高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 线性规划课件.ppt

高考数学 江苏省专用 7 2线性规划 1 2013江苏 9 5分 0 718 抛物线y x2在x 1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为d 包含三角形内部与边界 若点p x y 是区域d内的任意一点 则x 2y的取值范围是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 解析 y x2 y x 1 2x x 1 2 故抛物线y x2在x 1处的切线方程为2x y 1 0 设其与x轴 y轴交于a b两点 则a b 0 1 区域d为如图中阴影部分 令z x 2y 即y x z 易知直线y x z分别过a b两点时z取最大 最小值 zmax 2 0 zmin 0 2 1 2 x 2y的取值范围是 2 2016江苏 12 5分 已知实数x y满足则x2 y2的取值范围是 答案 解析不等式组表示的可行域如图所示 由x 2y 4 0及3x y 3 0得a 2 3 由x2 y2表示可行域内的点 x y 与点 0 0 的距离的平方可得 x2 y2 max 22 32 13 x2 y2 min d2 其中d表示点 0 0 到直线2x y 2 0的距离 所以x2 y2的取值范围为 解后反思对于线性规划问题 要正确作出可行域 并理解目标函数的几何意义 分清常规的 距离型 斜率型 与 截距型 是解题的关键 考点线性规划1 2017课标全国 文改编 7 5分 设x y满足约束条件则z x y的最大值为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案3 解析本题考查简单的线性规划问题 作出约束条件表示的可行域如图 平移直线x y 0 可得目标函数z x y在a 3 0 处取得最大值 zmax 3 一题多解由约束条件求出三个交点的坐标 3 0 1 0 分别代入目标函数z x y 得到zmax 3 2 2017课标全国 文改编 5 5分 设x y满足约束条件则z x y的取值范围是 答案 3 2 解析由题意 画出可行域 如图中阴影部分所示 易知a 0 3 b 2 0 由图可知 目标函数z x y在点a b处分别取得最小值与最大值 zmin 0 3 3 zmax 2 0 2 故z x y的取值范围是 3 2 3 2017课标全国 理 13 5分 若x y满足约束条件则z 3x 4y的最小值为 答案 1 解析本题考查简单的线性规划 画出约束条件所表示的平面区域 如图中阴影部分所示 包括边界 可得目标函数z 3x 4y在点a 1 1 处取得最小值 zmin 3 1 4 1 1 4 2017课标全国 理 14 5分 设x y满足约束条件则z 3x 2y的最小值为 答案 5 解析本题考查利用线性规划求解最值 由约束条件作出可行域 如图阴影部分所示 平移直线3x 2y 0可知 目标函数z 3x 2y在a点处取最小值 又由解得即a 1 1 所以zmin 3 1 2 1 5 5 2017课标全国 理改编 5 5分 设x y满足约束条件则z 2x y的最小值是 答案 15 解析本题考查简单的线性规划问题 根据线性约束条件画出可行域 如图 作出直线l0 y 2x 平移直线l0 当经过点a时 目标函数取得最小值 由得点a的坐标为 6 3 zmin 2 6 3 15 6 2017北京文改编 4 5分 若x y满足则x 2y的最大值为 答案9 解析本题考查简单的线性规划 作出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分 令z x 2y 当z x 2y过a点时 z取最大值 由得a 3 3 z的最大值为3 2 3 9 7 2017山东理改编 4 5分 已知x y满足约束条件则z x 2y的最大值是 答案5 解析本题考查简单的线性规划 由约束条件画出可行域 如图 由z x 2y得y 当直线y 经过点a时 z取得最大值 由得a点的坐标为 3 4 故zmax 3 2 4 5 易错警示没有真正掌握简单的线性规划问题的求解方法 从而找错了最优解 导致最终结果错误 8 2017天津理改编 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z x y的最大值为 答案3 解析本题主要考查简单的线性规划 由变量x y满足的约束条件画出可行域 如图阴影部分所示 由z x y得y z x 当直线y z x经过点 