中考数学押轴题备考复习 动态问题1.doc

动态问题1（2011山东聊城 24，12分）（本题共12分）如图，在矩形中，,点、分别从点、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为2cm/s，点的速度为4cm/s，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动，设移动开始第t秒时，的面积为。（1）当时，的值是多少？（2）写出和之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。（3）若点在矩形的边上移动时，当为何值时，以点、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似？请说明理由。fbacgd25题图【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得be、bf、fc和cg的长度，计算出梯形ebcg和三角形bef、三角形fcg的面积，从而求出的面积为的值。（2）由题意知移动时间的取值范围是，当时，图形如上图，此时可以用含有的代数式表示出be、bf、fc和cg的长度，进而表示的面积；当时，图形如下，此时可以用含有的代数式表示出的长度，从而表示出出的面积为的值。（3）用含有的代数式表示出be、bf、fc和cg的长度，由于两三角形对应关系的不确定，需要分来两种情况进行讨论。【答案】解：（1）时，,。则,.梯形ebcg的面积为,的面积为,的面积为,.(2) 当点在时，此时.,。则,.梯形ebcg的面积为,的面积为,的面积为,。即 （）。当点在时，此时。，。的面积为。即 （）。（3）点在矩形的边上移动时，此时。若,即。解得。又满足，所以当时，；若,即。解得。又满足，所以当时，；综上可知，当或时，以点、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似。【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。2.（2011年四川省南充市21题8分）如图，等腰梯形abcd中，adbc, ad=ab=cd=2, c=600, m是bc的中点。（1）求证：mdc是等边三角形；（2）将mdc绕点m旋转，当md(即md)与ab交于一点e,mc即mc)同时与ad交于一点f时，点e,f和点a构成aef.试探究aef的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出aef周长的最小值。【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手；由图形中的特殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。【答案】证明：过点d作dpbc于点p，过点a作aqbc于点q，c=b =60cp=bq=,cp+bq=ab又adpq是矩形,ad=pq,bc=2ad,由已知，点m是bc的中点，bm=cm=ad=ab=cd，即mdc中，cm=cd,c=60，故mdc是等边三角形.（2）解：aef的周长存在最小值，理由如下：连结am，由（1）平行四边形abmd是菱形，mab，mad和mcd是等边三角形，bma=bme+ame=60，emf=amf+ame=60bme=amf 在bme与amf中，bm=am,ebm=fam=60bmeamf(asa)be=af,me=mf,ae+af=ae+be=abemf=dmc=60,故emf是等边三角形，ef=mfmf的最小值为点m到ad的距离为，即ef的最小值是。aef的周长=ae+af+ef=ab+ef,aef周长的最小值为【点评】等边三角形的判定方法一般有两种：一是三个角都相等的三角形是等边三角形，二是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题去解决。