圆的有关性质初中数学.doc

圆的有关性质 1教学目标 知识目标：了解圆周角的概念，理解圆周角定理及其证明，并能应用圆周角定理与推论进行论证和计算。能力目标：经历探索圆周角定理的过程，增强推理意识，掌握说理的基本方法，体会分类、转化的基本思想，积累研究问题的基本经验。情感目标：在探究交流活动中，培养学生探究、团结协作的精神；民主、和谐的课堂中让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，培养学生自信心。2教材分析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路,在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用，为后继解决与圆有关的问题提供了知识储备。3学情分析 结合学生的年龄特点，我确定了以学生独立思考、合作交流为主的学习方式。整合人教版和北师大版教材优势，把学生认为较难理解的圆周角定理中的证明的分类进行了整合，立足学生实际，立足学生对知识的自然生成理解，通过一系列的探索性活动，探究位置关系，探究位置关系中的分类，使学生的学习经历“经历作图测量猜想验证的过程，让学生在具体的学习中感知在某些数量比较多的无限问题中，采用分类的方式将无限转化为有限，用完全归纳法进行推理论证。4重点难点 本节课的重点是探索圆周角的性质，探索二字占据了课堂的主要阵地，因此本节课的难点：通过分类讨论，推理、验证圆周角定理。5教学过程 5.1 第4学时圆周角 教学活动 活动1【导入】（一）情景创设，认识圆周角 问题：足球训练场上教练球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图1，甲、乙、名球员选择离球门AB较近的点C射门，教练说仅从射门的角度考虑，选择以A、B、C三点所在圆上的点D、E、C射门，效果一样。你认为教练的说法有道理吗？设计说明：从众多的生活问题中，找出与课题相关的具体问题，也是学生感兴趣的问题出发，激发学生学习的欲望，为主题学习做铺垫.活动2【活动】（二）抽象模型感知新知 让学生观察张角ACB、ADB、AEB，提问它们在角的顶点和角的两边上有什么共同点？（多媒体出示）引导学生找出圆周角的特征，并给出命名与定义。之后，在细节中，专门强调几何语言的书写。对概念了解之后，设置了辨析圆周角与画出弧BC所对的圆周角。这里选择新旧知识的切入点，既复习上节课内容，又激发学生学习新知识的兴趣，加强各知识点之间的联系。让学生自己给圆周角下定义，提高学生语言组织概括能力。图形辨析，及时巩固圆周角的概念，使学生能正确了解圆周角的概念。紧扣图形特征，归纳概念。细节体现，一类比得出命名；二弧ADB是AB所对的圆周角；三，图形辨析，增强学生的试图能力。活动3【活动】(三)动手实践启发猜想 1.在上图中作出BC所对的圆心角，并度量BC所对的圆周角与圆心角的度数，你有什么发现？2.四人小组相互观察组内所画的圆周角与圆心O的位置关系.在学生自主学习后，引导学生归纳猜想。几何画板直观演示，验证猜想（改变点A的位置，改变弧BC的大小，改变圆的大小，度量BAC,BOC的度数，让学生感受图形的变化与它们之间的数量关系的不变，为下面的探究打下铺垫）同学们测量了自己所画图形中弧BC所对的一个圆周角与圆心角，发现猜想了他们之间的关系。可是，弧BC所对的圆周角有无数个，这无数个同弧所对的圆周角与圆心角是不是都具有与你们所发现的关系一样呢？引导学生经历观察、猜想、操作等基本教学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：同弧所对的圆周角和圆心角的关系；同弧所对的圆周角的关系。教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，在运动变化的过程中寻找不变的关系.活动4【活动】（四）数学思考验证猜想 探究圆周角与圆心的三种位置关系操作验证：在操作验证环节，我创设了思、做、验三个层次。思同学们测量了自己所画图形中弧BC所对的一个圆周角与圆心角，发现猜想了他们之间的关系。可是，弧BC所对的圆周角有无数个，这无数个同弧所对的圆周角与圆心角是不是都具有与你们所发现的关系一样呢？做学生在小组学习中，感知图形的不同，自然开始思考为什么不同。紧接着教师用几何画板，引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，在运动中感知分类，并得出分类的标准。