0 3 时 z取最大值3 9 2016课标全国 13 5分 设x y满足约束条件则z 2x 3y 5的最小值为 答案 10 解析可行域如图所示 包括边界 直线2x y 1 0与x 2y 1 0相交于点 1 1 当目标函数线过 1 1 时 z取最小值 zmin 10 评析本题考查了简单的线性规划问题 正确画出可行域是求解的关键 10 2016课标全国 14 5分 若x y满足约束条件则z x 2y的最小值为 答案 5 解析由约束条件画出可行域 如图中阴影部分所示 包括边界 当直线x 2y z 0过点b 3 4 时 z取得最小值 zmin 3 2 4 5 11 2016课标全国 16 5分 某高科技企业生产产品a和产品b需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品a需要甲材料1 5kg 乙材料1kg 用5个工时 生产一件产品b需要甲材料0 5kg 乙材料0 3kg 用3个工时 生产一件产品a的利润为2100元 生产一件产品b的利润为900元 该企业现有甲材料150kg 乙材料90kg 则在不超过600个工时的条件下 生产产品a 产品b的利润之和的最大值为元 答案216000 解析设生产产品ax件 生产产品by件 利润之和为z元 则z 2100 x 900y 根据题意得即作出可行域 如图 由得当直线2100 x 900y z 0过点a 60 100 时 z取得最大值 zmax 2100 60 900 100 216000 故所求的最大值为216000元 12 2016北京改编 7 5分 已知a 2 5 b 4 1 若点p x y 在线段ab上 则2x y的最大值为 答案7 解析点p x y 在线段ab上且a 2 5 b 4 1 如图 设z 2x y 则y 2x z 当直线y 2x z经过点b 4 1 时 z取得最大值 最大值为2 4 1 7 评析本题考查线性规划问题 与常规的线性规划的不同之处在于本题的可行域为一条线段 13 2015北京改编 2 5分 若x y满足则z x 2y的最大值为 答案2 解析由x y的约束条件可画出可行域 如图所示 其中a b 0 1 易知直线x 2y z 0经过点b 0 1 时 z取最大值2 14 2015天津改编 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z x 6y的最大值为 答案18 解析由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示 当动直线x 6y z 0过点 0 3 时 zmax 0 6 3 18 15 2014广东改编 3 5分 若变量x y满足约束条件 且z 2x y的最大值和最小值分别为m和n 则m n 答案6 解析画出可行域如图所示 由z 2x y得y 2x z 当直线y 2x z经过点a时 z取得最小值n 3 当直线y 2x z经过点c时 z取得最大值m 3 m n 6 16 2016浙江理改编 3 5分 在平面上 过点p作直线l的垂线所得的垂足称为点p在直线l上的投影 由区域中的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段记为ab 则 ab 答案3 解析由不等式组画出可行域 如图中的阴影部分所示 因为直线x y 2 0与直线x y 0平行 所以可行域内的点在直线x y 2 0上的投影构成的线段的长 ab 即为 cd 易得c 2 2 d 1 1 所以 ab cd 3 17 2015山东改编 6 5分 已知x y满足约束条件若z ax y的最大值为4 则a 答案2 解析作出可行域如图 当a1时 z ax y在a 2 0 处取得最大值 zmax 2a 4 得a 2 符合题意 综上 a 2 18 2014安徽改编 5 5分 x y满足约束条件若z y ax取得最大值的最优解 则实数a的值为 答案2或 1 解析作出可行域 如图 为 abc内部 含边界 由题设z y ax取得最大值的最优解不唯一可知 线性目标函数对应的直线与可行域某一边界重合 由kab 1 kac 2 kbc 可得a 1或a 2或a 验证 a 1或a 2时 成立 a 时 不成立 19 2014湖南 14 5分 若变量x y满足约束条件且z 2x y的最小值为 6 则k 答案 2 解析要使不等式组构成一可行域 则k 2 此时 可行域为以a k k b 2 2 c 4 k k 为顶点的三角形区域 包括边界 从而在点a k k 处 z有最小值3k 则3k 6 得k 2 20 2015浙江 14 4分 若实数x