中考数学押轴题备考复习 开放型问题.doc

开放型问题1. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，p是矩形abcd下方一点，将绕p点顺时针旋转后恰好d点与a点重合，得到,连接eb，问是什么特殊三角形？请说明理由.【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知aecdab，可得等腰，进一步由旋转角是，猜想此三角形可能是等边三角形.【答案】解：abe是等边三角形.理由如下：1分 由旋转得paepdccd=ae，pd=pa,1=23分dpa=60pda是等边三角形4分3pad60.由矩形abcd知，cdab，cdadab90.142306分aecdab，eab2+460,abe为等边三角形7分 【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来.2. （2011湖北襄阳，25，10分）如图9，点p是正方形abcd边ab上一点（不与点a，b重合），连接po并将线段pd绕点p顺时针方向旋转90得到线段pe，pe交边bc于点f，连接be，df（1）求证：adpepb；（2）求cbe的度数；（3）当的值等于多少时，pfdbfp？并说明理由【解题思路】解决（1）（2）两问，由旋转发现dpe90，dppe，进而构造全等三角形是关键；（3）可由pfdbfp产生比例线段，再结合adpbpf思考【答案】（1）证明：四边形abcd是正方形，apbc90，abad，adp+apd90dpe90，apd+epb90，adpepb（2）如下图，过e点作egab的延长线于点g，则egpa90又adpepb，pdpe，padegpegap，adabpgapegbgcbeebg45（3）法1：当时，pfdbfpadpfpb，apbf，adpbpf设adaba，则appba，bfbpapda，pfa又dpfpbf90，pfdbfp法2：假设pfdbfp，则adpfpb，apbf，adpbpfpbap时，pfdbfp【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由e点作ab的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考难度较大25（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角abc中, acb=90,cdab,垂足为d,点e在ac上,be交cd于点g,efbe交ab于点f,若ac=mbc,ce=nea(m,n为实数).试探究线段ef与eg的数量关系. (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,ef与eg的数量关系是 证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,ef与eg的数量关系是 证明如图(14.1),当m,n均为任意实数时,ef与eg的数量关系是 (写出关系式,不必证明)【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出ef与eg的数量关系。【答案】(1)相等。如,14.2，当m=1,n=1时,acb是等腰直角三角形，e为ac中点，作emab,encd,垂足分别为m、n，em、en为中位线，efmeng,ef=eg.（2）ef:eg=1：n。作emab,encd,垂足分别为m、n，m=1, acb是等腰直角三角形，efmeng,ef:eg=em:en=ae:ec,ef:eg=ae:nae=1:n.【点评】本题是属于图形演变、规律探索性题目，找准基础图形，作出辅助线，确定三角形全等或相似关系，列出关系式，是解题的关键。本题难度较大。24（2011湖北随州，24，14分）如图所示，过点f（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于m（x1，y1）和n（x2，y2）两点（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分别过m、n作直线l：y=1的垂线，垂足分别是m1、n1，判断m1fn1的形状，并证明你的结论对于过点f的任意直线mn，是否存在一条定直线m，使m与以mn为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由fmnn1m1f1oyxl第24题图【思路分析】（1）将f（0，1）代入直线解析式y=kxb，即可求出b=1；（2）因为m（x1，y1）和n（x2，y2），是两个图象的交点，所以它满足两个函数解析式，即满足，这样就得到方程，然后根据根与系数关系即可得到的值；（3）通过分析图形的特点，可利用三角形相似证明m1fn1是直角三角形，由f1m1f1n1=x1x2=4，ff1=2，所以f1m1f1n1=f1f2，所以,所以可证明rtm1ff1rtn1ff1，由此可得m1f1f=m1fn1=90，即m1fn1是直角三角形；（4）证明圆心p到直线y=1的距离等于圆的半径，即证明pq=mn，然后利用梯形的中位线定理证明即可.