高考数学一轮复习 第十八章 空间向量与立体几何 18.2 空间向量的应用课件.ppt

高考数学 江苏省专用 18 2空间向量的应用 考点空间向量的应用1 2017浙江 19 15分 如图 已知四棱锥p abcd pad是以ad为斜边的等腰直角三角形 bc ad cd ad pc ad 2dc 2cb e为pd的中点 1 证明 ce 平面pab 2 求直线ce与平面pbc所成角的正弦值 五年高考 统一命题 省 区 市 卷题组 解析本题主要考查空间点 线 面的位置关系 直线与平面所成的角等基础知识 同时考查空间想象能力和运算求解能力 1 证明 如图 设pa中点为f 连接ef fb 因为e f分别为pd pa中点 所以ef ad且ef ad 又因为bc ad bc ad 所以ef bc且ef bc 即四边形bcef为平行四边形 所以ce bf 因此ce 平面pab 2 分别取bc ad的中点为m n 连接pn交ef于点q 连接mq 因为e f n分别是pd pa ad的中点 所以q为ef中点 在平行四边形bcef中 mq ce 由 pad为等腰直角三角形得pn ad 由dc ad n是ad的中点得bn ad 所以ad 平面pbn 由bc ad得bc 平面pbn 那么平面pbc 平面pbn 过点q作pb的垂线 垂足为h 连接mh mh是mq在平面pbc上的射影 所以 qmh是直线ce与平面pbc所成的角 设cd 1 在 pcd中 由pc 2 cd 1 pd 得ce 在 pbn中 由pn bn 1 pb 得qh 在rt mqh中 qh mq 所以sin qmh 所以 直线ce与平面pbc所成角的正弦值是 一题多解 1 证明 设ad的中点为o 连接ob op pad是以ad为斜边的等腰直角三角形 op ad bc ad od 且bc od 四边形bcdo为平行四边形 又 cd ad ob ad op ob o ad 平面opb 过点o在平面pob内作ob的垂线om 交pb于m 以o为原点 ob所在直线为x轴 od所在直线为y轴 om所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图 设cd 1 则有a 0 1 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 设p x 0 z z 0 由pc 2 op 1 得得x z 即点p 而e为pd的中点 e 设平面pab的法向量为n x1 y1 z1 1 1 0 取y1 1 得n 1 1 而 则 n 0 而ce 平面pab ce 平面pab 2 设平面pbc的法向量为m x2 y2 z2 0 1 0 取x2 1 得m 1 0 设直线ce与平面pbc所成角为 则sin cos 故直线ce与平面pbc所成角的正弦值为 方法总结1 证明直线与平面平行的方法 例 求证 l 线面平行的判定定理 在平面 内找到一条与直线l平行的直线m 从而得到l 面面平行的性质 过直线l找到 或作出 一个平面 使得 从而得l 向量法 i 求出平面 的法向量n和直线l的方向向量l 证明n l 0 得l ii 证明直线l的方向向量l能被平面 内的两个基底向量所表示 得l 2 求线面角的方法 定义法 作出线面角 解三角形即可 解斜线段 射影 垂线段构成的三角形 例 求ab与平面 所成角 的正弦值 其中a 只需求出点b到平面 的距离d 通常由等体积法求d 由sin 得结论 向量法 求出平面 的法向量n 设直线ab与 所成角为 则sin cos 最好是画出图形 否则容易出错 2 2017天津理 17 13分 如图 在三棱锥p abc中 pa 底面abc bac 90 点d e n分别为棱pa pc bc的中点 m是线段ad的中点 pa ac 4 ab 2 1 求证 mn 平面bde 2 求二面角c em n的正弦值 3 已知点h在棱pa上 且直线nh与直线be所成角的余弦值为 求线段ah的长 解析本小题主要考查直线与平面平行 二面角 异面直线所成的角等基础知识 考查用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算求解能力和推理论证能力 如图 以a为原点 分别以 方向为x轴 y轴 z轴正方向建立空间直角坐标系 依题意可得a 0 0 0 b 2 0 0 c 0 4 0 p 0 0 4 d 0 0 2 e 0 2 2 m 0 0 1 n 1 2 0 1 证明 0 2 0 2 0 2 设n x y z 为平面bde的法向量 则即不妨设z 1 可得n 1 0 1 又 1 2 1 可得 n 0 因为mn 平面bde 所以mn 平面bde 2 易知n1 1 0 0 为平面cem的一个法向量 设n2 x y z 为平面emn的法向量 则因为 0 2 1 1 2 1 所以不妨设y 1 可得n2 4 1 2 因此有cos 于是sin 所以 二面角c em n的正弦值为 3 依题意 设ah h 0 h 4 则h 0 0 h 进而可得 1 2 h 2 2 2 由已知 得 cos 整理得10h2 21h 8 