y满足x2 y2 1 则 2x y 2 6 x 3y 的最小值是 答案3 解析 x2 y2 1 6 x 3y 0 令t 2x y 2 6 x 3y 当2x y 2 0时 t x 2y 4 点 x y 可取区域 内的点 含边界 通过作图可知 当直线t x 2y 4过点a时 t取最小值 tmin 4 3 当2x y 28 3 4 3 综上 tmin 3 即 2x y 2 6 x 3y 的最小值是3 21 2014浙江 13 4分 当实数x y满足时 1 ax y 4恒成立 则实数a的取值范围是 答案 解析不等式组构成以a 1 0 b c 2 1 为顶点的三角形区域 包含边界 又1 x 2 所以1 ax y 4转化为 a 恒成立 而k1 表示可行域内点p x y 与定点 0 4 连线的斜率 其最大值为 同理 k2 表示可行域内点p x y 与定点 0 1 连线的斜率 其最小值为 1 故有 a 1 即1 a 22 2017天津文 16 13分 电视台播放甲 乙两套连续剧 每次播放连续剧时 需要播放广告 已知每次播放甲 乙两套连续剧时 连续剧播放时长 广告播放时长 收视人次如下表所示 已知电视台每周安排的甲 乙连续剧的总播放时间不多于600分钟 广告的总播放时间不少于30分钟 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍 分别用x y表示每周计划播出的甲 乙两套连续剧的次数 1 用x y列出满足题目条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 2 问电视台每周播出甲 乙两套连续剧各多少次 才能使总收视人次最多 解析本小题主要考查用二元线性规划的基础知识和基本方法解决简单实际问题的能力 以及抽象概括能力和运算求解能力 1 由已知 x y满足的数学关系式为即 图2解方程组得点m的坐标为 6 3 所以 电视台每周播出甲连续剧6次 乙连续剧3次时才能使总收视人次最多 方法技巧解线性规划应用题的步骤 1 转化 设元 写出约束条件和目标函数 从而将实际问题转化为线性规划问题 2 求解 解这个纯数学的线性规划问题 3 作答 将数学问题的答案还原为实际问题的答案 1 2015课标 15 5分 若x y满足约束条件则的最大值为 c组教师专用题组 答案3 解析由约束条件画出可行域 如图 的几何意义是可行域内的点 x y 与原点o连线的斜率 所以的最大值即为直线oa的斜率 又由得点a的坐标为 1 3 则 koa 3 2 2014课标 改编 9 5分 不等式组的解集记为d 有下面四个命题 p1 x y d x 2y 2 p2 x y d x 2y 2 p3 x y d x 2y 3 p4 x y d x 2y 1 其中的真命题是 答案p1 p2 解析不等式组表示的平面区域d如图中阴影区域所示 设z x 2y 作出基本直线l0 x 2y 0 经平移可知直线l z x 2y经过点a 2 1 时z取得最小值0 无最大值 对于命题p1 由于z的最小值为0 所以 x y d x 2y 0恒成立 故x 2y 2恒成立 因此命题p1为真命题 由于 x y d x 2y 0 故 x y d x 2y 2 因此命题p2为真命题 由于z x 2y的最小值为0 无最大值 故命题p3与p4错误 3 2013课标全国 理改编 9 5分 已知a 0 x y满足约束条件若z 2x y的最小值为1 则a 答案 解析由约束条件画出可行域 如图所示的 abc 由得a 1 2a 当直线2x y z 0过点a时 z 2x y取得最小值 所以1 2 1 2a 解得a 4 2016天津理改编 2 5分 设变量x y满足约束条件则目标函数z 2x 5y的最小值为 答案6 解析由线性约束条件画出可行域 如图中阴影部分 当直线2x 5y z 0过点a 3 0 时 zmin 2 3 5 0 6 评析本题考查了简单的线性规划问题 正确画出可行域是求解的关键 5 2016山东改编 4 5分 若变量x y满足则x2 y2的最大值是 答案10 解析作出不等式组所表示的平面区域 如图中阴影部分所示 包括边界 x2 y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方 由图易知平面区域内的点a 3 1 与原点的距离最大 所以x2 y2的最大值是10 评析本题考查了数形结合的思想方法 利用x2 y2的几何意义是求解的关键 6 2013陕西理 13 5分 若点 x y 位于曲线y x 1 与y 2所围成的封闭区域 则2x y的最小值为 答案 4 解析作出可行域如图所示 记z 2x y 