学生通过观察与自己的图形比照，就会自主地把图形进行分类，让学生享受成功的喜悦，进行思维调控，得出正确的结论。验教师用“几何画板”直观演示，让学生感受分类将画板中的图形进行分类图(a)、(e)同类，图(b)、(d)同类，图(c)一类，归纳出圆心与圆周角的三种位置关系。【设计意图】以学生自主建构、小组交流、动态演示的方式，帮助学生发现并理解圆心与圆周角的三种位置关系，在活动中，让学生感知分类，并理解了分类的要求（不重不漏）为分情况证明圆周角定理奠定基础。此处分类的标准是关键，教学中，让学生通过合作探究，学会运用分类讨论的教学思想研究问题，培养学生思维的完整性和深刻性。2.探究同弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系猜想:在O中，BAC是BC所对的圆周角，BOC是BC所对的圆心角.求证：BAC=BOC.第一类：当圆心O在圆周角BAC的一边上时,试说明BAC=BOC.证明：BOC是ABO的外角，BOC=B+A.OA=OB，A=B.BOC=2A即BAC=BOC.当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角BAC的边AC部分就是O的直径，因此给予证明思路的寻找带来了不少方便。接着，抛出问题，这是不是就能说明我们的猜想是正确的？可以代表第2、3种情况吗？你能将图2转化为上图中的问题去解决吗？）第二类：圆心在圆周角内部添加直径AD辅助线把弧BC所对的圆周角和圆心角分开研究，将图1转化成了圆心在圆周角的一边上的情况，将BAC分成了两个圆周角的和，就可以利用了图2的结论，构造了角与角的和证明了猜想第三类：圆心在圆周角外部我们在研究后两种图形的时候，都借助了直径将一般图形向特殊图形转化，最终不论哪种情况我们都得出了同一个结论。说明，在这三种位置关系下，都有BAC=BOC。在证明这个猜想时，我们对这三种图形分类证明，这也是我们解决数学问题常用的一种的方法，叫做分类穷举法或者完全归纳法；在证明时，我们将图1和图3通过添加适当的辅助线都转化成图2的特殊位置进行证明，这体现了数学中由特殊到一般的化归思想。这就是我们的圆周角定理，用文字语言叙述为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【设计意图】对于无限的圆周角转化为三类，无限到有限，而在验证中特殊的情况解决一般的情况，体现了特殊到一般的思想。而教师通过适时的点拨与引导，放手让学生自主探究、合作交流，促进了学生的发展。本环节以学生活动为核心，通过学生自主探究、合作交流，促进了学生的自主发展，突出了重点。并通过教师启发、引导，环环相扣，突破难点。给学生足够的探索时间和想象空间，教师深入课堂对学生进行适时的点拨、指导，有意识地培养学生解决问题的基本能力，鼓励创造性思维，师生互动，彼此形成一个“学习共同体”，拉近师生的距离，增进了师生的情感交流。活动5【练习】（五）小组合作深入思考 以小组为单位，完成下面的题目，看看你们发现了什么？1.如图1，BC是O的直径，A是O上任一点，BAC=.2.如图2，圆周角BAC90，弦BC经过圆心O吗？为什么？3.如图3中，点D，C，E，F在O上，则F=.4.如图4，若ABCD，则E=.图1图2图3图45.根据上面的1-4题，我们发现：同弧或等弧所对的相等；半圆（或直径）所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是.【设计意图】意在加深学生对知识的了解，培养学生自主学习的习惯，引导学生自主建构圆周角、圆心角、弧、弦的关系.并顺利得到了圆周角定理的推论。活动6【活动】（六）应用定理巩固提高 例4如图，O直径AB为10cm，弦BC为6cm，ACB的平分线交O于D.则(1)ACB=，AC=cm.(2)求AD和BD的长.【设计意图】通过改编教材例题，引导学生将弧、弦、圆周角与圆心角的关系有机结合起来，在习题分析中应用新知，巩固所学知识。活动7【活动】（七）梳理小结，内化新知 1.这节课我们获得了哪些数学知识？2.在获得知识的过程中，用到了哪些数学思想方法？3.还有哪些疑惑没有解决？【设计意图】引导学生对本课探索学习中所运用的数学思想、方法，得到的新知识、新旧知识的联系等进行小结、反思。这样可以充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通.活动8【练习】（八）拓展延升灵活应用 如图，点A、B、C在O上，点D在圆外，CD、BD分别交O于