0 解得h 或h 所以 线段ah的长为或 方法总结利用空间向量法证明线面位置关系与计算空间角的步骤 1 根据题目中的条件 充分利用垂直关系 建立适当的空间直角坐标系 尽量使相关点在坐标轴上 求出相关点的坐标 2 求出相关直线的方向向量及相关平面的法向量 根据题目的要求 选择适当的公式 将相关的坐标代入进行求解或证明 3 检验 得出最后结论 3 2014课标 18 12分 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pa 平面abcd e为pd的中点 1 证明 pb 平面aec 2 设二面角d ae c为60 ap 1 ad 求三棱锥e acd的体积 解析 1 证明 连接bd交ac于点o 连接eo 因为四边形abcd为矩形 所以o为bd的中点 又e为pd的中点 所以eo pb 又eo 平面aec pb 平面aec 所以pb 平面aec 2 因为pa 平面abcd 四边形abcd为矩形 所以ab ad ap两两垂直 如图 以a为坐标原点 的方向为x轴的正方向 为单位长 建立空间直角坐标系a xyz 则d 0 0 e 设b m 0 0 m 0 则c m 0 m 0 设n1 x y z 为平面ace的法向量 则即可取n1 又n2 1 0 0 为平面dae的法向量 由题设 cos 即 解得m 因为e为pd的中点 所以三棱锥e acd的高为 所以三棱锥e acd的体积v 评析本题考查线面平行的判定 利用空间向量解二面角问题 考查了学生的空间想象能力 4 2015北京 17 14分 如图 在四棱锥a efcb中 aef为等边三角形 平面aef 平面efcb ef bc bc 4 ef 2a ebc fcb 60 o为ef的中点 1 求证 ao be 2 求二面角f ae b的余弦值 3 若be 平面aoc 求a的值 解析 1 证明 因为 aef是等边三角形 o为ef的中点 所以ao ef 又因为平面aef 平面efcb ao 平面aef 所以ao 平面efcb 所以ao be 2 取bc中点g 连接og 由题设知efcb是等腰梯形 所以og ef 由 1 知ao 平面efcb 又og 平面efcb 所以oa og 如图建立空间直角坐标系o xyz 则e a 0 0 a 0 0 a b 2 2 a 0 a 0 a a 2 a 2 0 设平面aeb的法向量为n x y z 则即令z 1 则x y 1 于是n 1 1 平面aef的法向量为p 0 1 0 所以cos 由题设知二面角f ae b为钝角 所以它的余弦值为 3 因为be 平面aoc 所以be oc 即 0 因为 a 2 a 2 0 2 2 a 0 所以 2 a 2 3 a 2 2 由 0及0 a 2 解得a 评析本题主要考查面面垂直的性质定理 二面角的求解以及线面垂直的性质定理 考查学生空间想象能力和运算求解能力 正确建立空间直角坐标系以及表示出点的坐标是解决本题的关键 1 2013天津理 17 13分 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧棱a1a 底面abcd ab dc ab ad ad cd 1 aa1 ab 2 e为棱aa1的中点 1 证明b1c1 ce 2 求二面角b1 ce c1的正弦值 3 设点m在线段c1e上 且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为 求线段am的长 教师专用题组 解析如图 以点a为原点建立空间直角坐标系 依题意得a 0 0 0 b 0 0 2 c 1 0 1 b1 0 2 2 c1 1 2 1 e 0 1 0 1 证明 易得 1 0 1 1 1 1 于是 0 所以b1c1 ce 2 1 2 1 设平面b1ce的法向量m x y z 则即消去x 得y 2z 0 不妨令z 1 可得一个法向量为m 3 2 1 由 1 b1c1 ce 又cc1 b1c1 可得b1c1 平面cec1 故 1 0 1 为平面cec1的一个法向量 于是cos 从而sin 所以二面角b1 ce c1的正弦值为 3 0 1 0 1 1 1 设 0 1 有 1 可取 0 0 2 为平面add1a1的一个法向量 设 为直线am与平面add1a1所成的角 则sin cos 于是 解得 所以am 2 2013湖北理 19 12分 如图 ab是圆o的直径 点c是圆o上异于a b的点 直线pc 平面abc e f分别是pa pc的中点 1 记平面bef与平面abc的交线为l 试判断直线l与平面pac的位置关系 并加以证明 2 设 1 中的直线l与圆o的另一个交点为d 且点q满足 记直线pq与平面abc所成的角为 异面直线pq与ef所成的角为 二面角e l c的大小为 求证 sin sin sin 解析 1 直线l 平面pac 证明如下 连接ef 因为e f分别是pa pc的中点 所以ef ac 又ef 平面abc 且ac 平面abc 所以ef 平面abc 而ef 平面bef 且平面bef 平面abc l 所以ef l 