【答案】解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=4fmnn1m1f1oyxl第24题解答用图pqm1fn1是直角三角形，理由如下：由题知m1的横坐标为x1，n1的横坐标为x2，设m1n1交y轴于f1，则f1m1f1n1=x1x2=4，而ff1=2，所以f1m1f1n1=f1f2，另有m1f1f=ff1n1=90，易证rtm1ff1rtn1ff1，得m1ff1=fn1f1，故m1fn1=m1ff1f1fn1=fn1f1f1fn1=90，所以m1fn1是直角三角形存在，该直线为y=1理由如下：直线y=1即为直线m1n1如图，设n点横坐标为m，则n点纵坐标为,计算知nn1=， nf=，得nn1=nf同理mm1=mf那么mn=mm1nn1，作梯形mm1n1n的中位线pq，由中位线性质知pq=（mm1nn1）=mn，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切【点评】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，要特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点，难度较大.25（2011湖南永州，25，10分）探究问题：方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足eaf=45，连接ef，求证de+bf=ef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf=45 2+3=bad-eaf=90-45=451=2， 1+3=45即gaf=_又ag=ae，af=afgaf_=ef，故de+bf=ef （第25题）方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想（第25题）问题拓展：如图，在四边形abcd中，ab=ad，e，f分别为dc,bc上的点，满足,试猜想当b与d满足什么关系时，可使得de+bf=ef请直接写出你的猜想（不必说明理由）（第25题）【解题思路】：（1）由四边形abcd是正方形，知bad=90, 由eaf=45，得1+3=45，所以gaf=eaf，由“sas”可证gafeaf，再由全等三角形的对应边相等得结论；（2）类比（1）的解法，运用轴对称和旋转的知识可证de+bf=ef（3）类比猜想de+bf=ef【答案】eaf、eaf、gfde+bf=ef，理由如下：假设bad的度数为，将ade绕点a顺时针旋转得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad,bg=de, 1=2，abg=d=90,abg+abf=90+90=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf= 2+3=bad-eaf=1=2， 1+3=即gaf=eaf又ag=ae，af=afgafeafgf=ef，又gf=bg+bf=de+bf de+bf=ef （第25题）解得图当b与d互补时，可使得de+bf=ef【点评】：每份试卷的压轴题一般较难，综合考查了学生探究能力、知识迁移能力、创新能力、分析问题解决问题的能力.本题综合了探究、阅读理解、知识迁移、知识升华等过程逐步引申，既考查了问题，还降低了学生对难题的畏惧心理，是一道很好的压轴题.25. （2011湖南长沙，25，10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如，对于函数y=x-1，令y=0，可得x=1，我们说1是函数y=x-1的零点.已知函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）.（1）当m=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数与x轴的交点分别为a、b（点a在点b左侧）.点m在直线y=x-10上，当ma+mb最小时，求直线am的解析式.【解题思路】（1）根据题目定义，m=0时，令y=0，把函数关系式转化为关于x的一元二次方程，解此方程求出x的值即为函数零点值；（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程， x2-2mx-2（m+3）=0，运用判别式进行推理即可；（3）和是函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）零点，且满足，根据根与系数关系进一步求出m值，于是得到一个具体二次函数解析式y=x2-2x-8，求出与x轴交点坐标【答案】解：（1）当m=0时，y=x2-6.令y=0，x2-6=0，解得x=或x=.即m=0时，求该函数的零点为、.（2）证明：令y=0，则x2-2mx-2（m+3）=0.由于b2-4ac=（-2m）2-41-2（m+3）=4m2+8m+24=4（m2+2m+1-1）+24=4（m+1）2+20.因为无论m为何值，4（m+1）20，所以4（m+1）2+200.即：无论m取何值，一元二次方程x2-2mx-2（m+3）=0一定有两个不相等的实数根，因此无论m取何值，函数y=x2-2mx-2（m+3）（m为常数）总有两个零点.（3）设函数的两个零点分别为和，则和是一元二次方程x2-2mx-2（m+3）=0的两个根，所以+=2m，=-2（m+3）.则.又，所以=.解此分式方程，得m=1，经检验，m=1是=的根.所以y=x2-2x-8.此函数与x轴的交点坐标为a（-2,0），b（4,0）.设直线y=x-10与x轴交与点d（10,0），与y轴交于点f（0，-10），过点a作直线y=x-10的垂线，垂足为点e，延长ae到点a，使ae=ae，连接ab，交y=x-10于点m，则此时ma+mb最小.易知oa=on=2，oc=10.an=，nc=8，ne=4.ae= ae=6，an=10af=nf=10，of=12.故点a坐标为（10，-12）.设直线ab的解析式为，把b（4,0），a（10，-12）代入上式：xyaby=x-10acdmeofn，解得.直线ab的解析式为y=-2x+8.解方程组，得. 所以点m（6，-4）.设直线am的解析式为，把a（-2,0），m（6，-4）代入上式：，解得.故当ma+mb最小时，直线am的解析式为y=x-1. 【点评】本问题（1）主要考查了一元二次方程根的解法，解题关键