设,用二分法求方程内近似解的过程中得则方程的根落在区间（ ）a b c d 不能确定3方程的实数根的个数是 ( )a . 1 b . 2 c . 3 d. 无数个4.已知函数在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值（精确度0.1），则需要将区间对分的次数至少为（ ） a.3 b.4 c.5 d.65已知，是函数的两个零点，且则实数的大小关系是 （ ） a. b. c. d. 6. 函数的零点个数为_7设是方程的解，且是整数），则= .8若关于的方程恰有两个不等实根，则实数的取值范围为_ _9已知关于的函数恒有零点. （1）求的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为，求的值.10在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量轻一点），现在只有一台天平，请你设计一个最优方案，利用该方案最多称几次就可以发现这枚假币？能力提升11 若是方程的解，是 的解，则的值为（ ）a b c d 12用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间上，当时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过 （ ） a. b. c. d.13.设函数,若则关于的方程解的个数是（ ） a.1 b.2 c.3 d.414.若方程在区间（是整数，且）内有一根，则_15.已知函数，两函数图象有_个公共点，其横坐标分别为_16已知函数仅有一个零点，求的取值范围，并求出零点.17已知函数. （1）求证：在其定义域上是增函数；（2）求证：在其定义域内有且只有一个零点；（3）用二分法求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过.拓展创新18.定义在上的偶函数在上递增，函数的一个零点为，求满足的的取值集合.19.已知函数，试利用基本初等函数的图像，判断有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间（各区间长度不超过1）.20. 已知定义在实数集上的函数满足.（1）若函数有三个零点，且其中一个为0，求的另外两个零点；（2）若函数是偶函数，且当时，求在上的解析式.自主发展函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量之间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数。 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决；方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的第三章第一节参考答案：变式训练 1. 3个； 2. 或 ； 3. 0.75 ； 4.或；学业水平测试 1.c 2.b 3.b 4.b 5.a 6.1 7.2 8.或9.(1) (2) 10.4次11.d 12.b 13.c 14.-3 15.2,和4 16.，有唯一零点0 17.（1）、（2）略，（3）.18. ，又是偶函数，且在上递增， 当，即时，解得， 由对称性可知，当时，.综