所以ac l 因为l 平面pac ac 平面pac 所以直线l 平面pac 2 如图 由 作dq cp 且dq cp 连接pq ef be bf bd 由 1 可知交线l即为直线bd 以点c为原点 向量 所在直线分别为x y z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设ca a cb b cp 2c 则有c 0 0 0 a a 0 0 b 0 b 0 p 0 0 2c q a b c e f 0 0 c 于是 a b c 0 b c 所以cos 从而sin 又取平面abc的一个法向量为m 0 0 1 可得sin 设平面bef的一个法向量为n x y z 所以由可得取n 0 c b 于是 cos 从而sin 故sin sin sin 即sin sin sin 解答题 共60分 1 2017江苏海安高级中学高三阶段检测 22 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是ac的中点 e是线段d1o上一点 且d1e eo 1 若 1 求异面直线de与cd1所成角的余弦值 2 若平面cde 平面cd1o 求 的值 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 50分钟分值 60分 解析 1 不妨设正方体的棱长为1 以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系d xyz 则d 0 0 0 a 1 0 0 o c 0 1 0 d1 0 0 1 e 于是 0 1 1 则cos 所以异面直线de与cd1所成角的余弦值为 2 设平面cd1o的法向量为m x1 y1 z1 则因为 0 1 1 所以取x1 1 得y1 z1 1 即m 1 1 1 由d1e eo 得e 所以 设平面cde的法向量为n x2 y2 z2 则因为 0 1 0 所以取x2 2 得z2 即n 2 0 因为平面cde 平面cd1o 所以m n 0 所以 2 0 解得 2 2 2017扬州高三上学期期中 23 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd为正方形 pa 底面abcd ab 1 pa 2 e为pb的中点 点f在棱pc上 且pf pc 1 求异面直线ce与pd所成角的余弦值 2 当直线bf与平面cde所成的角最大时 求此时 的值 解析 1 以a为坐标原点 ad ab ap所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 则c 1 1 0 p 0 0 2 d 1 0 0 e b 0 1 0 从而 1 0 2 所以cos 所以异面直线ce与pd所成角的余弦值为 2 点f在棱pc上 且pf pc 所以 0 1 于是f 2 2 则 1 2 2 易知 0 1 0 设n x y z 为平面cde的法向量 则即取x 1 则n 1 0 1 设直线bf与平面cde所成的角为 则 sin cos 令t 2 则t 1 2 所以sin 当 即t 时 6有最小值 此时sin 取得最大值 为 即bf与平面cde所成的角最大 此时 2 t 2 3 2016江苏扬州中学月考 23 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 ab 3 aa1 ac 4 aa1 平面abc ab ac 1 求二面角a1 bc1 b1的余弦值 2 若在线段bc1上存在点d 使得ad a1b 求的值 解析 1 如图 以a为原点建立空间直角坐标系a xyz 则b 0 3 0 a1 0 0 4 b1 0 3 4 c1 4 0 4 所以 0 3 4 4 0 0 设平面a1bc1的法向量n x y z 则即令z 3 则x 0 y 4 所以n 0 4 3 同理可得 平面bb1c1的法向量为m 3 4 0 所以cos 由题图知二面角a1 bc1 b1为锐角 所以二面角a1 bc1 b1的余弦值为 2 设d a b c 所以 a b 3 c 4 3 4 解得a 4 b 3 3 c 4 所以 4 3 3 4 由题意得 0 所以9 25 0 解得 所以 4 2016江苏无锡期中 23 如图 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 ad 1 d1d 2 点p为棱cc1的中点 1 设二面角a a1b p的大小为 求sin 的值 2 设m为线段a1b上的一点 求的取值范围 解析 1 如图 以点d为原点 da dc dd1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系d xyz 则a 1 0 0 a1 1 0 2 p 0 1 1 b 1 1 0 所以 1 1 1 1 0 1 设平面pa1b的法向量为m x y z 则令x 1 得y 2 z 1 所以m 1 2 1 易知 平面aa1b的一个法向量n 1 0 0 