3 （2011山东潍坊，23，11分）如图，ab是半圆o的直径，ab=2射线am、bn为半圆的切线在am上取一点d，连接bd交半圆于点c，连接ac过o点作bc的垂线oe，垂足为点e，与bn相交于点f过d点做半圆的切线dp，切点为p，与bn相交于点q（1）求证：abcofb；（2）当abd与bfo的面积相等时，求bq的长；（3）求证：当d在am上移动时（a点除外），点q始终是线段bf的中点【解题思路】（1）要证abcofb，易证acb=obf=90，由acbd和ofbd，得acof，所以bac=fob，利用“两角对应相等，两三角形相似”即可证得；（2）连接op，由dp、da是切线，可知dab=opd=90，由abd与bfo的面积相等，且（1）得abcofb，可知abcofb，所以oa=ob，因此oa=op=ad=dp=1，从而得证四边形oadp是正方形，所以dpab，进而确定bq=ad=1；（3）过点q作am的垂线qk，由（1）abcofb，得，而ob=1，所以，利用切线长定理易证：ad=dp，qb=qp，再利用勾股定理，确定，进而得证结论【答案】解：（1）证明：ab为直径，acb=90，即acbc又oebc，oe/ac，bac=fobbn是半圆的切线，故bca=obf=90acbobf（2）由acbobf，得ofb=dba，dab=obf=90，abdbfo，当abd与bfo的面积相等时，abdbfoad=bo=ab =1daab，da为o的切线连接op，dp是半圆o的切线，da=dp=1，da=ao=op=dp=1，四边形adpo为正方形dp/ab，四边形dabq为矩形bq=ad=1（3）由（2）知，abdbfo，dpq是半圆o的切线，ad=dp，qb=qp过点q作am的垂线qk，垂足为k，在rtdqk中，bf=2bq，q为bf的中点【点拨】本题考查了相似三角形、切线长定理、勾股定理等知识，综合性较强在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问是动点移动问题，解决时要把动点转化为静点来分析难度较大4（2011广东省，21，9分）如图（1），abc与efd为等腰直角三角形，ac与de重合，ab=ac=ef=9，bac=def=90，固定abc，将def绕点a顺时针旋转，当df边与ab边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设de，df(或它们的延长线)分别交bc(或它的延长线) 于g，h点，如图(2)题21图(1)bhfa（d）gcec（e）bfa（d）题21图(2)（1）问：始终与agc相似的三角形有hab及hga；（2）设cg=x，bh=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）；（3）问：当x为何值时，agh是等腰三角形.【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明debc,还可以考虑用三角形的中位线来证明第（2）小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系来讨论第（3）小题当“四边形mend与bde的面积相等”相等时可带来,可以推证得到de=be,dm=bm.对于本题，还有很重要的一点那就是，它的三边之比是3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.【答案】（1）hab及hga（2）由agchab，得ac/hb=gc/ab，即9/y=x/9，故y=81/x (0x0），mpq的面积为s.（1）点c的坐标为 ，直线l的解析式为 （2）试求出点q与点m相遇前s与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。（3）试求题（2）中当t为何值时，s的值最大，并求出s的最大值。（4）随着p、q两点的运动，当点m在线段cb上运动时，设pm的延长线与直线l交于点n，试探究：当t为何值时，qmn为等腰三角形，请直接写出t的值。【解题思路】（1）a的坐标为（8，0），b的坐标为（11，4）由平行四边形的性质可知点c的坐标为（3，4），又o（0,0）所以直线l的解析式为。（2）由题意可知随着p、q两点的运动mpq的形状也在发生变化，所以我们要分情况讨论，易求出ab=oc=5，op=t，aq=2t，om=t，q与b重合时2t =5，t=，m与c重合时，q在ab上，t =5，t=3，点q与点m相遇时，162t=t， t=。q在ab上时，如图1，0t，m在oc上时，如图2，t3，m、q两点都在cb上时，如图3，3t。（3）根据（2）中s的三种情况，分别求出s的最大值，然后比较，求出最大值。（4）由题意可知nmq=90，qmn为直角三角形，要使qmn为等腰三角形，只需mn=mq，op=t，pn=，又pm=4，mn=4，cm=（4），q的速度是2，ab+bq=2t，bq=2t5，mq=bccmbq= 8（4）（2t5）=163t，4=163t，t=。【答案】解：（1）点c的坐标为（3，4），直线l的解析式为。 （2）根据题意，得op=t，aq=2t，分三种情况讨论： 当0t时，如图1，m点的坐标是（t，） 过点c作cdx轴于d，过点q作qex轴于e，可得 aeqodc ， ae=，eq=图1 q点的坐标是（8+，），pe=8+t=8+s=（8+）=+当t3时，如图2过点q作qfx轴于fbq=2t5，of=11（2t5）=162t。