解三角形(正弦定理和余弦定理)专项训练.doc

解三角形正弦定理和余弦定理专项训练方法技巧命题类型：（1）正弦、余弦定理的应用（2）三角形形状的判定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由ABC180及，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2b2c22bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理求出另一边b的对角B，由C(AB)，求出C，再由，求出c，而通过求B时，可能出现一解，两解或无解的情况.一、选择题1.在中，角所对的边分别为.若，则(A)- (B) (C) -1 (D) 1【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【精讲精析】由可得 所以选D.2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60 C120 D150解析：由sinC2sinB可得c2b，由余弦定理得cosA，于是A 30，故选A.3在ABC中，a15，b10，A60，则cosB()A B. C D.解析：选D.由正弦定理得，sinB.ab，A60，B为锐角cosB .二、填空题4.已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积_【思路点拨】设三角形一边的长x，可以用x表示其它两边，再利用余弦定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求出的面积.【精讲精析】设三角形长为x，则另两边的长为x-4,x+4,那么 【答案】5已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且SABC，那么角C_.解析：由absinC得sinC.根据余弦定理得cosC，得sinCcosC，即tanC1，故C.6.在中，则的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简，统一角变量，然后求最大值.【精讲精析】令，则由正弦定理得且，(其中当时，取最大值为7.ABC中，B=120，AC=7，AB=5，则ABC的面积为_【思路点拨】用余弦定理求得边BC的值，由求得三角形的面积【精讲精析】设，由余弦定理，得，解得，8. 满足A45，a2，c的ABC的个数为_【思路分析】直接利用正弦定理求解【解析】由正弦定理得，故，即sinC，C60或120.当C60时，可得B75；当C120时，可得B15.显然这两解均符合题意，故这样的三角形有2个【方法总结】已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况三、解答题9.在ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB，cosADC，求AD的长【解】由cosADC0知B，由已知得cosB，sinADC，从而sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB. 由正弦定理得，所以AD25.【名师点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查 10. 在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b的值；(2)若sinB2sinA，求ABC的面积【思路分析】由正、余弦定理及面积公式列关于a，b的方程组【解】(1)由余弦定理得a2b2ab4，又因为ABC的面积等于，所以absinC，得ab4.联立方程组解得a2， b2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b2a，联立方程组解得a，b.所以ABC的面积SabsinC.【规律小结】余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，在能够确定三边的情况下求三角形的面积，只要再求得三角形的一个角就可以了11在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2bc)cosAacosC0.(1)求角A的大小；(2)若a，SABC，试判断ABC的形状，并说明理由【解】：(1)法一：(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得，(2sinBsinC)cosAsinAcosC0，2sinBcosAsin(AC)0，即sinB(2cosA1)0.0B，sinB0，cosA.0A，A.(2)SABCbcsinA，即bcsin，bc3，a2b2c22bccosA，b2c26，由，得bc，ABC为等边三角形12.的三个内角，所对的边分别为、，（I）求；（II）若2=2+2，求【思路点拨】（I）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；（II）先结合余弦定理和已知条件求出的表达式，再利用第（I）题的结论进行化简即得【精讲精析】（I）由正弦定理得，即 故，所以 （II）由余弦定理和，得由（I）知，故可得，又，故，所以 13. 在角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的应用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次常用正弦定理，如果是边的二次常考查余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.【精讲精析】（1）由正弦定理得因为所以（2）由（I）知于是 取最大值2综上所述，的最大值为2，此时方法技巧解三角形的命题类型：(1)测量距离；(2)测量高度；(3)测量角度。解三角形的一般步骤：(1)分析、理解题意分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡角、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要求算法简练，计算正确，并作答.(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.14 如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75、30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)【思路分析】【解】在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.在ABC中，所以AB.BD0.33(km)故B、D的距离约为0.33 km.【规律小结】求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例题中的CD)(2)选定或创建的三角形要确定(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定15. 测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD75，BDC60，CDs，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB.【思路分析】在BCD中，求得CB，在ACB中，求出AB.【解】在BCD中，CBD180756045，由正弦定理得，所以BCs.在RtABC中，ABBCtanACBstan30s.【失误点评】两处易错点：(1)图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错16.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最