所以cos 所以sin 2 设m a b c 因为m为线段ba1上的一点 所以设 0 1 即 a 1 b 1 c 0 1 2 所以m 1 1 2 0 1 2 1 1 2 令2 1 t 则t 1 1 且 当t 1 0 时 当t 0 1 时 当t 0时 0 所以 则 5 2015江苏徐州高级中学期中 22 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab ac ab 3 ac 4 动点p满足 0 当 时 ab1 bp 1 求棱cc1的长 2 若二面角b1 ab p的大小为 求 的值 解析 1 如图 以点a为坐标原点 ab ac aa1所在直线分别为x y z轴建立空间直角坐标系 设cc1 m m 0 则b1 3 0 m p 0 4 m 又易知b 3 0 0 所以 3 0 m 3 4 m 当 时 有 3 0 m 0 所以m 3 即棱cc1的长为3 2 设平面pab的一个法向量为n1 x y z 易知 3 0 0 则由得即 令z 1 则y 故n1 由题意知平面abb1的一个法向量为n2 0 1 0 因为二面角b1 ab p的大小为 所以 cos 结合 0 得 解答题 共60分 1 2017南京 盐城第二次模拟考试 22 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面四边形abcd为菱形 a1a ab 2 abc e f分别是bc a1c的中点 1 求异面直线ef ad所成角的余弦值 2 点m在线段a1d上 若cm 平面aef 求实数 的值 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 50分钟分值 60分 解析因为四棱柱abcd a1b1c1d1为直四棱柱 所以a1a 平面abcd 又ae 平面abcd ad 平面abcd 所以a1a ae a1a ad 在菱形abcd中 abc 连接ac 则 abc是等边三角形 因为e是bc中点 所以bc ae 因为bc ad 所以ae ad 以 为正交基底建立空间直角坐标系 如图 则a 0 0 0 c 1 0 d 0 2 0 a1 0 0 2 e 0 0 f 1 0 2 0 所以 1 从而cos 故异面直线ef ad所成角的余弦值为 2 设m x y z 由于点m在线段a1d上 且 则 即 x y z 2 0 2 2 则m 0 2 2 2 所以 2 1 2 2 设平面aef的法向量为n x0 y0 z0 因为 0 0 所以n 0 n 0 得x0 0 y0 z0 0 取y0 2 则z0 1 则平面aef的一个法向量为n 0 2 1 由于cm 平面aef 则n 0 即2 2 1 2 2 0 解得 思路分析 1 建立空间直角坐标系 利用向量法求得异面直线ef与ad所成角的余弦值 2 设m x y z 利用 得出m的坐标 设平面aef的法向量为n 利用n 0求得 的值 2 2017江苏南通 扬州 泰州第三次模拟考试 22 如图 在四棱锥s abcd中 sd 平面abcd 四边形abcd是直角梯形 adc dab 90 sd ad ab 2 dc 1 1 求二面角s bc a的余弦值 2 设p为棱bc上一点 e是sa的中点 若pe与平面sad所成角的正弦值为 求线段cp的长 解析以d为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则d 0 0 0 b 2 2 0 c 0 1 0 s 0 0 2 所以 2 2 2 0 1 2 0 0 2 设平面sbc的法向量为n1 x y z 由n1 0 n1 0 得2x 2y 2z 0 y 2z 0 取z 1 得x 1 y 2 所以n1 1 2 1 由sd 平面abcd 可得平面abc的一个法向量为n2 0 0 1 设二面角s bc a的大小为 思路分析 1 建立空间直角坐标系 求得平面sbc和平面abc的法向量 再利用公式求得结论 2 设 0 1 从而求得 易知是平面sad的一个法向量 设pe与平面sad所成的角为 利用sin cos 求得 的值 从而求cp的长 3 2016江苏常州期末 22 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 侧面add1a1 底面abcd d1a d1d 底面abcd为直角梯形 其中bc ad ab ad ad 2ab 2bc 2 1 在平面abcd内找一点f 使得d1f 平面ab1c 2 求二面角c b1a b的平面角的余弦值 解析 1 以a为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 1 0 0 c 1 1 0 d1 0 1 1 b1 1 1 1 设f a b 0 则 a b 1 1 由得a b f 即f为ac的中点 2 由 1 可知 平面b1ac的一个法向量n1 设平面b1ab的法向量n2 x y z 则由得取y 1得n2 0 1 1 则cos 由题图知 二面角c b1a b的平面角为锐角 二面角c