点q的坐标是（162t，4）pf=162tt=163t。图2s=（163t）=+当点q与点m相遇时，162t=t，解得t=当3t时，如图3，mq=162tt=163t，mp=4图3s=4（163t）=6t32。 （3）当0t时，s=+= a=0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=20， 当0t时，s随t的增大而增大。t=时，s有最大值，最大值为 当t3时，s=+= a=20，抛物线开口向下， t=时，s有最大值，最大值为 当3t时，s=6t32，k=60，s随t的增大而减小。 又t=3时，s=14，当t=时s=0，0s14. 综上所述，当t=时，s有最大值，最大值为 （4）当t=时，qmn为等腰三角形【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要涉及到平行四边形性质、勾股定理、三角函数、三角形面积、二次函数、一次函数、等腰三角形等。第一问较为简单一般不会出错，第二问需要根据动点的位置进行分类讨论，关键在于准确进行分类，分类的依据就是点的位置的变化（动点在不同线段上），此问容易因分类不清而导致错误，这一问是第三问的前提，一定要认真细心确保正确，不然第三问就不可能做对，第三问根据第二问的结果分别求出每个表达式的最大值，再进行比较，有范围的函数的最值要时刻注意自变量的取值范围，第四问判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论，对应此题先判断三角形是直角三角形就降低了难度。难度较大。11. （2011黑龙江绥化，28，10分） 已知直线与x轴、y轴分别交于a、b两点，abc=60，bc与x轴交于点c。（1） 试确定直线bc的解析式.（2） 若动点p从a点出发沿ac向点c运动(不与a、c重合),同时动点q从c点出发沿cba向点a运动(不与a、c重合),动点p的运动速度是每秒1个单位长度,动点q的运动速度是每秒2个单位长度.设apq的面积为s,p点的运动时间为t秒，求s与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（3） 在（2）的条件下，当apq的面积最大时，y轴上有一点m，平面内是否存在一点n，使以a、q、m、n为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出n点的坐标；若不存在，请说明理由。【解题思路】（1）根据直线，可出求出其与坐标轴交点的坐标：a（-4，0），b（0，4），所以oa=4，ob=4，可求出bao=60，abc=60，abc是等边三角形，oc=oa=4，c（4，0），用待定系数法求出一次函数的关系式；（2）分当点q在bc和ab上两种情况，求出ap上高的表达式从而写出s与t的函数关系式；（3）当点q与点b重合时，apq的面积最大，aq（b）作为菱形的一边有三种情况（4，0）（-4，8）（-4，-8），aq（b）作为菱形的一条对角线有一种情况（-4，）.【答案】（1）由已知得a点坐标（-4，0），点b坐标为（0，4）.oa=4，ob=4，bao=60，abc=60，abc是等边三角形.oc=oa=4，c点坐标（4，0）.设直线bc的解析式为y=kx+b, ,直线bc的解析式为.（2）当p点在ao之间运动时，作qhx轴.，qh=5t.，sapq=(0t4).同理可得sapq=(4t8).(3)存在，（4，0）、（-4，8）、（-4，-8）、（-4，）.【点评】本题综合考查三角函数、一次函数、特殊四边形等知识及运动的观点解题，涉及的数据多，关系复杂，因此能读懂题意，明确题中数量关系是解题的关键。12（2011浙江湖州，24，12分）如图1，已知正方形oabc的边长为2，顶点a、c分别在x，y轴的正半轴上，m是bc的中点p（0，m）是线段oc上一动点（c点除外），直线pm交ab的延长线于点d（1）求点d的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当apd是等腰三角形时，求m的值；（3）设过p、m、b三点的抛物线与x轴正半轴交于点e，过点o作me的垂线，垂足为h（如图2）当点p从点o向点c运动时，点h也随之运动请直接写出点h所经过的路径长（不必写出解答过程）【解题思路】第(1)由于m是bc的中点，adoc，可得rtpmcrtdmb，从而得出cp=bd，容易得d的坐标为（2，4-m）第(2)是条件不确定，也就是apd是等腰三角形没有说哪两边相等，所以应分三种