则y 2x z 将y 2x沿y轴向上平移 过a 1 2 时 z最大 即z最小 最小值为 4 7 2013浙江理 13 4分 设z kx y 其中实数x y满足若z的最大值为12 则实数k 答案2 解析约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分 其中点a 4 4 b 0 2 c 2 0 当 k 即k 时 目标直线z kx y在点a 4 4 取得最大值12 故4k 4 12 k 2 满足题意 当 k 即k 时 目标直线z kx y在点b 0 2 取得最大值12 故k 0 2 12 无解 综上所述 k 2 评析本题考查简单的线性规划问题 考查分类讨论思想和数形结合思想 考查学生灵活应用知识的能力和运算求解能力 本题也可采用代入交点坐标逐个检验的方法求解 作为填空题 特殊值代入既快又准确 8 2013广东理 13 5分 给定区域d 令点集t x0 y0 d x0 y0 z x0 y0 是z x y在d上取得最大值或最小值的点 则t中的点共确定条不同的直线 答案6 解析画出平面区域d 如图中阴影部分所示 作出z x y的基本直线l0 x y 0 经平移可知目标直线z x y在点a 0 1 处取得最小值 在线段bc处取得最大值 而集合t表示z x y取得最大值或最小值时的整点坐标 在取最大值时线段bc上共有5个整点 分别为 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 故t中的点共确定6条不同的直线 评析本题考查平面区域的画法及目标函数的最优解 考查学生数形结合思想的应用能力 以及最优解中整点的求法 准确找出整点个数是解题的关键 9 2013安徽理改编 9 5分 在平面直角坐标系中 o是坐标原点 两定点a b满足 2 则点集 p 1 r 所表示的区域的面积是 答案4 解析由 2知 设 2 0 1 x y 则解得由 1得 x y 2y 2 作可行域如图 则所求面积s 2 4 4 填空题 每题5分 共25分 1 2017江苏苏北四市期中 7 设实数x y满足则3x 2y的最大值为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 25分钟分值 25分 答案3 解析作出不等式组表示的平面区域如图 设z 3x 2y 则y x 平移直线y x 可知当直线y x 经过点a时 z取最大值 由解得即a 1 0 此时zmax 3 1 2 0 3 2 2017江苏无锡期末 7 设不等式组表示的平面区域为m 若直线y kx 2上存在m内的点 则实数k的取值范围是 答案 2 5 解析由约束条件作出可行域如图 函数y kx 2的图象恒过点a 0 2 且斜率为k 由图知 当直线y kx 2过点b时 k取最大值 由得b 1 3 kmax 5 当直线y kx 2过点c时 k取最小值 由得c 2 2 kmin 2 故实数k的取值范围为 2 5 3 2016江苏南京 盐城一模 7 已知实数x y满足则目标函数z x y的最小值为 答案 3 解析作出不等式组表示的平面区域 图略 可行域为一个三角形及其内部 其三个顶点坐标分别为a 1 0 b 5 0 c 1 4 平移直线y x 当直线y x z过点c 1 4 时 z取得最小值 此时z 3 4 2016江苏清江中学周练 8 若点p x y 满足约束条件且点p x y 所形成区域的面积为12 则实数a的值为 答案8 解析 点p x y 所形成区域的面积为12 a 0 由题意作出可行域 如图 x 2y a中 令x 0 得y 由解得x 12 a 8 5 2015江苏南通三模 3 已知x y满足条件则z 2x y的最小值是 答案 3 解析可行域如图所示 当直线y 2x z过点 1 1 时 z取得最小值 3 填空题 每题5分 共25分 1 2017江苏常州第一学期调研 11 在平面直角坐标系中 点p是由不等式组所确定的平面区域内的动点 m n是圆x2 y2 1的一条直径的两端点 则 的最小值为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 25分钟分值 25分 答案7 解析因为m n是圆x2 y2 1的一条直径的两端点 所以两点关于原点对称 可设m x1 y1 则n x1 y1 设p x y 则 x1 x y1 y x1 x y1 y x2 y2 由m n在圆x2 y2 1上 得 x2 y2 1 点p是不等式组所确定的平面区域内的动点 画出可行域 可得 x2 y2 1 1 7 即 的最小值为7 思路分析m n是圆x2 y2 1的一条直