近年统考题的答案与提示.doc

试卷（一）：一. 填空题（共20分） 1.若是6阶方阵的伴随矩阵，且_0_.(注:参考48页14题) 2. 设，则3. 设是的子空间，则V 的维数是2_.4. 对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵为正定矩阵,则常数 必须大于数值_5_.5. 已知阶矩阵,则矩阵的逆是_.二选择题（共20分） 1. 若是阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是（ D ）(A) ； (B) ；(C）； (D) . 2. 若为阶方阵,则为正交矩阵的充分必要条件不是 ( D ) (A) 的列向量构成单位正交基； (B) 的行向量构成单位正交基； (C) ； (D) 3. 若是空间的一个维子空间,是的一组基;是空间的一个维子空间, 是的一组基,且则:（ D ）(A) 向量组可以由向量组线性表示；(B) 向量组可以由向量组线性表示；(C) 向量组与向量组可以相互线性表示； (D) 向量组与向量组不能相互线性表示.（注:与的维数不同）4. 若是实对称方阵A的两个不同特征根, 是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立 ( C ) (A) 都是实数； (B) 一定正交； (C) 有可能是的特征向量； (D) 有可能是的特征根. 5. 已知为阶方阵,且非齐次线性方程组的个线性无关解为 则的通解为( D ). (A) ； (B) ； (C) ； (D) . （注:参见84页13题） 三. 解下列各题 (共25分) 1. 若为3阶方阵,且,求: .(此题作法参考45页例2.25 ). 2. 设,求矩阵.(此题作法参考18页第7题 ). 3. 计算向量在基下的坐标. (此题为81页例4.29 ). 4. 设向量组 求向量组的一个最大线性无关组.(此题作法参考69页例4.11).5. 利用分块矩阵方法,计算的逆矩阵.解: 记,其中: 则:.四. 证明题 (8分) 设维向量组和向量组有关系问维向量组和向量组是否同秩? 证明你的结论. 证明: 维向量组和向量组是同秩的. 下面证明之:由已知条件有: (), 于是从而向量组和向量组可以互相线性表示,即等价,故和的秩相同.五. (8分) 二次型 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形求参数及所用正交变换. (为115页第10题,见所给解答).六. (8分) 求线性方程组 的通解. (为76页例4.17).七.(6分) 解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程解: = 上式中, 对左乘初等矩阵,相当于对矩阵交换第1,2两行,得矩阵,右乘初等矩阵相当于再对矩阵交换第2,3两列, 得矩阵即有: =八. (5分) 设是4阶方阵,且的特征根互不相同,证明: (1) 方阵有四个线性无关的特征向量.(2) 方阵可以对角化.证明: 由于对应于不同特征值的特征向量线性无关,取为分别对应于不同特征值的特征向量,则线性无关.取,则可对角化.试卷(二)部分解答:一（3）已知向量组线性相关,求 解: 线性相关可求出 二.(8分) 设,且求矩阵B. 解: ,可逆,且,于是 五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系. (与76页例4.17类似作)六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围. 解: 二次型的矩阵为 由 得特征值对 可得的一个基础解系为: 正交化: 取 对 可得的一个基础解系为: 将分别单位化,得: 取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形: 正定七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是: =八. (10分) 当为何值时,方程组 有惟一解、无穷多解、无解? 解: 记, 系数行列式 (1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解. (2). 当 时, 于是 方程组无解. (3). 当 时, (i) 当时, 方程组有无穷多解. (ii) 当时, 方程组无解.九(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.证明: (1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且 (2) 设 记 由 知为的属于的特征向量.试卷(三)解答:一. 1. 2. 3. 4. 5. 1,2,-3.二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D三. 1. 2. .3. 由有 .4. 而向量组: 线性无关,可得 故 ，为一个最大线性无关组.5.令 ，则有： 解得： 的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则六. 证明: 设则: 于是 即 但 因此 从而有 又 线性无关, 因此 于是 故有 线性无关.试卷(四):一. 填空题（共20分）1. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A B)=n.2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27E. (利用)3. 若t为实数, 则向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t）的秩为: 34. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=15. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 0二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：(B)A, 左乘一个 B，右乘一个 C 左乘一个 D，右乘一个2. 若A为mn 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则 (D)A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间A， 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 (B) A， ， B， C. ， D， 4. 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(A)A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵 C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵5. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(C)A, 2007， B，2008C, 2009, D，2000 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等（行）变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 )(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 )(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求向量，在基下的坐标.（坐标为: ）2设计算.解: 五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记将其正交化.令再单位化,令则 为所求标准正交基.六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故 七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵.解: 设 对特征值由，求得基础解系：对特征值，由，求得基础解系： 对特征值，由，求得基础解系： 已两两正交, 再单位化：令，则为正交阵, 且.正交变换为将二次型化为标准形: 八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵. 证明: 由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有从而 故是正定矩阵.试卷(五):一. 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0.2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,3.若向量组的秩为2时,0或4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0.二. 选择题 （每小题4分，共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：(D).A, B， a) D，2. 若A为mn 矩阵，,令集合, 则(B) A, 是空集; B， 只含一个元素;C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立(B) A， ， B， C. ， D， 4. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：(B)A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵 C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵5. 如果n(n1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：(B) (因(i,j)元素必在次对角线上)A, 为0， B，为1C, 为2, D，无法确定. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 )(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 )(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求单位向量，它在基下的坐标向量也是.解: 设,由题意, 即于是有解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或2设n阶方阵计算解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.解: