第5讲-多元函数极限(续)与连续.doc

数学分析II第5讲教案第5讲 二元函数的极限（续）与连续性授课题目二元函数的极限（续）与连续性教学内容1. 二元函数极限的性质定理；2. 累次极限及其性质；3. 二元函数的连续性的定义；4.二元连续函数的性质. 教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握二元函数的累次极限，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法；掌握二元函数的连续性的定义，理解二元连续函数的性质.教学重点及难点教学重点：重极限与累次极限的区别与联系，二元函数的连续性；教学难点：二元连续函数的性质.教学方法及教材处理提示(1)通过介绍二元函数的极限的性质定理，使学生进一步弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法(2)重极限与累次极限的区别与联系是教学重点，通过多举些例题介绍判别极限存在性的较完整的方法(3) 二元函数的连续性基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元函数的连续性引出二元函数的连续性有关二元连续函数的运算与一元函数的情况基本上类同，只介绍相关结论其证明过程从略.(4)关于二元函数介值性定理的证明是一道极好的习题，将其作为重要知识点并安排在习题课上重点讲授.作业布置作业内容：教材 :2（1，3，5），4，7（3，4）. :1（3，4）.讲授内容一、二元函数的极限性质 例1二元函数如图167所示，当沿任何直线趋于原点时，相应的都趋于零，但这并不表明此函数在时极限存在因为当点沿抛物线趋于点时，将趋于1。所以不存在。 例2设证明证：因为，对任给正数M，取就有由此推得即这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图168）. 二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把看作点函数时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出二、累次极限在上一段所研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限我们先通过以下例题来认识累次极限问题.例3 设.由例1已经知道时的重极限不存在.但当时，有从而有同理可得即的两个累次极限都存在而且相等，但是的重极限不存在定义若对每一个，存在极限由于此极限一般与有关，因此记作 而且进一步存在极限.则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作类似地可以定义先对后对的累次极限：注：累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系举例子来说明这一点例4设，它关于原点的两个累次极限分别为 当沿斜率不同的直线时，容易验证所得极限也不同。因此该函数的重极限不存在.例5设它关于原点的两个累次都不存在。这是因为对任何，当时的第二项不存在极限。同理，对任何，当时的第一项也不存在极限。但是由于 ,故的重极限存在，且定理16.6若重极限与累次极限都存在，则它们一定相等。证：设 则对任给的正数，总存在正数，使得当时，有 (2)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式 的，存在极限 回到不等式（2），让其中，可得 故得，即 推论1若累次极限 和重极限都存在，则三者相等。推论2若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在。三、二元函数的连续性 定义设为定义在点集上的二元函数，若则称点连续。 例8 设， 函数在原点不连续。（因为极限不存在）例9 设 讨论函数的连续性.解：当时，由于因此连续.而 故当时，在原点连续.若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明定理16.7(复合函数的连续性) 设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续，其中，.则复合函数在点也连续四、有界闭域上连续函数的性质 定理16.8(有界性与最大、最小值定理) 若函数在有界闭域R2上连续，则在D上有界，且能取得最大值与最小值 证 先证明在D上有界倘若不然，则对每个正整数，必存在点D，使得 于是得到一个有界点列，且总能使中有无穷多个不同的点由1定理163(聚点定理)的推论，存在收敛子列，设且因D是闭域，从而D由于在D上连续，当然在点也连续，因此有这与不等式(3)相矛盾所以是D上的有界函数 定理16.9（一致连续性定理） 若函数在有界闭域上连续，则在D上一致连续。即对任何，总存在只依赖于的正数，使得对一切点，只要，就有. 定理16.10（介值性定理）设函数在区域连续，若为D中任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点，使得。 证：作辅助函数易见仍在上连续，且。这里不妨假设是的内点.下面证明必存在，使。由于为区域，我们可以用有限段都在中的折线连结（图16-10）。若有某一个连结点所对应的函数值为, 则定理已得证。否则从一端开始逐个检查直线段，必定存