高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修11.ppt

3 3 2函数的极值与导数 新知探求 课堂探究 新知探求素养养成 知识点一 函数y f x 在区间 a b 内的图象如图所示 极值点与极值 梳理1 函数的极小值与极小值点若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 2 函数的极大值与极大值点若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 且f b 0 而且在x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 都小 f x 0 f x 0 都大 f x 0 f x 0 知识点二 求定义域 求f x 求方程f x 0的根 列表检验f x 在f x 0的根的附近两侧的符号 下结论 名师点津 1 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 2 f x0 0时 x0不一定是极值点 函数极值的求法 题型一 利用导数求函数的极值 课堂探究素养提升 例1 求函数f x x2e x的极值 方法技巧求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定定义域 求导函数f x 2 求解不等式f x 0得增区间 求解f x 0得减区间 再判断f x 0的解左右f x 的正负得极值点 3 求出极值 答案 0024 题型二 由极值求参数 例2 2017 马山县期末 设x 2与x 4是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 1 求常数a b 2 判断x 2 x 4是函数f x 的极大值点还是极小值点 并说明理由 解 1 f x 3x2 2ax b 可知x 2和x 4是方程f x 0的两根 则a 3 b 24 2 x 2是f x 的极大值点 x 4是f x 的极小值点 理由如下 f x 3 x 2 x 4 得当x0 当 24时 f x 0 则x 4是f x 的极小值点 方法技巧已知函数的极值点 求参数问题的解题步骤 1 求函数的导数f x 2 由极值点的导数为0 列出方程 组 求解参数 3 当求出参数多于一组解时 一定要验证是否满足题目的条件 即时训练2 2016 四川卷 我国是世界上严重缺水的国家 某市为了制定合理的节水方案 对居民用水情况进行了调查 通过抽样 获得了某年100位居民每人的月均用水量 单位 吨 将数据按照 0 0 5 0 5 1 4 4 5 分成9组 制成了如图所示的频率分布直方图 1 求直方图中a的值 2 设该市有30万居民 估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数 说明理由 解 1 由频率分布直方图 可知 月均用水量在 0 0 5 的频率为0 08 0 5 0 04 同理 在 0 5 1 1 5 2 2 2 5 3 3 5 3 5 4 4 4 5 各组的频率分别为0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 由1 0 04 0 08 0 21 0 25 0 06 0 04 0 02 0 5 a 0 5 a 解得a 0 30 2 由 1 知 100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0 06 0 04 0 02 0 12 由以上样本的频率分布 可以估计该市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000 0 12 36000 3 估计居民月均用水量的中位数 解 3 设中位数为x吨 因为前5组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 21 0 25 0 73 0 5 而前4组的频率之和为0 04 0 08 0 15 0 21 0 48 0 5 所以2 x 2 5 由0 50 x 2 0 5 0 48 解得x 2 04 故可估计居民月均用水量的中位数为2 04吨 题型三 函数极值的综合应用 例3 a为何值时 方程x3 3x2 a 0恰有一个实根 两个不等实根 三个不等实根 有没有可能无实根 解 令f x x3 3x2 y a f x 的定义域为r 方程x3 3x2 a 0的根的个数即x3 3x2 a根的个数 f x x3 3x2与y a交点个数 由f x 3x2 6x 0 得x 0或x 2 所以当x2时 f x 0 当00或a 4时 原方程有一个根 当a 0或a 4时 原方程有两个不等实根 当 4 a 0时 原方程有三个不等实根 由图象可知 原方程不可能无实根 方法技巧利用求函数极值的方法确定方程解的个数时 要根据所求极值 画出函数的大致图象 运用数形结合的思想求解 即时训练3 2018 郑州高二监测 已知函数f x 的定义域为 1 5 部分对应值如表 f x 的导函数y f x 的图象如图所示 1 f x 的极小值为 答案 1 0 2 若函数y f x a有4个零点 则实数a的取值范围为 解析 2 y f x 的图象如图所示 若函数y f x a有4个零点 则a的取值范围为1 a 2 答案 2 1 2 题型四 易错辨析 忽视函数极值存在的条件致误 例4 2018 贵阳高二检测 已知函数