情况来讨论计算的过程构造直角三角形来进行计算，第(3)是探究性试题，p点的运动，带动了图形发生变化，也就是e点在x轴上的运动又引起了h点的变化，经过探究可知h点的轨迹是个90的圆弧直径是om，于是可计算出点h运动的路径【答案】解：（1）由题意得cm=bm，pmc=dmb，rtpmcrtdmb，db=pc，db=2-m，ad=4-m，点d的坐标为（2，4-m）(2)分三种情况：若ap=ad，则4+m2=(4-m)2，解得m=若pd=pa，过p作pfab于点f，则af=fd=ad=（4-m），又op=af，m=（4-m），解得：m=若dp=da，pmcdmb，pm=pd=ad=（4-m），pc2+cm2=pm2，(2-m)2+1=，解得，（舍去）综上所述，当apd是等腰三角形时，m的值为或或（3）点h所经过的路径长为【点评】本题考查了点的坐标，全等形，等腰三角形，特别是分类的数学思想以及变化的几何图形中变化的点的轨迹难度较大对于初中不要求掌握的高中的点的轨迹的知识，学生要有方法来进行探究其实也很简单，就是多画几点来，看动点如何变化当本题知道动点的轨迹是圆弧后，还要找出圆弧的圆心角以及半径的大小本题难度较大13（2011浙江义乌，23,10分）如图1，在等边abc中，点d是边ac的中点，点p是线段dc上的动点(点p与点c不重合)，连结bp. 将abp绕点p按顺时针方向旋转角（0180），得到a1b1p,连结aa1，射线aa1分别交射线pb、射线b1b于点e、f.（1） 如图1，当060时，在角变化过程中，bef与aep始终存在 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；（2）如图2，设abp= . 当60180时，在角变化过程中，是否存在bef与aep全等？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当=60时，点e、f与点b重合. 已知ab=4，设dp=x，a1bb1的面积为s，求s关于x的函数关系式. 图1图2图3pb1fad ecba1pb1fadecba1pb1adcba1【解题思路】由旋转的特征可推得paa1 =pbb1,由e=e，所以两三角形相似，位置改变后，仍可推得bef aep，可先假定befaep，只要满足be=ae，即bae=abe，因为bac=60，于是bae=.即 即=2+60 . 由旋转的过程知ab=a1b1=4，只要用x表示出a1b1边上的高，由旋转推得paa1是等边三角形，分别过点b、a1作ac边上的垂线，可得到a1b1边上的高，从而求得解析式.【答案】解: （1） 相似 由题意得：apa1=bpb1=, ap= a1p , bp=b1p,则paa1 =pbb1 = ,pbb1 =ebf , pae=ebf.又bef=aep ,bef aep.（2）存在，理由如下： 易得：bef aep若要使得befaep，只需要满足be=ae即可 bae=abe, bac=60 , bae=.abe=,bae=abe. 即=2+60 .（3）连结bd，交a1b1于点g，过点a1作a1hac于点h. ,b1 a1p=a1pa=60. a1b1ac . 由题意得：ap= a1 p, a=60. paa1是等边三角形.a1h=. pb1adocba1hg在rtabd中，bd=,bg=., （0x2）.【点评】本题是一道几何探究题，做题的关键是把握其中的规律，顺藤摸瓜，找到图形变换前后图形的异同.在解题时注意分解图形，找寻基本图形之间的联系.难度较高.24（2011浙江义乌，24,12分）已知二次函数的图象经过a（2，0）、c(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点p，与x轴的另一交点为点b.（1）求二次函数的解析式及顶点p的坐标；（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点d，使四边形opbd为等腰梯形？若存在，求出点d的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点m是线段op上的一个动点（o、p两点除外），以每秒个单位长度的速度由点p向点o 运动，过点m作直线mnx轴，交pb于点n. 将pmn沿直线mn对折，得到p1mn. 在动点m的运动过程中，设p1mn与梯形omnb的重叠部分的面积为s，运动时间为t秒. 求s关于t的函数关系式. 第24题opcbaxy图1图2moaxpncby【解题思路】根据题意，设解析式为一般式根据题意即可求得；假定这样的等腰梯形存在，可先确定b点坐标，则bp直线的解析式易得，看od与bp是否平行，以确定等腰梯